Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

80 Гпава 23

и„

—и,

Ау

или

Ау

(2)

Разности (1), (2) называются нецентрированными разно-

стями.

Представляя вторую разность как разность первых разно-

стей, вторые производные в точке / представим в виде

' о и ^

_(^т''Щ)-(Щ-Щ) ^^т-^Щ'^Щ .

Ах:' Дх'

(3)

v^^^

_ К -Щ)-(Щ -Uj) _

и„

-2и, +Uj

Ay' Ay'

1°. Для двумерной области (рис. 23.2) целесообразнее для

функций ввести двойную нумерацию.

Уп^1

Уп

Уп-i

Уп-1

^п,

^т

Рис. 23.2

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ 81^

Так, разбивая область прямоугольной сеткой

соответстве-

но равными шагами Дх, Ау, значения производных в точке

ко-

ординатами х^,у^ могут быть заменены конечными

приращениями

Эх 2Ах'

ди _ 1

ду 2Ау'

д'и 1

-ч ~ /, л ' ^'m+l.n

^^т-1,п

-\ /^ .

(^т.п+\

^m,n-\J'

Эх' Дх'

д'и 1

/"m^l.„-2"„,«+Wm-l,J;

Э/ Ау

д'и 1

Ау

( "m+l,n+l """m-l,n+l ~"m+l.n-l "^^m-l.a-l J'

дхду 4AxAy

^ =

^(""^+2,.

-"m^i,„ +6M„„ -4M„_,„

+M„.2,J;

Э'м -1

ду' Ay'

д'и 1

Э/Э/ Ax'Ay'

( ^m+l,w+l "'"^m+l.n-l ^^m+l,n ^^m./i+l "^

m,n m,n^\ m—\,n w—1,л+1

т—\,п—\У^

Действующую нагрузку

правые части дифференциальных

уравнений представляем в виде величин, отнесенных к узлам

сетки. Сетка может быть и прямоугольной, т. е. Ах^ Ау.

1.1. Задача о кручении стержня квадратного сечения сво-

дится к решению уравнения Пуассона

Гпава 23

Найти решение уравнения при нулевых значениях функции

напряжения Прандтля F(x,y) на контуре.

Решение. Воспользуемся методом конечных разностей. Рас-

смотрим поперечное сечение стержня и разобьем его на

рав-

ных квадратов со стороной, равной а (рис. 23.3).

а,а

а.О

а,а

0,а

0,0

О, а

а,а

а, О

0,а

Рис, 23.3

На контуре функция напряжений равна

нулю.

девяти внут-

ренних узлах сетки имеем девять уравнений

девятью неизвест-

ными. Учитывая симметрию относительно координатных осей,

получим лишь три независимых значения функции в трех точках

F(0,Q),

F(a,Q), F(a,a),

Относительно трех точек с координатами

(0,Q),

(а,0),

(а,а) составим три разностных уравнения. Вве-

дем обозначения Ах =

Аг/

= а. Полагая m =

О,

/i =

и учитывая

симметрию, будем иметь

i/^+i„

= F(a,0); и^ ^ = F(0,0);

".-.л = f'(aM-

u„.n.i =

т.а)

F(a,0); u„„_, = F(0,a)

F(a^O).

Используя выражения (4) и подставляя их в уравнение Пуассо-

на, первое уравнение относительно точки (^0,0^ будет

[F(a^

0) -

2F(0^

0) +

F(a^

0)]

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ аИффЕРЕНЦИАПЬНЫХ

+ -^[F(a,(i)-2F(0,Q)

F(a,Q)]

-l

или

F(Q,0)-F(a,0)

Для второй точки ("а,о; имеем

и^^^„=

F(a,0); и^^^_^=0;

"m+i,«+i

=F(0;CL);

«„+,„_! =F(a,a). Уравнение Пуассона с учетом

формул (4) примет вид

Ал;

^—[F(0.0)-2F(a,0)\ +

+-^\F(a,a)-lF(a,0)

F(a,a)\

-l

или

4F(a,0)-F(0,0)-2F(a,a)

2a\

Для третьей точки (а,а) будем иметь: «„+,„+! =F(a,a);

i^,n.n.i=f'(^.a)

F(a,0); «„^2.n+, =0; и„^^„^^=0 и уравнение

примет вид

Ах'

-[F(a,0)-2F(a,a)]+

+—^[F(a,0)-2F(a,a)\

-2

или

2F(a,a)-F(a,0)

Решая систему уравнений

F(Q,Q) -F(a.O) = Y'

4F(a,0)-F(0,0)-2F(a,a)

2a-,

2F(a,a)-F(a,0) = a\

84 Гпава 23

получим искомые значения функции напряжений в точках

(^0,0;, (а,^1

('а,а;,

соответственно:

F(^0,о;

2,25a^•

F(^a,0^

1,75а';

F(^a,a; =

1,375а'.

С целью уточнения решения следует увеличить разбиение

области интегрирования, т. е. Ах и Д^/ уменьшить.

23.2.

Дифференциально-разностный метод

(метод прямых)

Основная идея метода прямых (или дифференциально-раз-

ностного метода) состоит в сведении уравнений в частных про-

изводных

решению системы обыкновенных дифференциальных

уравнений. Это достигается использованием метода конечных

разностей по одной переменной, т. е. решение уравнений в част-

ных производных сводится к системе обыкновенных дифферен-

циальных уравнений вдоль некоторого семейства прямых.

Пусть в прямоугольной области D(a <x<b, с

у <d) не-

обходимо найти решение дифференциального уравнения

д^и д^и ди ди ,.

дх" ду" дх ду

удовлетворяющее заданным граничным условиям

и(х, с)

(р(х); и(х, d)

(p/x) (a<x<b)

u(a,y) =

\l/(y):

u(b,y)

\i//y) (c<y<d).

Разобьем область интегрирования семейством равноотсто-

ящих друг от друга на расстоянии h прямых, параллельных со-

ответствующим осям X или у. Для определенности возьмем

прямые y

= c +

kh (^/г = 0,l,2,...,A2j. Заменим производные по у

приближенными разностными выражениями

у\

= ^ Ы^^

Уи.1)

- ^(^^

Ук-х

)\'

\у=Ук

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ аИФФЕРЕНиИАПЬНЫХ

Э'и

Ъу^

У=Ук

•'^W^^yk^x)'-^^(^>yk)^^(^>yk-x)\

Поскольку

и,^(х)

и(х,у1^) есть функция одной переменной

X при фиксированном значении

у^^,

то решение сводится к сис-

теме п обыкновенных дифференциальных уравнений второго

порядка

+ — [^kJ^)'^k-x (Х)] +

Щ(Х)

= 1(Х) (k =

1,2,...,/2;.

При наличии

уравнениях переменных коэффициентов пе-

ред частными производными разбивку следует производить так,

чтобы свести, по возможности, задачу к решению дифференци-

альных уравнений

постоянными коэффициентами.

3.1.

Методом прямых найти решение уравнения Пуассона

удовлетворяющее граничным условиям

и(0,у) = и(5,у) = и(х,а) = и(х,3) = 0.

Решение. Принимая /г = 1, проведем две прямые г/ =

2, которые разделят область интегрирования на три полосы

(рис.

23.4).

у]

з\

5 X

Рис. 23.4

86 Гпава 23

Запишем вторую частную производную по у разностным

выражением

=—[и(х,

у,^,) - 2и(х, yj

и(х,

у^_,)]

l2),

ду h

Поскольку

то получим следующую систему уравнений

щ-^и^-2и2+щ-х-^-у^;

2) (1)

с граничными условиями

UQ(X)

= и(х,0) = 0; и^(х)

и(х,3)

О.

Подставляя граничные условия в (1) и учитывая, что

i/j =1, //2 =

получим

щ- 2и2+щ=х

(2)

Таким образом, решение свелось к системе обыкновенных

дифференциальных уравнений второго порядка

постоянными

коэффициентами. Общее решение соответствующей однородной

системы

щ+щ-2и^ =0;

и^-

2u2

+ ц =

ищем в врще Ц(х) = Ае^\' щ(х)

Be^"".

Подставляя решение

систему и сокращая на

е^"",

получим

систему алгебраических уравнений

ЛЯЧ5-2Л = 0; (Х^-2)А

ВЯ' -2В+А=0 или А+(Х^ -2)В=0,

Поскольку ищется нетривиальное решение, то опреде-

литель системы должен быть равен нулю

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНИИАПЬНЫХ

Я^-2

1 Я'~2|

Отсюда находим характеристическое уравнение

ГЯ'-2/-1 = 0,

корни которого равны

\^—±\,

Яз4~

±л/3.

При

Aj 2

±1

имеем

-Л + Б = 0;

Л-Б = 0;

Г^

= 12; Д=Д=С,.

При

Яз 4

—^/^

имеем

Л +

= 0;

Л + В = 0; (ь-^ЪА) Д.=-Д.=С,.

Таким образом, общее решение примет вид

Частное решение системы неоднородных уравнений ищем

в виде

щ(х)

Ах

В; U2(x)

Cx-\-D.

Подставляя частное решение в систему (2) и приравнивая

коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных, получим

систему

С-2Л =

-2С

D-2B

\; -2D

+ B

= 2.

Из решения этой системы находим: А

-1, В

—,

5 ^

С =

-1,

= —. Таким образом, частное решение будет

и.

(х)

-(х + -;; U2(x)

-(х + -;.

88 Гпава 23

Общее решение системы (2) равно сумме решений

щ(х)

= щ

+ щ(х); и2(х)

Щ-{'й2(х)

или

и^

с^е""

с^е'""

-с^е^""

-с^в"^""

-(хл--).

(3)

Для определения постоянных интегрирования ^^^2,^3,^4

воспользуемся граничными условиями

щ(0)

u(0^yj = 0; щ(0)

и(0^у2) = 0;

щ(5)

u(5,yj

U2(5) =

ufS^y^)

Отсюда находим систему уравнений для определения посто-

янных интегрирования

е\+е-'с,+е'\+е-'^'с,=—;

е'с,+е-'с,-е'^'с,-е-'^'с,=—.

Подставляя найденные постоянные интегрирования в (3),

находим изменение функции и вдоль прямых yz=i и у

3.2. Методом прямых найти решение уравнения теплопро-

водности

ди

д^и

'di'dx''^ '

удовлетворяющее граничным условиям

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИФФЕРЕНиИАПЬНЫХ 89

i^(^o,jc;=o,

u(t,o)=u(tj) = o (1 =

л),

Решение. Разделим отрезок [О,/] на четыре части точками

деления 6 = 0,1,2,3,4. Обозначим через

Ui^(t)

приближенное зна-

kl ^

чение решения на прямых х

—. Заменим вторую частную про-

изводную по X разностным выражением

= u(t,

x^^i;

- 2u(t, xj

u(t,

Xf^^J.

1,2,3>.

Составим систему уравнений

ul-U2+2u^

-UQ

=1;

i/2 -^3 +

2u2

-Ц =

(4)

u^-u^+2u^-U2

с граничными условиями

UQ(t) =

u(t,0)

u^(t)

u(t,l)

(5)

Подставляя граничные условия (5) в (4), получим систему

обыкновенных дифференциальных уравнений

ц-^2+2^1

=1;

u^+2u^-U2

с начальными условиями

u,(0)

= U2(0) =

u,(0)

(7)

Общее решение однородной системы, соответствующей си-

стеме (6), будем искать методом Эйлера. Для этого представим

решение в виде

щ=Ае^'; U2=Be^\' щ=Се^'. (8)