Черный А.А. Основы изобретательства и научных исследований
Подождите немного. Документ загружается.
41
42
43
44
45
n
mm
хv −= ; (2)
(
)
2
n
m
n2
m
rn
m
r
m
n
m
m
xx
xxx
a
−
−⋅
=
+
; (3)
(
)
n
mm
r
mm
xaxc ⋅+−= ; (4)
(
)
2
2 n
m
n
m
sn
m
s
m
n
m
m
xx
xxx
p
−
−⋅
=
+
;
);(
1
rn
m
r
m
n
mm
sr
m
s
m
r
mm
xxxPxxxt
++
−⋅+−⋅=
];)[()(
22
2
n
m
n
mmm
sn
m
s
m
n
mmm
xxPaxxxat −+−⋅=
+
);(2)(
22
3
r
m
n
m
rn
mm
r
m
r
mm
xxxaxxt −−+−=
+
46
[
]
;
)(
222
3
21
n
m
n
mmm
mm
m
xxat
tt
d
−⋅+
+
=
(5)
mmmm
Pade
+
⋅
=
; (6)
(
)
n
mm
r
mm
s
mm
xexdxf ⋅+⋅+−= ; (7)
n
mm
r
mm
xaxt ⋅+=
4
;
n
mm
rn
m
n
mmm
xaxxtt
2
45
⋅−−⋅=
+
;
mm
r
mm
rn
mm
r
mm
atxtxaxt ⋅−⋅−⋅+=
+
54
2
6
;
sn
mm
sr
mmm
s
mmm
xaxPtxtt
++
⋅−−⋅+⋅=
547
;
(
)
2
2 n
m
n
m
wn
m
w
m
n
m
m
xx
xxx
z
−
−⋅
=
+
;
wn
mm
wr
m
w
mmmmm
xaxxtztt
++
⋅−−⋅+⋅=
458
;
sn
mm
sr
mm
s
mm
xexdxt
++
⋅+⋅+=
2
9
;
rn
mm
r
mm
sr
mm
xexdxt
++
⋅+⋅+=
2
10
;
n
mm
rn
mm
sn
mm
xexdxt
2
11
⋅+⋅+=
++
;
n
mm
r
mm
s
mm
xexdxt ⋅+⋅+=
12
;
wn
mm
wr
mm
ws
mm
xexdxt
+++
⋅+⋅+=
13
;
111214 m
n
mmm
txtt −⋅= ;
mm
s
mmm
Ptxttt ⋅−⋅−=
1412915
;
101216 m
r
mmm
txtt −⋅= ;
13121417 m
w
mmmm
txtztt −⋅+⋅= ;
167156
168176
mmmm
mmmm
m
tttt
tttt
g
⋅−⋅
⋅
+
⋅
= ; (8)
6
87
m
mmm
m
t
)ttg(
h
+
⋅
= ; (9)
mmmmmm
zahPgk
+
⋅
+
⋅= ; (10)
47
).(
n
mm
r
mm
s
mm
w
mm
xkxhxgxl ⋅+⋅+⋅+−=
(11)
Полученные выше зависимости предназначены для приближенных
вычислений на ЭВМ. Несмотря на то, что с точки зрения элементарной ма-
тематики многие зависимости дают нулевые величины, при выполнении
расчетов на компьютере по этим зависимостям без их изменения получа-
ются величины, не равные нулю, в итоге достигается высокая точность
расчетных величин.
Подстановка в уравнение (1) и в матрицу планирования (см.табл.1)
рассчитанных по формулам (2) – (11) величин коэффициентов ортогонали-
зации обеспечивает ортогональность планирования однофакторных и мно-
гофакторных экспериментов на пяти асимметричных уровнях факторов.
В связи с ортогональным планированием коэффициенты регрессии
уравнения (1) и дисперсии в определении коэффициентов регрессии рас-
считываются независимо друг от друга по
формулам:
()
edcba
N
u
u
N
u
u,o
N
u
uu,o
'
o
yyyyy
N
y
N
x
yx
b ++++⋅=⋅=
⋅
=
∑
∑
∑
=
=
=
11
1
1
2
1
;
()
22222
1
2
1
mnemndmncmnbmna
dmndcmncemnebmnbamna
N
u
u,mn
N
u
uu,mn
mn
xxxxx
yxyxyxyxyx
x
yx
b
++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
;
()
22222
1
2
1
mremrdmrcmrbmra
dmrdcmrcemrebmrbamra
N
u
u,mr
N
u
uu,mr
mr
xxxxx
yxyxyxyxyx
x
yx
b
++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
()
22222
1
2
1
msemsdmscmsbmsa
dmsdcmscemsebmsbamsa
N
u
u,ms
N
u
uu,ms
ms
xxxxx
yxyxyxyxyx
x
yx
b
++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
()
22222
1
2
1
mwemwdmwcmwbmwa
dmwdcmwcemwebmwbamwa
N
u
u,mw
N
u
uu,mw
mw
xxxxx
yxyxyxyxyx
x
yx
b
++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
⋅
=
∑
∑
=
=
48
{}
{}
ys
N
1
bs
2'
0
2
⋅= ;
{} {}
(
)
2222222
mnemndmncmnbmnamn
xxxxx/ysbs ++++= ;
{} {}
(
)
2222222
mremrdmrcmrbmramr
xxxxx/ysbs ++++=
;
{} {}
(
)
2222222
msemsdmscmsbmsams
xxxxx/ysbs ++++=
;
{} {}
(
)
2222222
mwemwdmwcmwbmwamw
xxxxxysbs ++++= /
;
где
s
2
{y} - дисперсия опытов; s
2
{b
′
o
}, s
2
{b
mn
}, s
2
{
b
mr
}, s
2
{b
ms
}, s
2
{b
mw
} – дис-
персии в определении соответствующих коэффициентов регрессии
b
′
o
, b
mn
,
b
mr
, b
ms
, b
mw
.
При математическом моделировании на пяти уровнях
m-го фактора
N = 5.
В многочлене (1) каждый последующий член имеет на один коэффи-
циент ортогонализации больше, чем предыдущий член. Так, второй член
имеет один коэффициент ортогонализации, третий член – два, четвертый
член – три, пятый член – четыре коэффициента ортогонализации, а всего
получилось десять коэффициентов ортогонализации, причем по мере уве-
личения количества коэффициентов ортогонализации усложняются фор-
мулы
для расчета этих коэффициентов. Очевидно, что планирование экс-
периментов на пяти уровнях независимых переменных является предель-
ным и вполне достаточным для выявления сложных математических моде-
лей процессов Важной особенностью уравнения регрессии (1) и матрицы
планирования (см.табл.1) является их универсальность в связи с возмож-
ностью изменения чисел показателей степени факторов и перехода
в част-
ных случаях к планированию на четырех и трех уровнях факторов.
Рационально выявлять многофакторные математические модели и
производить оптимизацию сложных процессов по системе сравнительно
простых уровней на основе полинома (1).
В табл. 2, 3, 4, 5, 6, 7 приведены планы
4·k + 1, а на рис. 2, 3, 4, 5, 6, 7
схемы зависимостей показателей от факторов, когда количество факторов
k соответственно 2, 3, 4, 5, 6, 7. Планирование предусматривается на пяти
уровнях каждого фактора. Средний уровень каждого фактора является
арифметической величиной
x
me
= 0,5 · (x
ma
+ x
mb
), что позволяет все сред-
ние уровни факторов совместить в одной общей точке и создать пучок
49
кривых линий. Количество линий в пучке равно количеству факторов (см
рис. 2-7). В табл. 2-7 обозначение факторов и показателей соответствует
принятым в компьютерных программах, причем
Е1 = 0,5 · (x
1a
+ x
1b
),
Е2 = 0,5 · (x
2a
+ x
2b
), Е3 = 0,5 · (x
3a
+ x
3b
), Е4 = 0,5 · (x
4a
+ x
4b
),
Е5 = 0,5 · (x
5a
+ x
5b
), Е6 = 0,5 · (x
6a
+ x
6b
), Е7 = 0,5 · (x
7a
+ x
7b
).
На среднем уровне факторов опыты надо повторять несколько раз
для выявления дисперсий
s
2
{y}. При планировании экспериментов на пяти
уровнях факторов можно получить систему, в которую будет входить
столько уравнений, сколько принять факторов, влияющих на показатель.
Система уравнений может быть математической моделью сложного мно-
гофакторного процесса. Анализируя каждое полученное уравнение систе-
мы и результаты расчетов по уравнениям, можно выявлять возможность
оптимизации процессов, прогнозировать улучшение
показателей, разраба-
тывать новые составы, устройства, вещества. На основе планирования
4·k
+ 1
можно получать разнообразные математические зависимости, которые
графически могут быть такими, как показаны на рис. 2-7, и более сложны-
ми. Используя выявленные существенные факторы, рациональные интер-
валы варьирования факторов, наиболее приемлемые показатели степени
факторов в уравнениях регрессии можно обоснованно перейти на матема-
тическое моделирование 5
2
, когда количество факторов 2, а количество
уровней каждого фактора 5. Рационально заменять отдельные существен-
ные факторы комплексными факторами или зависимостями одних факто-
ров от других.
Таблица 2
План 4·k + 1 при k = 2
№ х
1
х
2
у
1 A1 = x
1a
E2 Y(1)
2 B1 = x
1b
E2 Y(2)
3 C1 = x
1c
E2 Y(3)
4 D1 = x
1d
E2 Y(4)
5 E1 A2 = x
2a
Y(1)
6 E1 B2 = x
2b
Y(2)
7 E1 C2 = x
2c
Y(3)
8 E1 D2= x
2d
Y(4)
9 E1 E2 Y(5)
50
Таблица 3
План 4·k + 1 при k = 3
№ х
1
х
2
х
3
у
1 A1 = x
1a
E2 E3 Y(1)
2 B1 = x
1b
E2 E3 Y(2)
3 C1 = x
1c
E2 E3 Y(3)
4 D1 = x
1d
E2 E3 Y(4)
5 E1 A2 = x
2a
E3 Y(1)
6 E1 B2 = x
2b
E3 Y(2)
7 E1 C2 = x
2c
E3 Y(3)
8 E1 D2= x
2d
E3 Y(4)
9 E1 E2 A3 = x
3a
Y(1)
10 E1 E2 B3 = x
3b
Y(2)
11 E1 E2 C3 = x
3c
Y(3)
12 E1 E2 D3 = x
3d
Y(4)
13 E1 E2 E3 Y(5)
Таблица 4
План 4·k + 1 при k = 4
№ х
1
х
2
х
3
х
4
у
1
A1 = x
1a
E2 E3 E4 Y(1)
2
B1 = x
1b
E2 E3 E4 Y(2)
3
C1 = x
1c
E2 E3 E4 Y(3)
4
D1 = x
1d
E2 E3 E4 Y(4)
5
E1 A2 = x
2a
E3 E4 Y(1)
6
E1 B2 = x
2b
E3 E4 Y(2)
7
E1 C2 = x
2c
E3 E4 Y(3)
8
E1 D2= x
2d
E3 E4 Y(4)
9
E1 E2 A3 = x
3a
E4 Y(1)
10
E1 E2 B3 = x
3b
E4 Y(2)
11
E1 E2 C3 = x
3c
E4 Y(3)
12
E1 E2 D3 = x
3d
E4 Y(4)
13
E1 E2 E3 A4 = x
4a
Y(1)
14
E1 E2 E3 B4 = x
4b
Y(2)
15
E1 E2 E3 C4 = x
4c
Y(3)
16
E1 E2 E3 D4 = x
4d
Y(4)
17
E1 E2 E3 E4 Y(5)