Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

Гпава 23

Подставляя значения (8) в (6) и сокращая на е^, получим

-Л+(^Я + 2;Б-С = 0; ГЩ

-В+(^Я+2;С = 0.

Решения,

отличные от

нуля,

именлх:я только в том

случае,

когда

Я + 2

-1 О I

-1

Я + 2

-1 Uo.

О -1

Я +

Отсюда корни характеристического уравнения

(^Я

2/-2^Я

+ 2; = 0

равны я, =-2, Я2=л/2-2,

7^=-^-1.

Подставляя корни

\,7^,Х^

в уравнение (9), находим для

чисел А, В, С значения

Л, =1; В, =0; С, =-1;

Л,-1;

л/2; С, = 1;

(10)

А,

= \; Вз--л/2; С, = 1;

(здесь во всех трех случаях положено Л = 1).

Соответственно со значениями (10) имеем три системы час-

тных решений

«21

= 0;

«3,

=-е

«„ =

e^^-^^•

щ,

yfle'^'-'"; ы„ = е'

*32

Полная система искомых интегралов будет

ы;=ч/2с/^-^^'-л/2Сзе-'^*^^';

(И)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ 91^

Частное решение неоднородной системы ищем в виде

щ = Д. =

const.

Подставляя эти решения в систему (6), полу-

чим

^*^1

= -/ ^2=2;

= -. (12)

Общее решение неоднородной системы равно сумме реше-

ний (И) и (12), т. е.

и^

yflc.e'^'-'^' -

42с,е-<^'^'^'

+ 2;

и,

=-с,е-''

л-с,е^^'-'>'

^с,е-^^^-'^'Л.

Постоянные интегрирования

с^,С2уС^

находим, используя

начальные условия (7), из решения системы

с,+с^

л/2с2-

-с,

+<:

+ Сз=-

-72сз

'2 3 ~

~2'

-2;

Откуда: с, =0, с^ =—("272+3;, с^^-(1^-Ъ).

Итак, окончательно вдоль прямых х =

х = 2, х =

будем

иметь

u,rU = --f2V2+3y^-'^' +-V2^/2-3;e-^^^'^Ч-;

w,rU = -—r2^/2 + ЗУ^-'^'-^r2^/2-ЗX'^''''+2;

4 4

„зГО = --Г272+ЗУ^-'^'+-Г272-3;е-^^^'^'+-.

Т" Т" ^

Гпава 23

23.3.

Метод характеристик численного

решения гиперболических систем

квазилинейных уравнений

1°.

Квазилинейной системой

дифференциальных уравнений

в частных производных первого порядка называется система

вида

JI,

Ъи- да-

/=1

дх

ду

(1)

где a.j,

b.j,c.

—некоторые функции переменных х,у,щ,...,и^.

Обозначим за щ(х,у),..,,и^(х,у) решение системы (1) в не-

которой области D, за р. =

—^-,

q. -

—^-

значения частных про-

'Эх ' ду

изводных по некоторой кривой L , принадлежащей области D.

Система (1) в этом случае будет

(2)

Дифференциалы вдоль кривой L запишем в виде

p.dx

+ q.dy

du. . Отсюда, полагая dx^O, будем иметь

dy du-

p.=-q.-^

—-' (3)

dx dx

Подставляя (3) в (2), получим систему для отыскания q.

J^(b,jdx~a,^dy)qj=c,dx-Y,aijdUj (i

l,...,n). (4)

/=I

y=l

Главный определитель системы (4) имеет вид

Д =

b^^dx-a^^dy

b^2dx-a^2dy

feji^fx—Gji^//

b22dx —

a22dy

b„^dx-a„^dy b„2dx-a^2dy

b,„dx-a,„dy

b„„dx-a„„du

nn z/

(5)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИФфЕРЕНиИАПЬНЫХ

Если определитель

А т^

О,

то

система

(4)

относительно

имеет

единственное

решение.

Если

и система

(4)

совместна, то сис-

тема имеет бесконечно много

решений,

т.

е.

на кривой L по задан-

ным

и.(х,у)

частные производные однозначно нельзя определить.

В этом случае кривую L

YL23ъlЪ2iЮт характеристикой

cw:^tMbi{\).

Тангенс угла наклона касательной к характеристике L

осью

1 dy ^ .

X Я = -— удовлетворяет уравнению п-и степени относительно Я

ах

^21

кп.

-Ла^,

Ьп2-^^п2

bin -^^т

Ха„

= 0. (6)

Если уравнение

(6)

имеет п различных действительных кор-

ней, то система (1) называется

гиперболической

системой.

Обозначая через

Я,,...,

Я„

корни уравнения

(6),

являющиеся

функциями х,у, получим п дифференциальных уравнений

dy -

^{(^УУ)

•

Каждое уравнение определяет однопараметри-

ческое семейство кривых. Рассматривая все уравнения, получим

п семейств характеристик.

Предположим, что кривая L есть характеристика системы

(1),

соответствующая решению щ(х,у)

На L

О,

но так как

система (4) совместна, то все определители, получающиеся за-

меной в А

/г

-го столбца столбцом правых частей системы (4),

должны также равняться нулю

= 0, А^=0 (k

l..,,n).

(7)

Первое из условий (7) называется уравнением направления

характеристики, а второе —

дифференциальным

соотношени-

ем на характеристике.

2°.

Рассмотрим систему из двух п = 2 дифференциальных

уравнений. Уравнения направлений характеристик будут

Гпава

где Я,-

dy-X,dx^Q (i

\,2),

•

корни уравнения

6,1-Яа„

^12-^«12

\^2\~^<h\

^22

"-^^22

Дифференциальные соотношения на характеристиках

CjrfX

—

Oj, CfU,

—

022^^2 ^22 ~ Л ^2

или

где

(X-A + В Jcfu, +

CrfM2

Edx

Fdy

(8)

(9)

(10)

(11)

a,,

0,2

Oj,

O22

£ =

'^"

6,2

0^ L/'у'у

bn «11

^22

c=i

O22

6,2 0,2

622 CL22

(12)

3°.

Метод Macco.

основе метода лежит замена диффе-

ренциальных уравнений характеристик конечноразностными

уравнениями.

Пусть в точках 1,2 плоскости

х,у

(рис. 23.5) известны зна-

чения искомых функций

VLV

, удовлетворяющих квазилиней-

ной гиперболической системе двух уравнений

да

, да -^ ,

а,,—

а, —

а,.—

-ч и -ч 1^ '^

dt/ dx

-ч ""^Р

ду

да

. да

^2iT- + ^2i4" + ^

df/

•22

Эх

а?

(13)

= С2.

Через точку

проведем прямую

направлении

1-го

семей-

ства характеристик, а через точку

в направлении 2-го семейства.

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

21 (X,.

у,)

Pi/c.

23.5

Эти прямые пересекутся в точке

Координаты

х^^^\у^^^^

являют-

ся решениями системы (8) в конечных разностях

Уз "Ух -Ai (^;

Уъ "Уг-Кг (^:

-^2 Л

(14)

где

Я^^^*^

— угловой коэффициент касательной к характеристике

первого семейства в точке 1;

Х^^^

—

точке

являющиеся соот-

ветствующими корнями уравнения (9) в точках 1,2.

Для определения

i/(^\^('^

заменяем в (И) дифференциалы

конечными разностями

+ Е<:>(х['^-х,)

РГ(у['>-у,)

(15)

+ E['>(x['>-x,)

F<'>(y['>-y,)

где 4^^Б[^^C/^^£[^^/^^^^ (i

\,2) —значения (12) в точке /.

Поскольку криволинейные характеристики заменяли прямы-

ми,

а дифференциалы конечными разностями, то возникает не-

обходимость

уточнении координат точки

и значений и[^^

,v[^'.

Вычислим

Я,'з'^

и Я^з'' в точке 3 и введем среднеарифмети-

ческие

96 Гпава 23

=\(Kl'^Kl^h

=\(^^^^г')

(16)

и аналогично

Л[2^=1(^Л1'ЧЛ^'0, Б1^^=-ГВГЧБ('^;, С1'^=-ГС1'ЧС('0,

£1^^=1г£Г^

£^з'Ч

P?'-\(P?'^P?'h

(i =

\.V, (17)

где Л^з'^5з'^C('^4'^^з^'^—значения A,B,C,E,F внайденном

первом приближении точки (х[^\у[^^,ii^^',v[^'). Искомые вели-

чины для точки

х[^',

у[^',и(^'*,и(^''

находим из уравнений

Уг

У\

-\\ (h ~^\)'

Уз

Уг

-^2 ih ^г)'

+Е<''(4'>-х,)

+ РГ(у</>-у,) =

Для дальнейшего уточнения процесс продолжается анало-

гично.

4°.

Задача Коши заключается в отыскании решения систе-

мы (13), если функции u,v заданы на некоторой дуге гладкой

кривой L , не имеющей характеристических направлений ни в

одной

точке.

По точкам 1,2 вышерассмотренным методом нахо-

дим точки 7,8 и т. д. (рис. 23.6).

Задача

Гурса заключается в отыскании решения u,v систе-

мы (13), если на двух характеристиках аЬ и ас, выходящих из

одной точки а, заданы значения и и v , причем значения функ-

ций в общей точке совпадают (рис. 23.7).

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

Рис. 23.6

Рис. 23.7

3.1.

Найти решение системы уравнений

И-

cos 2х =

О,

Э^ 1

и —

+—V

дх 2

[ду дх)

да dv _

ду дх

удовлетворяющее граничным условиям

u(0^y)

cos^, v(0^y)

sin^ (^<у<\).

Решение. Система состоит из двух квазилинейных гипербо-

лических уравнений вида

(13).

Пользуясь выражением

(9),

нахо-

дим корни уравнения

2 2

1 Я

=0.

Поскольку корни этого уравнения Я, =

—, Я2

О,

то урав-

нения направлений характеристик (8) и дифференциальные со-

отношения на характеристиках примут вид

гпава 23

1-е семейство

vdu

cos2xdy=^0

2-е семейство

udu + vdu + cos 2x dx = 0.

При численном решении уравнений разделим отрезок

на-

чальными данными точками деления на пять частей и найдем

значения

и,,

v,-

в этих точках

У'

Ч-

0,5

0,9689

0,2474

0,6

0,9553

0,2955

0,7

0,9394

0,3429

0,8

0,9211

0,3894

0,9

0,9004

0,4350

1,0

0,8776

0,4794

При нахождении координат точки

у ,

лежащей на пересече-

нии характеристик двух разных семейств, выходящих из точек

/ +1,

составим систему уравнений

.,(п) ,. _ '1(п)/^(п) \ (п) _ п^(п) /Un) \

где/Ц.. ~—, /Ц,,>1,у-и, Х-. -х.^.

Отсюда координаты следующей точки при п -м прибли-

жении находятся из выражений

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНИИАПЬНЫХ

Значения функций в точке / находятся из решения системы

уравнений

Dj.''Y"r'-"-v>+cos24"Yl/r'-i/,v' = 0.

где

4'^="/. С=Ч. С=^Г",+САС=^(^^.+^Г">»-

Расчетные формулы примут вид

cos24"Yi/r'-i/J

u;"^=u,.-

/п.»

^г=ч>.-

Точность расчета определяется п -й итерацией. Если зна-

чения x^.^\y^.^\u^-^\v^.^^ с заданной точностью равны

Xj ,yj \w. \Vj , то переходим к расчету

точки.

таблице приведены результаты расчета

х.,

у-,

и-,

для сле-

дующего ряда

У1

и.

0,3916

0,6

0,6823

0,2385

0,3233

0,7

0,6852

0,2878

0,2739

0,8

0,6906

0,3475

0,2365

0,9

0,6925

0,3815

0,2069

1,0

0,6900

0,4279

На

рис.

23.8 показано расположение точек

(х.,у-),

в кото-

рых найдены значения функций (u.,v.)

Дальнейший процесс

вычисления значений функций аналогичен.