Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики
Подождите немного. Документ загружается.
80
81
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
2)
5
4,
3
2(4 ) (3 5) 16
x
xx
−≤<
−+ +≥
⇔
5
4,
3
3
x
x
−≤<
≥
⇔
34;x
≤<
3)
4,
2
(
4
)(
35
)
16
x
xx
≥
−+ +≥
⇔
4,
19
5
x
x
≥
≥
⇔
4≥x
.
Îòâåò:
)
13
;3;
5
−∞ − ∪ + ∞
.
Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ ñ ìîäóëåì ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ ìåòîä
èíòåðâàëîâ äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.
Ïðèìåð 29. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
1
4
45
2
2
≤
−
+−
x
xx
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
1
4
45
)
(
2
2
−
−
+−
=
x
xx
xf
, òîãäà
()
;2
f
D
=−∞− ∪
()()
2; 2 2;
∪− ∪ +∞
.
Ðåøèì óðàâíåíèå
0
)
(
=
xf
. Ïîëó÷èì:
1
4
45
2
2
=
−
+−
x
xx
⇔
445
22
−=+−
xxx
⇔
22
22
54 4
544
xx x
xx x
−+=−
−+=−
⇔
2
58
250
x
xx
=
−=
⇔
8
5
0
5
.
2
x
x
x
=
=
=
Îñòàëîñü óñòàíîâèòü çíàê f(x) íà ïðîìåæóòêàõ: (∞; 2), (2; 0),
(0;
8
5
), (
8
5
; 2), (2;
5
2
), (
5
2
; +∞).
Îòâåò:
85
0; ;
52
∞
U
.
Ðåøåíèå.
15 +>−
xx
⇔
22
)
1
(
)
5
(
+>−
xx
⇔
0
)
1
(
)
5
(
22
>+−−
xx
⇔
⇔
0
)
42
(
6 >−−
x
⇔
2<
x
.
Îòâåò:
()
;2
−∞
.
Ïîäóìàéòå íàä îáîñíîâàíèåì ñëåäóþùèõ ñõåì ðåøåíèÿ íåðà-
âåíñòâ:
22
() 0,
() ()
() ()
() 0
gx
fx gx
fx gx
gx
≥
>⇔
>
≤
è
22
() 0,
() ()
() ().
gx
fx gx
fx gx
≥
<⇔
<
Ïðèìåð 27. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
12
2
−≤−
xxx
.
Ðåøåíèå.
12
2
−≤−
xxx
⇔
()
()
≤−−−
≥−
012
,01
2
2
2
xxx
x
⇔
⇔
22
1,
(
1
)(
31
)
0.
x
xx x x
≥
−− − + ≤
Äàëåå âîñïîëüçóéòåñü ìåòîäîì èíòåðâàëîâ.
Îòâåò:
++
2
53
;
2
51
.
Íåðåäêî ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ ñ ìîäóëåì ïðèìåíÿþò ðàçáîð
ñëó÷àåâ.
Ïðèìåð 28. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
165342 ≥++−
xx
.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ:
1)
5
,
3
2(4 ) (3 5) 16
x
xx
<−
−− +≥
⇔
5
,
3
5316
x
x
<−
−+≥
⇔
5
,
3
13
5
x
x
<−
≤−
⇔
⇔
5
13
−≤
x
;
82
83
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Åñëè æå
1−≤
x
, òî
2
0,
3
1
x
x
x
+
<
+
≤−
⇔
23 −<<− x
.
Îòâåò:
() )
3; 2 2; 5
−− ∪
.
Óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû
Ðåøèòå óðàâíåíèå, ïðåäâàðèòåëüíî èññëåäîâàâ ÎÄÇ.
1.
2226
2
+−=+−+
xxxx
.
Ðåøèòå óðàâíåíèå ìåòîäîì çàìåíû (24).
2.
15453727
−++=−++
xxxx
.
3.
112
3
=−+−
xx
.
4.
421111
22
=+++
xx
.
Ðåøèòå óðàâíåíèå (513).
5.
12
2
−=−
xxx
. 6.
2125 =−+−
xx
.
7.
1852 −−=+
xx
. 8.
41719
33
=++++−
xx
.
9.
6253
)
4
)(
1
(
2
=++−++
xxxx
.
10.
597
44
=+−
xx
.
11.
1168143 =−−++−−+
xxxx
.
12.
2321 −=−
xx
. 13.
523 =−−−
xx
.
14.
163243 =−++
xx
.
Íàéäèòå è èñïðàâüòå îøèáêè â ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (1516).
15. Ðåøåíèå.
01
)
4
(
2
=+−
xx
⇔
2
40
10
x
x
−=
+=
⇔
2
1.
x
x
=±
=−
Îòâåò:
2; 1±−
.
16. Ðåøåíèå.
()
1
1
5
)
1
)(
1
(
−
+
+=−+
x
x
xxx
⇔
()
0
1
1
511
=
−
+−−+
x
xxx
⇔
Ìåòîä çàìåíû ìíîæèòåëåé
Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà çàìåíû ìíîæèòåëåé
äëÿ èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ ñ ìîäóëåì.
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
2
xy
=
âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå
(
0;
)
+∞
, à óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå
(
;0
)
−∞
,
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
0>
a
,
0>
b
, òî çíàê âûðàæåíèÿ
22
ba −
ñîâïàäàåò ñî çíàêîì
ba
−
. Àíàëîãè÷íî, åñëè
0<
a
,
0<
b
, òî çíàê
âûðàæåíèÿ
22
ba
−
ñîâïàäàåò ñî çíàêîì
ab
−
.
Ïðèìåð 30. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
()
()
()()
22
14 4 2
0
143 5
xxxxx
xxx
−−− +− −−
>
−− +−−
.
Ðåøåíèå. Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî:
()
()
()
()
()
()
()
()()
()
2
22
22
222
2
14 4( 2)
0,
1163 5
20
xxxxx
xxx
xx
−−+ +−−−
>
−− +−−
−−≥
⇔
⇔
()()
()
()( )( )
22
2
35714
0,
53228
20.
xx xx x
xxx
xx
++ − − +
>
−−− −
−−≥
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
03
2
>++
xx
,
05
2
<−−
xx
ïðè âñåõ äåé-
ñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó
()()()
()()
2
0,
53 1
120.
x
xxx
xx
+
>
−+−
+−≥
Åñëè òåïåðü
2≥
x
, òî ñèñòåìà ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
1
0,
5
2
x
x
>
−
≥
⇔
5,
2
x
x
>
≥
⇔
52 <≤
x
.
84
85
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
åò âèä
()
0
1
1
511
=
−
+−−−−
x
xxx
. 17.
11
;0 0;
3
22
−∪
.
18.
()()
4; 1 2;5
−−∪
. 19. [1; 4]. 20.
(
;3
−∞ −
. 21.
{}
23;5
∪
.
22.
(
;2
)(
0; 1
)(
3;
)
−∞ − ∪ ∪ +∞
. 23. (1; 3) .24. [6; 4]. Óêàçàíèå. Âîñ-
ïîëüçóéòåñü ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé.
⇔
()
10
1
15 0
1
x
xx
x
+=
−− + =
−
⇔
()
1
1
15
1
x
xx
x
=−
−= +
−
⇔
⇔
()
2
1
15
x
xx
=−
−=+
⇔
1
15.
x
xx
=−
−=+
Îòâåò: 1.
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî ìåòîäîì èíòåðâàëîâ (1718).
17.
1
2
811
2
<
−−
x
x
. 18.
2
1
2
12
2
>
−−
−
xx
x
.
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (1923).
19.
234
2
−>−+
xx
. 20.
2245
2
−>−−
xxx
.
21.
0
)
5
)(
2
(
)
3
(
≥−−⋅−
xxx
.
22.
3312 >−−
x
. 23.
695
2
−<+− xxx
.
24.
1042 <++−
xx
.
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
1. 2. 2. 1. 3. 1; 2; 10. 4.
5±
.5.
2
22 +
. 6.
9
10
; 2. 7. 10. 8. 0. 9. 2;
7. 10. (3; 2), (2; 3). 11. [5; 10]. 12. 1. 13.
()
2;
−∞−
. 14.
5
14
−
;
5
18
.
15. Óêàçàíèå. Ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà õîòÿ áû îäèí èç åãî ñîìíîæèòåëåé ðàâåí íóëþ, à îñòàëüíûå
ïðè ýòîì èìåþò ñìûñë. ×èñëî 2 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ,
òàê êàê ïðè
2−=
x
âûðàæåíèå
1+
x
íå èìååò ñìûñëà. 16. Ïðè
ïåðåõîäå îò âûðàæåíèÿ
)
1
)(
1
(
−+
xx
ê âûðàæåíèþ
11 −⋅+
xx
ñóæàåòñÿ ÎÄÇ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîòåðÿí êîðåíü 2. Ïðàâèëüíî
ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ:
1>
x
è
1<
x
.  óðàâíåíèè ôàêòè÷åñêè
ðàññìîòðåí ïåðâûé ñëó÷àé. Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìà-
Ëèòåðàòóðà
1.Áàøìàêîâ Ì.È. Óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. Ì.: Íàóêà,
1971.
2.Áëîõ À.Ø., Òðóõàí Ò.Ë. Íåðàâåíñòâà. Ìèíñê: Íàðîäíàÿ
àñâåòà, 1972. 222ñ.
3.Äîðîôååâ Ã.Â., Ìóðàâèí Ã.Ê., Ñåäîâà Å.À. Ïîäãîòîâêà ê ïèñü-
ìåííîìó ýêçàìåíó çà êóðñ ñðåäíåé øêîëû: Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ìåòî-
äè÷åñêèìè êîììåíòàðèÿìè. 2-å èçä., ñòåðåîòèï. Ì.: Äðîôà,
2001.
4.Êèñóíüêî À.Ã., Ãîëîâèí Þ.Î. Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÌÈÐÝÀ, 2002.
5.Êîëîñîâ Â.À. Òåîðåìû è çàäà÷è àëãåáðû, òåîðèè ÷èñåë è êîì-
áèíàòîðèêè. Ì.: Ãåëèîñ ÀÐÂ, 2001.
6.Êðàâöåâ Ñ.Â., Ìàêàðîâ Þ.Í., Ìàêñèìîâ Â.Ô. è äð. Ìåòîäû
ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî àëãåáðå. Ì.: Ýêçàìåí, 2003.
7.Ëèòâèíåíêî Â.Í., Ìîðäêîâè÷ À.Ã. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî
ìàòåìàòèêå. Àëãåáðà. Òðèãîíîìåòðèÿ. Ì.: Èçäàòåëüñêèé äîì
«ÎÍÈÊÑ 21 âåê»: Èçäàòåëüñòâî «Ìèð è Îáðàçîâàíèå», 2005.
8.Ëÿïèí Ñ.Å., Áàðàíîâà È.Â., Áîð÷óãîâà Ç.Ã. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî
ýëåìåíòàðíîé àëãåáðå. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1973.
9.Ìîäåíîâ Â.Ï. Ìàòåìàòèêà äëÿ øêîëüíèêîâ è àáèòóðèåí-
òîâ. Ì.: ÈÊÈ, Íàóêà, Ôèçìàòëèò, 2002.
10.Ìîðäêîâè÷ À.Ã. Áåñåäû ñ ó÷èòåëÿìè ìàòåìàòèêè: Ó÷åáíî-
ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå. 2-å èçä., äîï. è ïåðåðàá. Ì.: Èçäà-
òåëüñêèé äîì «ÎÍÈÊÑ 21 âåê»: Èçäàòåëüñòâî «Ìèð è îáðàçîâà-
íèå», 2005.
11.Ïåòðîâ Ê. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå: Êí. äëÿ ó÷èòåëÿ.
Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1984.
12.Ñèâàøèíñêèé È.Õ. Íåðàâåíñòâà â çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà,
1967.
13.Òêà÷óê Â.Â. Ìàòåìàòèêà àáèòóðèåíòó. 12-å èçä., èñïð. è
äîï. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÌÖÍÌÎ, 2005. 944ñ.
14.Øàáóíèí Ì.È. Ìàòåìàòèêà äëÿ ïîñòóïàþùèõ â âóçû. Íå-
ðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. Ì.: Àêâàðèóì, 1997.
Ñîäåðæàíèå
Ëåêöèÿ 1.
Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ,
íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ ................................................ 3
Ëåêöèÿ 2.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ ............................................... 26
Ëåêöèÿ 3.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé .................................... 44
Ëåêöèÿ 4.
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà .......................... 63
86