Давнис В.В., Тинякова В.И. Компьютерный практикум по эконометрическому моделированию
Подождите немного. Документ загружается.
Таблица 3.2.1
№
1
X
2
X
3
X
Y
№
1
X
2
X
3
X
Y
1.
32,0
14,1
235,0
605,8
7.
13,2
60,6
261,6
628,4
2.
22,2
46,9
278,3
677,3
8.
32,7
40,4
291,1
682,8
3.
37,4
44,2
214,2
572,3
9.46,0 65,0
218,6
581,9
4.
47,8
59,4
256,6
627,4
10.
24,1
42,0
269,0
643,0
5.
47,0
51,7
190,9
567,7
11.
28,1
74,6
250,4
612,6
6.
52,3
35,6
205,6
566,2
12.
18,1
45,6
286,4
666,5
Решение с помощью табличного процессора Excel
1. Получение вектора оценок коэффициентов регрессии по формуле
(2.1.1) согласно алгоритму, изложенному при выполнении задания 2.2.1.
303,11
0,19
-0,18
1,29
2. Расчет стандартных ошибок с использованием функций Excel по фор-
муле (2.1.2) согласно алгоритму , изложенному при выполнении задания 2.2.1.
45,45
0,36
0,21
0,14
3. Вычисление расчетных значений t-статистики путем деления коэффи-
циентов регрессии на стандартные ошибки
6,67
0,52
-0,85
9,18
Сравнение расчетных значений t-статистики с табличным
306,2)8(
=
S
t
позволяет отвергнуть нулевую гипотезу только для третьего фактора .
4. Вычисление дисперсионного отношения Фишера
4.1. Расчет воспроизведенной дисперсии и оформление результатов в
виде табл . 3.2.2.
4.2. Расчет F-статистики путем деления воспроизведенной дисперсии
на остаточную
1154
36115
276242
,
,
,
==
расч
F
и сравнение ее с критическим значением 0748 ,)(
=
c
F . Так как
cрасч
FF
>
, то
модель считается адекватной.
Таблица 3.2.2
Y
Y
ˆ
(
)
YY −
ˆ
(
)
2
YY −
ˆ
605,8 610,2 -9,1 82,5
677,3 658,6 39,3 1544,4
572,3 579,1 -40,2 1614,4
627,4 633,2 13,9 193,1
567,7 549,5 -69,8 4868,8
566,2 572,3 -47,0 2209,4
628,4 632,8 13,5 182,9
682,8 678,2 58,9 3464,5
581,9 582,7 -36,6 1342,2
643,0 647,8 28,4 808,7
612,6 618,8 -0,5 0,2
666,5 668,5 49,2 2415,7
Сумма квадратов отклонений 18726,81
Воспроизведенная дисперсия 6242,27
5. Построение модели
330
xbby
+
=
с использованием «Пакет анализа» Excel.
Окончательно модель, отражающая зависимость
y
от
3
x , имеет вид
3
24133314 xy ,,
+
=
.
Расчетное значение F-статистики равно 179,12, что свидетельствует о ее
адекватности.
Задание 3.2.3. По данным табл . 3.2.3 построить множественное уравне-
ние регрессии и проверить гипотезу , удовлетворяют ли ее коэффициенты ли-
нейному ограничению общего вида, т .е. rHb:H
0
=
, где
−=
1000
0120
0001
H ,
−
=
21
0
5
,
r .
Таблица 3.2.3
№
1
X
2
X
3
X
Y
№
1
X
2
X
3
X
Y
1.
24,5
32,6
53,1
74,5
7.
34,0
15,4
53,139,9
2.
25,8
27,5
50,9
65,7
8.
31,6
23,2
69,039,2
3.
36,0
27,1
68,6
58,1
9.
45,6
25,6
37,0104,4
4.
24,6
35,8
53,9
86,3
10.
40,6
23,7
56,868,3
5.
37,0
14,3
34,4
61,5
11.
46,7
21,4
58,770,7
6.
15,4
21,6
54,7
25,5
12.
37,3
21,0
68,540,4
Решение с помощью табличного процессора Excel
1. Получение вектора оценок коэффициентов регрессии по формуле
(2.1.1) согласно алгоритму, изложенному при выполнении задания 2.2.1.
2,2
1,5
3,0
-1,2
2. Вычисление F -статистики для проверки гипотезы о линейном ограни-
чении общего вида.
2.1. Вычисление остаточной дисперсии
06,2
2
=
ост
S .
2.2. Вычисление значения числителя F-статистики.
2.2.1. Расчет вектора rb
ˆ
H −
-2,77
0,04
0,02
2.2.2. Расчет матрицы
(
)
HXXH
′′
− 1
5,8540
-0,0384
-0,0380
-0,0384
0,0050
0,0003
-0,0380
0,0003
0,0008
и обратной к ней
0,26
1,30
12,59
1,30
208,97
-10,88
12,59
-10,88
1952,01
2.2.3. Окончательный расчет числителя F-статистики
1,44
3. Деление результата п.2.2.3 на остаточную дисперсию (окончательный
расчет значения F-статистики)
700 ,
=
расч
F
.
4. Сравнение полученного результата с критическим значением
07483 ,),(
=
c
F . Нуль-гипотеза не отвергается, так как
cрасч
FF
<
.
3.3. Контрольные задания
Задание 3.3.1. По данным табл . 3.3.1, используя формулы матричного
метода МНК, рассчитать коэффициенты линейного регрессионного уравне-
ния, отражающего зависимость количества еженедельно продаваемых чиз-
бургеров бистро «Вкусноед» от их цены и расходов на рекламу.
Для построенного уравнения регрессии проверить две гипотезы:
1) 0
=
i
b:H
0
( mi , 1 = ) ;
2) 0
21
=
=
=
=
m
bbb L:H
0
.
Если окажется, что среди факторов есть незначимый , то построить мо-
дель, исключив этот фактор. Провести сравнение построенных моделей.
Таблица 3.3.1
№
п.п.
Количество
проданных
чизбургеров,
шт.
Цена чиз-
бургера ,
руб.
Расходы на
рекламу,
руб.
№
п.п.
Количество
проданных
чизбурге
ров,
шт.
Цена
чизбургера ,
руб.
Расходы на
рекламу,
руб.
1.
525
15,92
579
8
.
78915,02
439
2.
567
16,50
461
9
.
51316,77
474
3.
396
16,54
649
10.
66115,57
459
4.
726
16,11
378
11.
40716,67
619
5.
265
16,62
674
12.
60816,92
427
6.
615
15,15
234
13.
39916,97
469
7.
370
15,02
681
14.
63116,59
479
Задание 3.3.2. По данным табл . 3.3.2 построить зависимость, объясняю -
щую число сделок в день ведущими онлайновскими брокерами США в зави-
симости от факторов, определяемых с помощью рейтинговых оценок.
Таблица 3.3.2
№
Онлайновский
брокер
Число
сделок в
день
Удобство
пользова -
ния, балл
Доверие
потребите-
лей, балл
Объем пред -
лагаемых
услуг, балл
Качество об-
служи
вания,
балл
1.
Charles Schwab 177400
7,39
6,91
8,54
8,84
2.
E*Trade 123250
8,10
6,15
8,90
7,67
3.
Waterhouse Securities 107146
7,46
8,35
8,35
5,62
4.
Fidelity 92354
5,63
5,71
8,94
8,23
5.
Datek Online 81040
7,18
6,40
7,72
5,82
6.
Ameritrade 71269
5,44
8,10
6,49
4,90
7.
DLJdirect 30500
6,14
6,55
6,41
4,91
8.
Scottrade 22050
5,04
6,15
6,06
6,62
9.
CyBerCorp 14213
4,92
6,84
6,59
4,44
10.
Suretrade 13200
7,56
5,63
6,46
5,35
11.
Morgan Stanley Online 12500
1,60
7,16
7,26
5,43
12.
National Discount Brokers 17703
6,49
7,32
4,32
4,18
13.
Dreyfus 10125
3,35
7,69
5,65
4,30
14.
Web Street Securities 4535
5,10
7,42
6,40
3,40
15.
Quik & Reilly 3300
4,47
6,80
5,76
4,33
Для построенной модели проверить гипотезы:
1) 0
=
i
b:H
0
( mi , 1 = ) ;
2) 0
21
=
=
=
=
m
bbb L:H
0
.
Если окажется, что среди факторов есть незначимые , то построить мо-
дель, исключив эти факторы. Для вновь построенной модели проверить гипо-
тезу : rb
ˆ
H:H
0
= , где
−
−=
1100
0130
0001
H ,
−
=
0
0
405000
r .
Задание 3.3.3. Применяя тест Чоу , установить, является ли существенным
различие в оплате труда работников государственных и коммерческих органи-
заций. Данные об оплате труда в зависимости от стажа, возраста и образова-
ния работников государственных организаций приведены в табл . 3.3.3, а ком -
мерческих организаций – в табл . 3.3.4.
Таблица 3.3.3
Зарплата,
руб.
Стаж ,
лет
Возраст ,
лет
Образование
(1-высшее;
0-среднее)
2596
16
42
1
2524
7
30
0
2610
17
48
1
2756
32
55
1
2811
27
50
1
2750
23
46
1
2484
29
51
0
2623
14
44
0
2789
26
47
1
2768
19
50
1
2641
33
55
1
1951
2
24
0
Таблица 3.3.4
Зарплата
,
руб.
Стаж ,
лет
Возраст
,
лет
Образование
(1-высшее;
0-среднее)
3480
20
46
1
2667
19
42
0
2890
1
23
1
2340
12
46
0
3288
31
57
1
3213
14
35
1
3354
29
51
1
2434
19
41
0
3147
4
31
1
3512
24
47
1
2698
22
46
0
2697
32
57
0
3280
18
42
1
2553
6
30
0
4. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
И ЕГО ВАРИАНТЫ В СЛУЧАЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ
4.1. Расчетные формулы
4.1.1. Оценка коэффициентов обобщенной регрессии:
(
)
yXXXb
11 −
−
−∗
Ω
′
Ω
′
=
1
ˆ
.
4.1.2. Стандартные ошибки в форме Уайта:
()
() ()
1
1
2
1
1
ˆˆ
−
=
−
′
′′
=
∑
XXxxXXbV
ss
n
s
s
e
n
n .
4.1.3. F-статистика , используемая в тесте Голдфелда-Куандта:
2
2
1
1
/ eeeeF
′
′
=
,
где
1
e - вектор остатков регрессии, построенной по первым
2
/
2
/
d
n
−
на-
блюдениям ;
2
e
- вектор остатков регрессии, построенной по последним
2
/
2
/
d
n
−
наблюдениям .
4.2. Решение типовой задачи
Задание 4.2.1. По данным табл . 4.2.1 построить линейную регрессионную
модель, характеризующую зависимость показателя
y
от факторов
1
x и
2
x .
Построение модели начать с тестирования на гетероскедастичность. Считая
наиболее вероятной ситуацию с двухуровневой дисперсией, использовать для
проверки тест Голдфелда-Куандта. Если проверкой будет установлена неод -
нородность данных, то при построении модели применить многоэтапную
процедуру оценивания ее коэффициентов с помощью доступного МНК.
Таблица 4.2.1
№ 1
x
2
x
y
№ 1
x
2
x
y
1.
13
43
79
11.58
161
207
2.
28
56
110
12.23
108
152
3.
33
24
97
13.69
86
199
4.
42
98
171
14.8
143
144
5.
12
176
204
15.60
42
140
6.
44
124
174
16.11
199
183
7.
36
130
184
17.26
145
178
8.
33
291
311
18.61
115
185
9.
34
141
206
19.18
111
152
10.
21
95
128
20.30
192
204
Решение с помощью табличного процессора Excel
1. Ввод исходных данных.
2. Проверка данных с помощью теста Голдфелда-Куандта.
2.1. Упорядочивание исходных данных по переменной
2
x в предпо-
ложении, что уровень дисперсии зависит от этой переменной, и удаление
шести наблюдений, оказавшихся в середине выборки. Представление резуль-
татов в виде табл . 4.2.2.
Таблица 4.2.2
№ 1
x
2
x
y
№ 1
x
2
x
y
1.
33
291
311
14
.
42
98
171
2.
11
199
183
15
.
21
95
128
3.
30
192
204
16
.
69
86
199
4.
12
176
204
17
.
28
56
110
5.
58
161
207
18
.
13
43
79
6.
26
145
178
19
.
60
42
140
7.
8
143
144
20
.
33
24
97
2.2. Построение по упорядоченным данным двух регрессионных урав-
нений по первым семи наблюдениям (первое регрессионное уравнение, см .
Вывод итогов 1) и по последним семи наблюдениям (второе регрессионное
уравнение, см . Вывод итогов 2).
ВЫВОД ИТОГОВ 1
Регрессионная статистика
Множественный R 0,965091
R-квадрат 0,931401
Нормированный R-
квадрат 0,897101
Стандартная ошибка 16,65463
Наблюдения 7
Дисперсионный анализ
df SS MS F
Значи -
мость F
Регрессия 2
15064,2081
7532,104
27,1548
0,0047059
Остаток 4
1109,50616
277,3765
Итого 6
16173,7143
Коэффици-
енты
Стан-
дартная
ошибка
t-статистика
P-
Значение
Нижние
95%
Верхние
95%
Y-пересечение 13,86422
26,6435024
0,52036
0,630286
-60,11015
87,838598
Переменная X 1 0,889493
0,39236032
2,267031
0,086009
-0,199876
1,978862
Переменная X 2 0,89948
0,13496104
6,66474
0,002633
0,5247676
1,274193
2.3. Получение расчетных значений и вычисление остатков
1
e и
2
e , с
помощью которых составляется статистика
2211
/ eeeeF
′
′
=
расч
. Оформление ре -
зультатов в виде табл . 4.2.3.
ВЫВОД ИТОГОВ 2
Регрессионная статистика
Множественный R 0,99412
R-квадрат 0,988274
Нормированный R-
квадрат 0,982411
Стандартная ошибка 5,576546
Наблюдения 7
Дисперсионный анализ
df SS MS F
Значи -
мость F
Регрессия 2
10483,6085
5241,804
168,5583
0,000138
Остаток 4
124,391476
31,09787
Итого 6
10608
Коэффициен-
ты
Стандарт -
ная ошибка
t-статистика
P-
Значение
Нижние
95%
Верхние
95%
Y-пересечение 23,49446
6,3630766
3,692312
0,020976
5,827693
41,161232
Переменная X 1 1,476582
0,11317714
13,04665
0,000199
1,162351
1,7908128
Переменная X 2 0,826054
0,07856709
10,51399
0,000463
0,607916
1,0441916
Таблица 4.2.3
№
1
x
2
x
y
расч
y
2
)(
расч
yy −
1.
33
291
311
304,97
36,41
2.
11
199
183
202,65
385,93
3.
30
192
204
213,25
85,55
4.
12
176
204
182,85
447,46
5.
58
161
207
210,27
10,70
6.
26
145
178
167,42
112,03
7.
8
143
144
149,61
31,43
1
ee
1
′
=1109,51
14.
42
98
171
166,46
20,57
15.
21
95
128
132,98
24,78
16.
69
86
199
196,42
6,66
17.
28
56
110
111,10
1,21
18.
13
43
79
78,21
0,62
19.
60
42
140
146,78
46,02
20.
33
24
97
92,05
24,53
22
ee
′
=124,39
92,839,124/51,1109/
2211
=
=
′
′
=
eeeeF
расч
;
(
)
39,64,4
=
c
F .
Так как
cрасч
FF
>
, то гипотеза
0
H отвергается и , следовательно, в данных на-
блюдается гетероскедастичность с двухуровневой дисперсией. Поэтому для
построения регрессии по данным табл . 4.2.1 необходимо применить
многоэтапную процедуру доступного МНК.
3. Построение регрессии с помощью доступного взвешенного МНК.
3.1. Построение регрессии обычным МНК по данным табл . 4.2.1 (см .
Вывод итогов 3).
ВЫВОД ИТОГОВ 3
Регрессионная статистика
Множественный R 0,968969836
R-квадрат 0,938902544
Нормированный R-квадрат
0,931714608
Стандартная ошибка 13,07464604
Наблюдения 20
Дисперсионный анализ
df SS MS F
Значи -
мость F
Регрессия 2
44658,7117
22329,36
130,622
4,8E-11
Остаток 17
2906,08827
170,9464
Итого 19
47564,8
Коэффици-
енты
Стандарт -
ная ошибка
t-
статистика
P-
Значение
Нижние
95%
Верхние
95%
Y-пересечение 36,78068243
9,43676522
3,897594
0,001158
16,87082
56,690545
Переменная X 1 1,191842832
0,16975113
7,021119
2,06E-06
0,833699
1,5499869
Переменная X 2 0,760391162
0,04869436
15,61559
1,63E-11
0,657655
0,8631274
3.2. Получение расчетных оценок
i
y
ˆ
и вычисление абсолютных зна-
чений отклонений. Оформление результатов в виде табл . 4.2.4.
Таблица 4.2.4
№ 1
x
2
x
y
расч
y
расч
yy
−
расч
yy −
1.
13
43
79
84,971
-5,971
5,971
2.
28
56
110
112,734
-2,734
2,734
3.
33
24
97
94,361
2,639
2,639
4.
42
98
171
161,356
9,644
9,644
5.
12
176
204
184,912
19,088
19,088
6.
44
124
174
183,510
-9,510
9,510
7.
36
130
184
178,538
5,462
5,462
8.
33
291
311
297,385
13,615
13,615
9.
34
141
206
184,518
21,482
21,482
10.
21
95
128
134,047
-6,047
6,047
11.
58
161
207
228,331
-21,331
21,331
12.
23
108
152
146,315
5,685
5,685
13.
69
86
199
184,411
14,589
14,589
14.
8
143
144
155,051
-11,051
11,051
15.
60
42
140
140,228
-0,228
0,228
16.
11
199
183
201,209
-18,209
18,209
17.
26
145
178
178,025
-0,025
0,025
18.
61
115
185
196,928
-11,928
11,928
19.
18
111
152
142,637
9,363
9,363
20.
30
192
204
218,531
-14,531
14,531
3.3. Деление наблюдений с помощью Автофильтра на две группы
1
I
и
2
I
со значениями остатков, по абсолютной величине превосходящих и не
превосходящих заданный уровень. (Анализ последнего столбца табл . 4.2.4
позволил в качестве такого уровня выбрать 7.)
3.4. Расчет среднеквадратических ошибок по остаткам, не превосхо -
дящих заданный уровень, и среднеквадратических ошибок по остаткам, пре -
восходящих заданный уровень.
31,4
1
2/1
2
1
1
1
=
=
∑
∈ Ii
i
e
n
S ; 16,15
1
2/1
2
2
2
2
=
=
∑
∈ Ii
i
e
n
S .
3.5. Преобразование исходных данных путем деления зависимой и не-
зависимых переменных каждого наблюдения первой группы на
1
S
, а второй
группы - на
2
S и оформление результатов в виде табл . 4.2.5.
3.6. Построение регрессионной модели по преобразованным данным
табл . 4.2.5. Использование преобразованных данных для построения регрес-
сионной модели эквивалентно применению взвешенного МНК к исходным
данным (см . Вывод итогов 4).
Таким образом , уравнение регрессии, построенное с учетом гетероскеда-
стичности, имеет вид
21
916,0818,1148,0 xxy
+
+
=
.
Таблица 4.2.5
№ 1
x
2
x
y
•
Sx /
1
•
Sx /
2
•
Sy /
1.
13
43
79
3,014
9,968
18,314
2.
28
56
110
6,491
12,982
25,500
3.
33
24
97
7,650
5,564
22,487
4.
42
98
171
2,771
6,465
11,281
5.
12
176
204
0,792
11,611
13,458
6.
44
124
174
2,903
8,180
11,479
7.
36
130
184
8,346
30,137
42,655
8.
33
291
311
2,177
19,198
20,517
9.
34
141
206
2,243
9,302
13,590
10.
21
95
128
4,868
22,023
29,673
11.
58
161
207
3,826
10,621
13,656
12.
23
108
152
5,332
25,037
35,237
13.
69
86
199
4,552
5,674
13,128
14.
8
143
144
0,528
9,434
9,500
15.
60
42
140
13,909
9,736
32,455
16.
11
199
183
0,726
13,128
12,073
17.
26
145
178
6,027
33,614
41,264
18.
61
115
185
4,024
7,587
12,205
19.
18
111
152
1,187
7,323
10,028
20.
30
192
204
1,979
12,666
13,458