Чикуров И.Г. Алгоритмическое и программное обеспечение компьютерных систем управления. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Теперь запишем их в форме Шеннона.

dy xds

dy xd

dx yd

dx yds

=-a

где

dS Rd

Обозначим для краткости

. Тогда:

, const.

dy xds

dx yds

=-j j=

Двум дифференциальным уравнениям соответствуют два

последовательно включенные интегратора (рис.3.9).

Рис.3.9. Схема соединения интеграторов при круговой интерполяции

Применяя для полученной схемы уравнения (7), записываем

рекуррентные формулы, с помощью которых будут вычисляться

коэффициенты степенных функций

()

1 0 10

2 1 21

3 2 32

4 3 43

x y yx

=-j =j

LLLLL LLLLL

dy dx

Абсолютные значения координат находим по схеме Горнера:

43210

{[( ) ]}

x xsx sx sx sx

y ysy sy sy sy

= D+ D+ D+ D+

Программу решения задачи пишем на языке С++ в двух

вариантах. Рассмотрим первый вариант программы.

Чтобы получить компактный, легко читаемый код, объявим для

хранения коэффициентов степенных полиномов два массива.

Запишем эти и последующие операторы с использованием команд

языка С++:

[]

éù

êú

ëû

[]

éù

êú

ëû

;

Запишем рекуррентные формулы вычисления коэффициентов

степенных функций в виде двух операторов:

p[i]=-j t[i-1] i;

t[i]= j p[i-1] i;

Значения коэффициентов вычисляем с помощью этих формул в

цикле for. Результаты вычислений выводим на экран монитора с

помощью функции cout.

Погрешность решения задачи можно пронаблюдать, если задать

число циклов интерполяции, укладывающихся целое число раз в

каждом квадранте окружности. С этой целью шаг интегрирования

надо вычислить по формуле

s=2 rad n;

D p*

где

rad

- радиус интерполируемой окружности;

- число циклов

интерполяции.

Запишем начальные значения параметров и переменных.

p[0]=rad;

t[0]=0;

j=1 rad;

Чтобы построить качественные графики интерполируемых

окружностей, надо результаты решения задачи записать в текстовый

файл и импортировать его в математическую систему MathCAD.

Чтение текстового файла в MathCAD осуществляется с помощью

функции READPRN(«имя файла»).

Чтобы можно было оперативно изменять порядок точности

численного метода, составим второй вариант программы, записав в

ней формулы для вычисления сумм степенных рядов в виде

следующего алгоритма:

[

]

[

]

[

]

[ ] [] []

pj-1=pj s+pj-1;

tj-1=tj s+tj-1;

Теперь количество коэффициентов степенных рядов, т.е.

порядок точности численного метода, можно изменять, например с

помощью константы

Порядок выполнения лабораторной работы

1) В соответствии с рассмотренным алгоритмом составить

рабочую программу круговой интерполяции на алгоритмическом

языке С++ и отладить ее.

2) Получить распечатку (листинг) данных при значениях

параметров в соответствии с вариантом выданного задания.

Предлагается решить на компьютере задачу при значениях порядка

точности

и при

. Сравнить полученные результаты.

3) В программе предусмотреть экспорт текстового файла в

математическую систему MathCAD. Воспроизвести с помощью этой

системы пространственный график сферической интерполяции. В

заголовках графиков указать фамилию и группу студента.

Содержание отчета

1) Краткое описание алгоритма круговой интерполяции.

2) Блок-схема алгоритма.

3) Код программы.

4) Распечатка результатов испытаний.

5) Графики круговой интерполяции.

6) Выводы по работе.

Варианты заданий

Вариант

Направление

интерполяции

Радиус

(дискрет)

Число

циклов

1 G02 10000 6000

2 G02 12000 6100

3 G02 13000 6200

4 G02 14000 6300

5 G02 15000 6000

6 G02 16000 6100

7 G02 17000 6200

8 G02 18000 6300

9 G03 10000 6300

10 G03 12000 6200

11 G03 13000 6100

12 G03 14000 6000

13 G03 15000 6300

14 G03 16000 6200

15 G03 17000 6100

16 G03 18000 6000

Контрольные вопросы

1. Почему в алгоритме круговой интерполяции выбирают в

качестве аргумента приращение пути вдоль контура обработки?

2. Как в процессе обработки детали изменяют скорость и

направление подачи?

3. С какой целью при решении траекторных задач в системах ЧПУ

применяют дифференциальные уравнения в форме Шеннона?

4. Приведите дифференциальные уравнения в форме Шеннона для

воспроизведения математических функций: экспоненты,

синусоиды, гиперболы. Представьте вычисления этих функций в

виде структурных схем с использованием интеграторов Римана

и интеграторов Стилтьеса.

5. Выведите формулы численного решения дифференциальных

уравнений в форме Шеннона степенным методом.

6. Приведите алгоритм круговой интерполяции на основе

численного решения дифференциальных уравнений степенным

методом.

Список литературы

1. Крис Паппас, Уильям Мюррей. Visual C++. Руководство

разработчика: Пер. с англ. – К.: Издательская группа BHV, 2000.

2. Подбельский В.В. Язык Си++: учеб пособие.-М.: Финансы и

статистика, 2008.

3. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. – СПб.:

Питер, 2002.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ИСПЫТАНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО

ИНТЕРПОЛЯТОРА ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНЫХ УЧПУ

Цель работы

Изучить алгоритм сферической интерполяции. Алгоритм

близок к реальному алгоритму и может применяться для управления

движениями рабочих органов производственных машин в контурных

системах ЧПУ.

Теоретические сведения

Алгоритм сферической интерполяции может применяться для

управления обработкой сложнопрофильных деталей на

металлорежущих станках фрезерной группы, а также на

многокоординатных станках. Кроме того, этот алгоритм удобен для

управления промышленными роботами, рабочие органы которых

перемещаются по сложным пространственным траекториям.

Сущность сферической интерполяции сводится к

воспроизведению на станке или в роботе дуг окружностей,

ориентированных произвольно в пространстве. Соединяя участки дуг

разных радиусов и ориентируя в пространстве плоскости, в которых

расположены эти дуги, соответствующим образом, можно достаточно

точно аппроксимировать разнообразные кривые, по которым

движется режущий инструмент или рука робота. Важно, что при

таком способе аппроксимации кривых, первая производная на

границе смежных участков не терпит разрыва, т.е.

аппроксимирующая функция гладкая.

Система дифференциальных уравнений окружности,

ориентированной произвольно в пространстве, имеет вид:

( )

Bz Cy

dsR

Cx Az

dsR

Ay Bx

dsR

(1)

Обозначим:

BzCyF

CxAzG

Ay Bx H

(2)

Тогда дифференциальные уравнения (1) примут вид:

dsR

Чтобы определить неизвестные

, продифференцируем

уравнения (2).

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

222

dF dz dy

B C BH CG B Ay Bx C Cx Az

dsdsdsRR

ABy B x C x ACZ ABy A x x ACz

AAxByCzxx

=-= -= -- -=

éù

ëû

= --+ = +-+=

= + + - =-

éù

ëû

Аналогично:

dsR

Окончательно система дифференциальных уравнений для

сферической интерполяции принимает вид:

F dx Fds

dsRR

G dy Gds

dsRR

H dz Hds

dsRR

x dF xds

dsRR

y dG yds

dsRR

z dH zds

dsRR

=- =-

Структурная схема сферического интерполятора включает

шесть интеграторов Римана (рис.4.1). Коэффициенты рядов Тейлора,

в которые раскладываются функции x, y, z, F, G и H, имеют вид:

101010

212121

323232

434343

111

xFyGzH

RRR

xFyGzH

RRR

xFyGzH

RRR

xFyGzH

RRR

===

101 010

212 121

323 232

434343

111

FxGyHz

RRR

FxGyHz

RRR

FxGyHz

RRR

FxGyHz

RRR

=- =- =-

Рис. 4.1. Структурная схема сферического интерполятора

Значения переменных в конце шага интегрирования находим в

виде степенных рядов, вычисляемых по схеме Горнера.

(

)

{

}

( )

{ }

( )

{ }

43210

......................................................

x xsx sx sx sx

y ysy sy sy sy

H HsH sH sH sH

= D+ D+ D+ D+éù

ëû

= D+ D+ D+ D+éù

ëû

= D+ D+ D+ D+éù

ëû

Перед отработкой кадра управляющей программы в режиме

сферической интерполяции необходимо задать начальные значения

параметров

0 00

,,,

Rxyz

, направляющие косинусы плоскости

интерполяции

ABC

, вычислить начальные значения переменных

000

F Bz Cy

0 00

G Cx Az

0 00

H Ay Bx

и задать шаг

интегрирования

. Величина этого шага определяет скорость

движения инструмента по контуру обработки.

Задание на практическое занятие

Программа должна быть составлена на языке Visual C++ в двух

вариантах. В первом варианте программы надо расположить

интерполируемую окружность в плоскости

Oxy

, что позволит

сравнить этот частный случай сферической интерполяции с обычной

круговой интерполяцией. Во втором варианте программы плоскость

окружности можно ориентировать произвольно, в соответствии с

заданием на лабораторную работу.

Методика решения задачи

Составим два варианта программы сферической интерполяции

на алгоритмическом языке С++. В первой программе направляющие

косинусы плоскости интерполяции зададим так, чтобы окружность

разместилась горизонтально. Это позволит сравнить результаты

работы программы с результатами круговой интерполяции (см.

практическое занятие № 1) и убедиться в корректности программы.

Хранить вычисленные значения коэффициентов степенных

полиномов удобно в двумерных массивах. Запишем их в виде

операторов языка С++.