Чернов В.П. Математические модели и методы в экономике и менеджменте

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 1.4. Граничная прямая по ресурсу Мука

Теперь найдем полуплоскость, соответствующую второму нера-

венству системы ограничений. Ее граничная прямая проходит через

точку В

с координатами (1600; 0), лежащую на оси 0x

, и через точку с

координатами (0; 8000) на оси 0x

. Для удобства изображения заменим

вторую точку другой точкой, лежащей на той же прямой.

Для этого положим x

= 3000. Тогда из уравнения прямой получаем

= (480 – 0,06*3000) / 0,3 = 1000. В качестве B

возьмем точку с коор-

динатами (1000, 3000). Соединим прямой линией точки В

и B

(рис. 1.5).

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Рис. 1.5. Граничные прямые по ресурсам Мука и Масло

Из двух возможных полуплоскостей опять следует выбрать ту, ко-

торая содержит начало координат.

Аналогично строятся границы по остальным ресурсам (рис. 1.6). Гра-

нице по Яйцу соответствует прямая C

, границе по Сахару – прямая

, границе по Труду – прямая E

, по Оборудованию 1 – прямая

, по Оборудованию 2 – прямая G

. Каждый раз следует выбрать

ту полуплоскость, которая содержит начало координат.

Условия ограниченности недельного спроса (x

, x

ограничены ве-

личиной 3000) определяют горизонтальную и вертикальную границы

чертежа. Неотрицательность переменных x

и x

соответствует первой

координатной четверти. Таким образом, четыре стороны квадрата со-

ответствуют ограничениям модели.

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Рис. 1.6. Граничные прямые по всем ресурсам

Пересечение всех полученных полуплоскостей определяет шести-

угольник, примыкающий к началу координат. Это и есть область до-

пустимых планов.

Любая точка данного шестиугольника удовлетворяет всем ограни-

чениям задачи и соответствует допустимому плану. Если при этом точ-

ка лежит на стороне шестиугольника, то ее координаты, подставленные

в левую часть ограничения-неравенства, обращают ограничение в ра-

венство. Такое ограничение называется связанным. Данная ситуация

означает, что реализация плана требует полного использования соот-

ветствующего ресурса.

Точка, лежащая в вершине шестиугольника, обращает в равенство

сразу два ограничения и соответствует полному использованию сразу

двух ресурсов. Точек, лежащих на пересечении сразу трех или больше-

го числа ограничений, в нашей задаче не существует.

Точка, лежащая вне шестиугольника, не удовлетворяет хотя бы од-

ному ограничению. Графики позволяют не просто констатировать не-

допустимость такой внешней точки, но и определить, каким именно

ограничениям она не удовлетворяет, каких именно ресурсов не хватает

для реализации плана. Вся внешняя область разбивается на много-

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

угольники, точки которых не удовлетворяют тем или иным ограниче-

ниям.

Точки, удовлетворяющие всем ограничениям, – это точки нашего

шестиугольника. Его границы соответствуют сырьевым ресурсам.

Линии Труда и Оборудования 1 и 2 (прямые E

, F

, G

) ока-

зываются в стороне. Это означает, что при реализации любого допус-

тимого плана данной задачи трудовые ресурсы и производственные

мощности не будут, по существу, ограничивать наши возможности, так

как они в более жесткой форме ограничены запасами сырья. Следова-

тельно, если у нас появится возможность изменить доступные объемы

ресурсов, то ее следует направить в первую очередь на изменение запа-

сов сырья.

Построение области допустимых планов использует лишь систему

ограничений. Для определения оптимального плана необходимо при-

влечь целевую функцию. Однако кое-что про оптимальный план можно

сказать уже сейчас.

Во-первых, область допустимых планов непуста и ограничена.

Следовательно, оптимальный план существует.

Во-вторых, оптимальным планом наверняка окажется одна из вер-

шин шестиугольника. Если оптимальный план у нашей задачи единст-

вен, то этим планом будет одна вершина. Если же он не единствен, то

этим оптимальным планом окажутся две соседние вершины, а вместе с

ними и все точки стороны шестиугольника.

Построение градиента

и определение оптимального плана

Обратимся к целевой функции. Ее градиент есть вектор (32; 27).

Для решения задачи следует изобразить этот вектор в виде стрелки с

началом в точке (0; 0) и концом в точке (32; 27).

Такая стрелка является короткой и поэтому плохо различимой на

чертеже. Однако длина этой стрелки не играет никакой роли при реше-

нии задачи. Важно лишь ее направление. Если обе координаты точки

(32; 27) умножить или разделить на одно и то же положительное число,

то изменится лишь длина стрелки, но не ее направление. Поэтому на

результате решения задачи это не скажется.

Удлиним стрелку до границы нашего рисунка (рис. 1.7). Все линии

уровня целевой функции параллельны друг другу и перпендикулярны

градиенту. На рис. 1.7 пунктиром изображены линии, соответствующие

различным значениям целевой функции, начиная от 10000 и с шагом

16000. Разумеется, такие линии могут быть построены для любых зна-

чений целевой функции, они параллельны и все вместе покрывают ко-

ординатную плоскость.

Градиент показывает направление роста целевой функции. Мы

решаем задачу на максимум. Чем больше значение целевой функции,

тем лучше. Однако при слишком больших значениях пунктирная линия

уровня окажется за пределами области допустимых планов.

Рис. 1.7. Градиент и линии уровня целевой функции

Необходимо найти крайнее положение линии уровня – такое, когда

она имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых планов –

шестиугольником OC

KLMB

(рис. 1.8), но при любом сдвиге в на-

правлении градиента выходит за пределы данной области.

В своем крайнем положении линия уровня проходит через точку L.

Таким образом, точка L является оптимальным планом задачи. Это

единственная точка, принадлежащая одновременно области допусти-

мых планов и линии уровня в ее крайнем положении. Следовательно,

наша задача обладает единственным оптимальным планом.

Найдем координаты оптимального плана. Приближенно их можно

определить по чертежу. Для точного расчета необходимо решить соот-

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Градиент

58000

90000

74000

42000

26000

10000

106000

122000

138000

154000

170000

ветствующую систему уравнений. Точка L лежит на границе первого и

четвертого ограничений.

Рис. 1.8. Построение оптимального плана

Составляем систему уравнений:









4503020

8253050

x,x,

Решив эту систему, получаем компоненты оптимального плана: x

= 1250 и x

= 667. Таким образом, оптимальный план X*

max

равен:

)667;1250()x,x(X

max



Он предписывает выпустить 1250 кг Печенья и 667 (точнее,

666,667) кг Бисквитов.

Для определения оптимума следует подставить компоненты опти-

мального плана в целевую функцию задачи. Оптимум Z*

max

определя-

ется равенством:

58000667,66627125032Z

max



Таким образом, реализация выпущенной продукции даст выручку

в размере 58000 руб. Задача решена. Теперь следует обратиться к эко-

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Градиент

Опт. план

номическому содержанию задачи и проанализировать полученный ре-

зультат.

Рассмотрим, для полноты картины, задачу, когда при той же сис-

теме ограничений и той же целевой функции требуется найти не мак-

симальное, а минимальное ее значение. В этой ситуации все рассужде-

ния, связанные с построением области допустимых планов и градиента,

полностью сохраняются. Однако для нахождения оптимального плана

следует теперь смещать линию уровня до крайнего положения в на-

правлении, противоположном градиенту. Оптимальным планом для за-

дачи на минимум окажется точка О – начало координат. Оптимум бу-

дет равен 0.

В следующих заданиях изучаются различные модификации усло-

вий конкретной ситуации с производством Печенья и Бисквитов.

Задание 1.3. Модификации графического анализа

Предположим, что спрос на печенье ограничен и составляет 1000

кг за плановый период.

1. Введите это условие в математическую модель задачи.

2. Изобразите это условие на чертеже.

3. Определите новый оптимальный план и оптимум.

Предположим, что по заключенным ранее договорам фирма обяза-

лась произвести и продать 1000 кг бисквитов.

4. Введите это условие в математическую модель задачи.

5. Изобразите это условие на чертеже.

6. Определите новый оптимальный план и оптимум.

Задачи постоптимизационного анализа

После математического решения задачи линейного программиро-

вания, расчета ее оптимального плана и оптимума, необходимо проана-

лизировать полученные результаты. Такой анализ называют постопти-

мизационным.

Общая задача такого анализа – определить устойчивость полу-

ченного решения к тому или иному изменению ситуации, к изменению

условий задачи, а также оценить чувствительность решения к изме-

нению конкретных численных значений тех или иных параметров си-

туации.

Обычно результаты анализа охватывают несколько разделов. Важ-

ность тех или иных разделов зависит от конкретной экономической си-

туации, описываемой в задаче.

Теневая цена ресурса

Во-первых, необходимо выявить, на границах каких ограничений

находится оптимальная точка. Эти ограничения выполняются как ра-

венства (связанные, или активные, ограничения), остальные – как

строгие неравенства (несвязанные, неактивные ограничения). Это

важная информация.

Для задачи производственного планирования ограничения соот-

ветствуют ресурсам. Равенство левой и правой частей ограничения, его

активность означает полное использование данного ресурса. Строгое

неравенство – неполное использование ресурса.

В нашем примере связанными являются ограничения по Муке и

Сахару. Оптимальный план лежит на пересечении границ по этим ре-

сурсам. Эти два ресурса используются полностью. Остальные избыточны.

Знание того, какие ресурсы как используются, определяет узкие

места в обеспечении производственного процесса и возможность ма-

невра. Можно, например, продать излишки ресурсов для получения до-

полнительного дохода. Можно, наоборот, докупить дополнительные

объемы тех ресурсов, которые используются полностью. Эти новые

объемы вместе с оставшимися излишками других ресурсов позволят

выпустить дополнительную продукцию и получить дополнительный

доход. Для того чтобы оценить выгодность такого решения, следует

оценить величину такого дополнительного дохода, то есть величину

предельной эффективности ресурсов. Величина предельной эффектив-

ности называется также теневой ценой (или двойственной оценкой)

ресурса.

Предположим, что доступный объем Муки незначительно увели-

чился с 825 кг до 825 +  (например, на 1 кг, так что  = 1). Это соот-

ветствует небольшому сдвигу прямой A

на рис. 1.8 вправо. Область

допустимых планов расширилась, производственные условия стали

свободнее, и это может привести разве лишь к увеличению выручки.

Оптимальный план, оставаясь на пересечении тех же границ по Муке и

Сахару (линий A

и D

) сместится по прямой D

направо-вниз.

Это соответствует увеличению производства Печенья (смещение на-

право) при одновременном уменьшении производства Бисквитов

(смещение вниз). В результате несложных расчетов получим новый

план, предписывающий производить больше Печенья на 3,333 кг и

меньше Бисквитов на 2,222 кг. Дополнительная выручка при этом

равна 46,67 руб.

Таким образом, если запас Муки изменится на величину , то вы-

ручка изменится на величину 46,67 руб. Дополнительная единица

ресурса позволяет увеличить выручку на 46,67 руб. Эта величина 46,67

руб. и есть теневая цена Муки.

Аналогичный расчет показывает, что теневая цена Сахара состав-

ляет 43,33 руб. Теневые цены всех остальных ресурсов равны 0. Дейст-

вительно, остальные ресурсы в нашей ситуации избыточны, так что их

приращение не вызовет изменение оптимального плана и оптимума.

Отметим, что теневая цена является внутренней характеристикой

ресурса в сложившейся производственной ситуации и не отражает цен-

ность данного ресурса во внешней среде, его рыночную цену.

Теневая цена определяет оценку чувствительности оптимума к из-

менению правых частей ограничений.

Сопоставление теневой и рыночной цены может служить основа-

нием для принятия решения о закупке дополнительных объемов данно-

го ресурса (если теневая цена больше рыночной) или о продаже части

ресурса (если теневая цена меньше рыночной). В решениях такого рода

важным является вопрос о границах действия теневой цены, а, тем са-

мым, и о разумных объемах купли-продажи ресурса.

Критические границы и допустимые изменения ресурса

Если в нашем примере постепенно увеличивать запас Муки, то оп-

тимальный план будет смещаться, оставаясь на пересечении границ по

Муке и Сахару (по линии D

на рис. 1.8). Так будет продолжаться до

тех пор, пока он не дойдет до точки N – точки пересечения границ по

Сахару и Маслу (линий D

и B

). В точке N пересекутся три грани-

цы: по Муке, Маслу и Сахару.

Этот момент является критическим. Дальнейшее увеличение запа-

са Муки приведет к избыточности данного ресурса. Он станет несвя-

занным, его теневая цена будет равна 0. Связанным станет Масло. Та-

ким образом, в наборе связанных ресурсов, после прохождения крити-

ческого положения границы, один ресурс будет заменен другим, два

этих ресурса изменят свой статус.

На рис. 1.9 укрупненно представлен фрагмент рис. 1.8 (изменены

шкалы значений по горизонтальной и вертикальной оси, но сохранены

обозначения A

, B

…, соответствующие ресурсам). Смещенная

линия A

по ресурсу Мука, в своем верхнем критическом положении

изображена штрих-пунктирной линией, проходящей через точку N.

Расчет критической границы по Муке можно провести следующим

образом. Сначала определим координаты точки пересечения границ по

Сахару и Маслу.

Рис. 1.9. Критические границы ресурса

Для этого следует решить соответствующую систему уравнений









4503020

48006030

x,x,

В результате получим

= 1500, x

= 500.

Подставим эти значения в левую часть неравенства, определяюще-

го ограничение по Муке:

0,51500 + 0,3500 = 900.

Полученная величина 900 и является верхней критической грани-

цей по ресурсу Мука. Таким образом, исходный объем Муки, равный

825 кг, можно увеличить на 75 кг без изменения статуса ограничений и

без изменения теневой цены ресурса. Величина 75 кг в этом примере

является допустимым увеличением Муки.

200

700

1200

700 1200 1700

Градиент

Опт. план