Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

100

Гпава 23

0,5 0,6 07 0,8 0,9 1,0 У

Рис. 23.8

23.4. Метод конечных элементов

1°.

Решение многих краевых задач дифференциальных урав-

нений математической физики эквивалентно решению вариаци-

онной задачи, т. е. задачи минимизации функционала. Под

функционалом J{f{x, у)) обычно понимают некоторый интеграл,

в подьштегральное выражение которого входит функция /(jc, у).

Задача решения двумерного уравнения теплопровод-

ности

при граничных условиях на контуре L

—-+аТ

4s^

(2)

где а —коэффициент теплоотдачи;

q^^q^

— объемная и поверх-

ностная плотности мощности источников

теплоты,

сводится

за-

даче минимизации функционала в области D

J{Tix,y))

^' ^дТ^'

-2qJ

dxdy

(3)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИФФЕРЕНиИАПЬНЫХ 101

к минимизации функционала сводится и задача о кручении

упругого стержня некругового сечения

__^__^2G^ =

(4)

где F — функция напряжений, G — упругая характеристика

материала,

<р

— угол закручивания сечения стержня,

F^=

на

всей границе.

Приближенное решение вариационной задачи

(3) ищем в

виде

nx,y)=^J^aJ„{x,y), (5)

m=l

где а^ — неизвестные постоянные коэффициенты,/^

(^х,;;J

—

из-

вестные функции координат.

Подставляя (5) в выражение (3) и приравнивая произ-

водные к нулю, находим систему уравнений

^:.0 — = 0 (6)

да,

да^

для определения значений а^, обеспечивающих минимум функ-

ционала.

Функцию координат/^

(^х,7J

определяют следующим обра-

зом. Разбивают область D на

Л^

элементов и находят в каждой

узловой точке с координатами х

х^^;

у^^

значение функ-

ции

f^(x,y)

таким образом, что в узловой точке значение функ-

ции равно единице, а в остальных точках равно нулю.

При таком выборе координатных функций приближен-

ное решение (5) примет вид

т=1

где и^ — приближенное значение искомой функции в т-й узло-

вой точке.

102

Гпава 23

Условия минимума функционала сведутся к системе

ди

3t/„

(8)

которая представляет алгебраические уравнения относительно

искомых функций в узлах.

Вариационная постановка задачи о кручении стержня сво-

дится к функционалу

j-\

2 Эх 2

-IGcpF

который может быть записан в виде

^-\

-ig)'{D){g)-{2G(p)F

dV,

(9)

(10)

где

(D) = l, (g) =

(dF\

dF_

Минимизация J no

(u)

приводит к системе линейных урав-

нений

j;^l(B^"'fiD){B'"')dViu)=j;^l(f"'Y(2Ga)dV, (И)

л=1 у п=1 у

где {f"')

{f)

{f^"\

ff\fl"^

...Jl"\

/-число узлов элемен-

та, верхний индекс

(«)

означает произвольный элемент, матрица

(g("') = (5*'")(м) имеет вид

(g^"')

ЪР

{'>)\

Ъх

ду

дх

Ш1

ду ду ду )

дх

Эх

f.. \

(12)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

103

ИЛИ

(^^"0

(5^"0(«)

•

(п)л

(13)

2^.

При численном решении задач методом конечных эле-

ментов используют элементы различной формы: треугольные,

четырехугольные,

криволинейными границами

и т.

д. Ограни-

чимся рассмотрением треугольных элементов

узлами в верши-

нах (рис. 23.9).

Рис. 23.9

Для двумерного треугольного элемента целесообразно ис-

пользовать только линейные функции формы

f(x,y)

cy.

(14)

Узловые значения/обозначим соответственно / =и. при

х=х.; у=у^; f =Uj прих=х^.; y=yj; f =щ ирих=х,, y=yj^.

Отсюда получим систему

=а

Ьх.

+су.,

Uj =а

bxj

н-cyj,

(15)

a + bxi^+ cyj^,

решая которую, будем иметь

104 Гпава 23

а = —[(^с,Л -Xky>i + (^tX -^/Л>j + ix^yj -Xjyi>k ].

b=^[(x - У

к)".+(л

- yi>j+(^. -

>'7)"*

]' (16)

—[(x,-Xj)u.+(x.-x,)Uj

{xj -x,)u,],

где 25

(Xjyi^

x^yj

+ yjXi

JK^X.

x^y.

Xjy^)

— удвоенная пло-

щадь

треугольника.

Подставив выражения (16) в формулу

(14),

получим

/{х, у)

{х,

у)и.

{х,

y)Uj

+ /,

(х,

у)и,, (17)

где

(х,

у)

(а,

Ь,х

с.у)

lis,

fjix,y) = iaj+bjX

Cjy)/2S,

ix,

у)

{a,

b,x

c,y)

IS,

(18)

ai=Xjy,-Xi^yj,

bi =

yj-yk.

с I

—

Xi^—

Xj,

aj=x^y.-y^x..

Ь^

= У^-Уп

с J = X,.

—

XJ,,

aic=Xiyj-Xjy,,

b,=yi-yj,

(19)

^k ~ ^j "~^/-

4.1.

Кручение

стержня квадратного сечения.

Решение.

В связи

с симметрией

сечения

(рис.

23.10)

рассмот-

рим 1/8 квадрата

разобьем

эту

часть на два

элемента.

Решение

задачи

не

обладает достаточной точностью

служит только ил-

люстрацией методики решения.

Представим интерполяционные решения для элементов

в виде

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ 105

Рис. 23АО

Матрица жесткости элемента при (Z)) =1 будет

где для определения (5^^^) следует продифференцировать (F^^^)

ПОХИ>'.

Ъх

Эх дх дх

)

_\_

'is

(^Г'

ь^' ь^' 0),

(I) ^"l

ду

fa/;<'> эл^'>

э//'> ^^

(1) (<

.(1)

.(1) ^(1)

ду ду ду

Таким образом матрица

(В^^^)

примет вид

(В'')

(Ь\''

Ь^' Ь'^' ОЛ

2^0)

оО) ^(1) о(1)

Площадь первого элемента равна

2 2 4 25"^

0).

106 Гпава 23

Находим коэффициенты бис

Ъ? ^у^-у^^-^,Ъ, с,'" =

Хз

х^

= -0,5,

^г"

=Уъ-Ух=

-0,5,

с'" =

Хз

= -0,5,

Подставляя эти значения в матрицу

(5''^),

получим

(-\ 1 О 0^

-1-1 2 0

Находим произведение

\(-\ 1 О O^i

-1-12 0

(5^") =

(5^")Ч5*")

1 -1

-2

Матрица жесткости элемента представляет собой интеграл,

где произведение матриц

(5*''

(5*''),

как постоянная величи-

на, выносится за знак интеграла

( \ О -1 0^1

(г<'^) =

(B<")^(5('>)J^F =(5'"f

(5('^)5f'^

0 1-10

-1-1 2 0

0 0 0 0

Предполагая толщину элемента единичной, объемный

интеграл в правой части выражения (11) примет вид

J(/">)'2G(p^F

j2G(p

dv=^£ll

(I)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИФфЕРЕНиИАПЬНЫХ

107

Выбирая в качестве единиц размерности для G

НI

см^, для

жня

на

1°

на

длине 100 см, будем иметь

при закручивании стер-

\{f^^YlG<pdV

(Л

Таким образом, система уравнений (11) для первого эле-

мента будет

1 0-10

1-10

-1-1

2 0

0 0 0

^u^

v"v

G(p

Л^

Находим площадь второго элемента

коэффициенты

bvic

•^'^"ТТ^"?

^""^

^"^'^' ^''"^'^'

^"^'

'^""^^' ''''"^'^•

Находим теперь матрицу жесткости

1 -2 П

{В''') =

0-101

(5(2))Г(^(2))^

(

О 0\

-1

-2

1у

(^0

-2

Го

-2

-1

-2

108

Гпава 23

(^")Ч

''о 0 0 0"^

о 1-10

0-1 2-1

\^ -0,5 -1 \)

Отсюда система уравнений (11) для второго элемента

примет вид

Го

-1

-0,5

-1

(„ \

G(p

V"V

Го

K'J

Окончательная система уравнений находится алгебраи-

ческим суммированием уравнений отдельных элементов

^ 1

-1

О -1

2-2 0

-2 4 -1

/» Л

G(p

"У

чЬ

(^ О -0,5 -1 1

Для определения искомых величин в узловых точках

получим

1 0-1

0 2-2

-1 -2 4

Ч^

G(p

V V

oTVO

О -0,5 -1

v^y

Глава 24

ЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

24.1.

Решение системы линейных

неравенств

1°.

Пусть дана система линейных неравенств с двумя пере-

менными

и х^:

ajjXj-f

а,2Х2+6,

>0;

a2iXjH-a22X2 +&2 ^0;

(1)

^.Л+^.2^2+^п до-

будем рассматривать переменные х^ и х^ как координаты

точки плоскости. Совокупность точек плоскости, координаты

которых удовлетворяют системе (1), называется областью ре-

шений системы неравенств.

Решением одного неравенства, например, первого, является

полуплоскость. Для того, чтобы узнать, какая из двух полуплос-

костей является решением, неравенство следует привести к виду

Х2 >

kxj-^b или

Х2 <

kxj+b. Если выполняется первое неравенство.