Чупров И.Ф., Канева Е.А., Мордвинов А.А. Уравнения математической физики с приложениями к задачам нефтедобычи и трубопроводного транспорта газа

Подождите немного. Документ загружается.

101

Давление в любом сечении определится формулой

() ()

,si

xt P t x

∞

=⋅

∑



. (4.97)

Учитывая, что

sin

nx x

∞

−

∑

;

(

)

1sin

∞

−

∑

;

(

)

()

при ,

sin sin

при ,

∞

−

⎧

ππ

⋅

⎪

⎨

−

⎪

⎩

∑







получим

()

exp sin

при ,

при .

Pxt P

cn n

∞

−

=− −

⎛⎞

ππ

⎛⎞

−

⋅− ⋅

⎜⎟

⎝⎠

−⎧

⎪

−⋅

⎨

−

⎪

⎩

∑







−

(4.98)

Последние слагаемые (4.98) можно было бы записать в виде

()

(

)

() ( )

()

xx xx

xx x xx

−−

⎛⎞

σ− − σ −σ−

⎜⎟

⎝⎠



Имея давление, можно найти массовый расход через любое сечение

()

Mxt

∂

−⋅

∂

§ 9. Обобщенные функции

Единичная функция Хевисайда.

При решении задач нефтепромысловой

механики широко используются единичная функция Хевисайда и дельта-

функция Дирака. Рассмотрим эти функции, их основные свойства и правила

обращения с ними.

102

()

при 0,

0 при 0

⎧

ϕ=

⎨

⎩

называется функцией Хевисайда.

Если

, то

1a =

()

1 при 0,

0 при 0

⎧

σ=

⎨

⎩

называется единичной функцией Хевисайда. График этой функции изображен

на рис. 4.2.

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Используя известные свойства функций, рассмотрим

()

1 при ,

0 при .

⎧

σ− =

⎨

⎩

График этой функции изображен на рис. 4.3.

В задачах нефтепромысловой механики иногда удобно пользоваться ком-

бинацией единичных функций от различных переменных (например по време-

ни

или координате ). Пусть линейный источник мощностью действует на

промежутке времени

[

]

,tt , т.е.

()

0 при ,

при ,

0 при .

thttt

⎧

⎪

ϕ= <<

⎨

⎪

⎩

Выразим

(

)

tϕ через единичную функцию

()()

12 1

000при ,

101при ,

11 0при ,

tt tt t tt

−

⎧

⎪

σ− −σ− = −= <<

⎨

⎪

−= >

⎩

103

откуда

() ( ) ( )

()

t h tt ttϕ=σ−−σ−

Если источник действовал при

[

]

,ttt

∈

на участке

[

]

,xxx

∈

, то

() ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

121

,xt xx xx tt ttϕ=σ−−σ−⋅σ−−σ−

Из приведенных примеров следует, что с помощью единичной функции

удобно записывать условия того, что какой-либо физический процесс начина-

ется с некоторого момента времени и заканчивается в определенный момент

(цикличность отбора жидкости из скважин, отбор из трубопровода в опреде-

ленный промежуток времени), учитывать несовершенство скважин и т.д.

При интегрировании

функций, содержащих единичную функцию, следу-

ет учесть, что

() ( )

()

, если ,

0, если .

fxdx x a

xxxdx fxdx ax

⎧

⎪

⋅σ − = < <

⎨

⎪

⎩

∫

∫∫

Дельта-функция. Функция, обладающая свойствами:

равна нулю при всех

≠

;

обращается в бесконечность при

;

интеграл от этой функции, взятый в пределах

(

)

−

∞+∞ , равен еди-

нице; называется дельта-функцией Дирака и обозначается

. Та-

ким образом,

()

xδ

()

0 при 0,

при 0

≠

⎧

δ=

⎨

∞=

⎩

()

1xdx

∞

−∞

∫

При помощи дельта-функции удобно записывать действие источников или

стоков в отдельные моменты времени или в отдельных точках. Если источник

действует в точке с координатой

, то дельта-функция имеет вид .

Функция

означает действие источника в момент времени .

()

xxδ−

(

ttδ−

)

Выражение

()

(

)

()

(

)

xx xx tt

−−σ− ⋅δ−

означает, что источник

действовал на отрезке

[

]

,xx в момент времени . Аналогично,

tt=

104

()()

()

(

tt tt xxσ− −σ− ⋅δ −

)

означает, что источник действовал в точке

в промежутке времени

[

xx=

]

,tt .

Следует отметить, что для дельта-функции не существует никакого явно-

го выражения. Поэтому она не может входить ни в какие окончательные соот-

ношения. Отметим также, что дельта-функция является размерной величиной и

имеет размерность, обратную размерности аргумента. Кстати, функция Хеви-

сайда безразмерна.

Приведем некоторые интегральные соотношения, связанные с дельта-

функцией.

() () ()

0,если 0

xdx a b

⋅δ =

∫

() ()

[]

0, если 0,

xdx abϕ⋅δ = ∈

∫

()

() ()

, если

xxdx x ax b

⋅δ − =

∫

Выше рассматривалась дельта-функция одной переменной. В двухмерных

и трехмерных задачах фильтрации, теплового воздействия на пласт и в задачах

трубопроводного транспорта используется дельта-функция на плоскости

и в пространстве

(

,xyδ

) (

)

,,xyzδ .

Для плоскости, например, функция вводится следующим образом:

()

0, если 0 или 0,

, если 0

≠

⎧

δ=

⎨

∞==

⎩

(

)

xydx=

∫

Для плоскости и пространства имеют место интегральные соотношения,

аналогичные для одномерного случая.

§ 10. Распространение тепла в пласте

при линейном течении горячей жидкости

При закачке горячей воды в пласт, если пренебречь перетоком тепла в

выше- и нижележащие пласты, температурное поле определяется уравнением

∂

∂∂

−β =

∂

∂∂

. (4.99)

Наличие конвективного слагаемого связано с движением теплоносителя.

Уравнение (4.99) будем решать при условиях:

105

(

)

uxt T

, (4.100)

(

)

uxt T

, (4.101)

(

)

uxt

→∞

ограничено.

Применим преобразование Лапласа

() ()()

,exp ,uxs stuxtdt

∞

=−

∫

Получаем изображающее уравнение

du du

asu

dx dx

−

β−=−, (4.102)

где учтено начальное условие.

Для нахождения изображения

необходимо решить уравнение (4.102)

при условиях

()

uxs

, (4.103)

()

uxs

→∞

ограничено.

Решение уравнения (4.102) при ограниченности

, когда имеет

вид

x →∞

()

,expexp

uxs A x x

⎛⎞

ββ

⎛⎞

=+⋅ ⋅ − +

⎜

⎜⎟

⎜

⎝⎠

⎟

, (4.104)

где

определяется из условия (4.103)

−

Подставляя

в условие (4.104), получаем

()

010

,expexp

TTT

uxs s

ss a a

⎛⎞

−

ββ

⎛⎞

=+ ⋅ ⋅ − +

⎜

⎜⎟

⎜

⎝⎠

⎟

. (4.105)

Необходимо перейти к оригиналу по таблицам операционного исчисления.

Решение задачи имеет вид

106

()

,exp

exp ,

uxt T erfc

xxt

erfc

−

⎛β +β

⎛⎞

=+ ⋅ +

⎜⎟

⎜

⎝⎠

⎝

β−β⎞

⎛⎞

+−⋅

⎜⎟

⎟

⎝⎠

⎠

(4.106)

где

1er

cz er

z=−

; .

()

exp

erfz t dt=−

∫

Если

, то решение при тех же условиях имеет вид

0β=

() ( )

010

uxt T T T erfc

=+ − ⋅

107

Глава V. Уравнение Лапласа

§ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа

Исследования стационарных процессов различной физической природы

(колебания, теплопроводность, диффузия, фильтрация и т.д.) обычно приводят

к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением

этого типа является уравнение Лапласа

∆

На плоскости

∂∂

В пространстве

222

uuu

xyz

∂∂∂

Как было показано в главе III, температура нестационарного температур-

ного поля удовлетворяет уравнению теплопроводности

∂

∆

∂

Если процесс стационарен (не зависит от времени), то

∂

, и урав-

нение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа.

При наличии внутри рассматриваемого тела источников тепла получим

уравнение

(

)

,,ufxyz∆=− ,

где

()

fxyz=

. Здесь – плотность тепловых источников, – коэффи-

циент теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа принято называть

уравнением Пуассона.

Рассмотрим некоторый объем

, ограниченный поверхностью . Задача

о стационарном распределении температуры

(

)

,,uxyz внутри тела

форму-

лируется следующим образом: найти функцию

(

)

,,uxyz, удовлетворяющую

внутри

уравнению

(

)

,,yufxz∆=−

)

и граничному условию, которое может

быть взято в одном из следующих видов:

на – первая краевая задача;

(

,,uxy=ϕ

108

(

)

∂

=Ψ

∂

на – вторая краевая задача;

()

∂

+⋅ −χ=

∂

на

– третья или смешанная краевая задача.

Здесь

– заданные функции,

,,ϕψχ

∂

– производная по внешней нормали к

поверхности

. Первую краевую задачу часто называют задачей Дирикле, а

вторую – задачей Неймана.

В качестве второго примера рассмотрим потенциальное течение жидко-

сти без источников и стоков. Напомним, что поле

(

)

up называется потенци-

альным, если

()

rot 0up=

Пусть внутри некоторого объема

с границей

имеет стационарное

течение жидкости (плотность

const

), характеризуемое скоростью

(

)

vp.

Если течение жидкости не вихревое, то скорость

является потенциальным

вектором

radv =− ϕ

, где – скалярная функция, называемая потенциалом

скорости. Если отсутствуют источники, то

div 0v

. Подставляя, получим

div

rad 0ϕ=

. Перейдем к координатам в пространстве

222

div i j k

xyz xyz

⎛⎞

∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ

++ =++=

⎜⎟

∂∂∂ ∂∂∂

⎝⎠

т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.

§ 2. Гармонические функции

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости или в пространстве

∆

. (5.1)

Определение. Функция

(

)

uup

, имеющая непрерывные частные произ-

водные второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа (5.1) в некото-

рой области D, называется гармонической в этой области.

Простейшими примерами гармонических функций являются линейные

функции:

uaxb

c=++

на плоскости и

uaxb

cz d

+++

в пространстве.

Особый интерес представляют решения уравнений Лапласа, обладающие сфе-

рической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных – кру-

говой) симметрией.

Решение

, обладающее сферической симметрией, будет опреде-

ляться из обыкновенного дифференциального уравнения

()

uur=

rrr

∂∂

+⋅ =

∂

, где

rxyz

++.

109

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравне-

ние Лапласа (5.1), записанное в сферических координатах (см. главу II). Интег-

рируя это уравнение, находим

где и – произвольные постоянные. Полагая

, получим функ-

цию

, которую часто называют фундаментальным решением уравне-

ния Лапласа в пространстве. Функция

является гармонической всюду в

пространстве, кроме начала координат.

Аналогично, полагая

(

)

uur= и пользуясь уравнением Лапласа в цилин-

дрических или полярных координатах (см. главу II), найдем решения, обла-

дающие цилиндрической или круговой симметрией

0ln

uc rc

rrr

∂∂

+⋅ =⇒= +

∂∂

где

rxy=+

. Выбирая

−

, будем иметь

lnu

, которую

называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют помимо большого

значения в теории гармонических функций важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным

зарядом величины

q, помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого

поля равен

⋅

Если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал

такого поля будет равен

где – линейная плотность заряда (величине заряда, рассчитанной на единицу

длины).

§ 3. Свойства гармонических функций

Теорема о среднем. Пусть функция

(

)

,uuxy

гармоническая в некото-

ром круге

D радиуса R c центром

(

)

,xy и непрерывная в соответствующем

110

замкнутом круге

DDГ

∪

. Тогда значение этой функции в центре круга рав-

но ее среднему значению на окружности

Г, ограничивающей данный круг

(рис. 5.1), т.е.

() (

00 0 0

,cos,

ux y ux R y R d

=+ϕ+ϕ

∫

)

sin

ϕ. (5.2)

Рис. 5.1

Формуле (5.2) можно придать другой вид

() ()

u x y u x y dxdy

∫∫

. (5.3)

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области

D функция

(

)

,uuxy= непрерывная и для каждой точки

(

)

,xy D

∈

выполняется теоре-

ма о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке

(

)

,xy, то

эта функция гармоничная в

Принцип максимума. Если функция

(

)

,uxy непрерывна в области D и на

ее границе

(

DDГ= ∪

)

, удовлетворяет уравнению Лапласа (гармонична) в

области

D, то максимальные и минимальные значения функции дости-

гаются на границе

Г, т.е.

(

,uxy

()

(

)

()

(

)

min , , max ,

xy Г

∈

≤

. (5.4)

Следствие. Если функция

(

)

,uuxy

непрерывна в области D и гармо-

нична в области

D, то