Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика

Подождите немного. Документ загружается.

Статистики z-критерия при известной дисперсии

(

)

(

)

0,5

/00

zyNy

νσνσ

=−=− ; (34)

0,5

Nσσ

−

= ; (35)

статистики t-критерия при неизвестной дисперсии

(

)

(

)

0,5

,/00

fny

tyNsys

νν=−=−

; (36)

0,5

ssN

−

, (37)

где

- СО ошибок средних соответственно; f = N – 1;

1,2

n∈

; коэффициент n = 1 для

односторонней (л- или п-) альтернативы и n = 2 – для двусторонней (д-) альтернативы.

Частный случай. Гипотезы о разности между парами двух зависимых нормально

распределенных величин Y

и Y

[

]

. Элементы у

множества ImY получают по формуле

2,1j,YImy,yyy

jjii2i1i

=∈−= . (38)

Гипотезы № 7-9 относительно дисперсии

Гипотеза № 7. Статистика

-критерия:

{

}

{

}

2,f,f

,smin,smax

зч

σσ=υ

, (39)

где f

, f

- числа степеней свободы числителя и знаменателя (f

= f и f

∞

, если

s σ> ; f

∞

и f

= f, если

s σ< ).

Гипотезы № 8 и 9. Статистики

-критерия равны соответственно:

(

)

222

,f,,f

222

,,f

σ=υψ=σ=υ

α∞αα∞

. (40)

Гипотезы № 10-18 о равенстве параметров распределения двух СВ

(

)

000

~,YN

νσ

.и

(

)

111

~,YN

νσ

Исходными данными для расчета являются выборки

{

}

1,0j,YImy

=⊂

Гипотезы № 10-15 о равенстве центров распределения двух СВ Y

и Y

(иногда ошибочно

пишут: „гипотезы о равенстве средних“).

Статистика z-критерия при известных дисперсиях

/01

; (41)

1001

yyD

−

; (42)

(

)

5,0

σ+σ=σ , (43)

где D

- разность средних

yuy

, определяемых по формуле (32) каждое;

- СО

ошибки разности;

1,2

n∈ ;

дисперсии ошибок средних

−

(j =

−−−

2,1

) вычисляются по формуле (35)

каждая.

Статистика t-критерия при неизвестных дисперсиях

,/01

fnD

tDS

= ; (44)

(

)

5,0

sss +=

, (45)

где s

- СО ошибки разности (42) с числом степеней свободы

[

]

(

)

444

Dyy

fssfsf

=+, (46)

где 1Nf

−

- числа степеней свободы дисперсий )1,0j(s

= , определяемых, в свою

очередь, по формулам (33) и (37) каждая.

Наличие корреляции между СВ Y

и Y

можно учесть при расчёте СО ошибок разности

путём добавления к сумме в скобках в выражении (43) слагаемого

ρσσ

если коэффициент

корреляции

известен или путём добавления к сумме в скобках в выражении (45) слагаемого

rss

если коэффициент корреляции

не известен, где r – оценка коэффициента корреляции

, значимо отличная от нуля

[

4, с. 285

]

(см. раздел 3.7.).

Гипотезы № 16-18 о равенстве дисперсий двух СВ Y

и Y

Гипотеза № 16. Статистика

-критерия:

{

}

{

}

2,f,f

s,smins,smax

зч

=υ

; (47)

= f

и f

= f

, если

ss > , или f

= f

и f

= f

, если

ss < .

Гипотезы № 17 и 18. Статистики

-критерия соответственно:

,f,f

;ss

0110

=υ=υ

αα

. (48)

Гипотезы № 19-23 относительно параметров

и σν m случайных величин Y

(

)

~,,1,

jjj

YNjm

νσ =

, m > 2.

Исходными данными для расчета являются

{

}

(

)

m,1jXImy

=⊂

. Точечные оценки

центров

дисперсийи σν , как и раньше, вычисляются, соответственно, по формулам (32) и

(33) для каждого j

(

)

m,1j = ; числа степеней свободы 1Nf

−= .

Гипотезы № 19, 20 о равенстве дисперсий (иногда пишут: «гипотезы об однородности

выборочных дисперсий»).

Гипотезы № 19. Статистика

-критерия (Бартлетта

[

]

) с m-1 и

∞

степенями свободы:

(

)

(

)

[

]

(

)

−

−−

α∞−

ψ=−+⋅−−=υ

∑∑

,,1m

1m3ffslnfslnf

, (49)

где

s;3f ≥ - средневзвешенная дисперсия с

∑

степенями свободы;

∑

fsfs

. (50)

Гипотезы № 20.

Попарное сравнение дисперсий

mji1,и

≤<≤σσ m СВ Y

Статистики

-критерия Фишера-Бонферрони, предложенная автором в работе

[

]

()

{

}

{

}

2,f,f

s,smins,smax

зч

=υ

α l

; (51)

= f

и f

= f

, если

ss > , или f

= f

и f

= f

, если

ss < .

Всего имеется

(

)

21mmc

−==l

пар сочетаний из m дисперсий

s и, следовательно,

гипотез

(

)

Hr=

. Пусть

2 - вероятность отклонить гипотезу

, если она верна.

Вероятность принятия l независимых гипотез

, если они верны, равна

(

)

α−21 . Отсюда

вероятность отклонить одну из l гипотез

, если все они верны, равна

()

112

αα

=−−

, (52)

или

≅

. (53)

Замечания.

1. Приближенное равенство (53), которое представляет собой первый член разложения в ряд

Тейлора точного равенства (52), вынесенное в табл. 3 (соответствующий коэффициент n в

формулах (19) и (21) равен

(

)

=−

), справедливо при

≅

20,3

l . При

≅

20,3

l , строго говоря, следует использовать точное равенство (52). Однако

практического интереса такой расчёт не имеет, так как при столь большом значении уровня

значимости

нулевую гипотезу практически никогда не отклоняют (см. табл. 2).

2. Отметим, что рассуждения, приводящие к критерию (52), впервые использовал Фишер

[

]

для вывода критерия проверки гипотез № 22.

3. Если некоторые (

) из гипотез № 20 не отклоняются, рекомендуется образовать g групп

≤

m) однородных дисперсий, по формуле (50) найти значения средневзвешенных дисперсий для

каждой группы и затем опять выполнить попарное сравнение этих дисперсий.

4. Отметим, что одна из статистик (51), а именно,

{

}

{

}

()

2,f,f

зч

sminsmax

lα

υ=

, которую

логично использовать для проверки гипотезы о равенстве между собой сразу всех дисперсий

(или однородности сразу всех оценок дисперсий

), приближенно равна известной статистике

Хартли

[

4, с. 450

]

2;;max; αfm

F при равных числах степеней свободы

вероятностях

. Например, при

= 0,01; m = 5; f = 60; l

= 10 находим по таблице верхних

пределов распределения Хартли

[

4, с. 449

]

: 4,2

005,0;60;5max;

F ; по таблице верхних

-пределов

распределения Фишера

[

12, 20, 26

]

: 38,2

0005,0;60;60

=υ .

5. Часто вместо нулевых гипотез № 19 и 20 используют гипотезу о равенстве максимальной

дисперсии и среднего значения всех дисперсий в форме

{

}

221

:max/

HGN

σσ

−

∑

против

HGN

−

> . Эту гипотезу проверяют с помощью специального распределения Кохрена

[28]. Однако, гипотеза в формулировке № 20 лучше, так как позволяет наряду с выскакивающим

большим значением СО идентифицировать и выскакивающее малое значение СО, а также проще в

плане вычислений уровня значимости.

Преимущества

предложенного

нами

[

]

критерия Фишера-Бонферрони

перед

критериями Бартлетта, Кохрена, Хартли и Дэвид

[

]

в том, что критерий Фишера-

Бонферрони

проще критериев Бартлетта и Дэвид, применим для дисперсий с различными

числами степеней свободы, не требует обращения к другим (кроме Фишеровского)

специальным распределениям и позволяет выделить ряд групп однородных дисперсий.

Гипотезы № 21-23 относительно центров

ν m СВ

m,1j,Y

Гипотеза № 21 о равенстве m центров

действительному числу

(простой

дисперсионный анализ

[

]

Статистика

-критерия вычисляется по формуле (47), в которой

(

)

sNyyf

=−

∑

, причём

; (54)

здесь

s называется «дисперсией между группами» с числом степеней свободы y;1mf

−

среднее средних;

jjj

yNyN

∑∑

, если N

- разные или

myy

∑

, если N

- одинаковые; (55)

значение

ss = определяется по формуле (50) с числом степеней свободы

∑

fff

Гипотезы № 22 относительно пар центров mji1,,

≤

для m CВ Y

(

)

~,,1,

kkk

YNkm

νσ =

(попарные сравнения центров). Если гипотеза Н

№ 21 отклоняется, то

следует провести попарное сравнение центров ν

и ν

. Статистики t-критерия Фишера [17] (или

Бонферрони [28]) с

∑

ff степенями свободы:

()

mji1,,1r,SDt

Dijr,2,f

≤<≤==

, (56)

где

D - разность средних

;

- число сочетаний из m элементов по два.

Поскольку дисперсии СВ

(

)

m,1jY

= одинаковые, значение СО ошибки разности

определяется, согласно (37), (45) и (50), в виде

(

)

0,5

Dij

SsNN

−−

=+. (57)

Если некоторые

(

)

l,1rH

= из гипотез № 22 не отклоняются, рекомендуется образовать g

групп (g

≤

m) незначимо отличающихся средних:

{

}

;1,;1,

ujuj

jIjI

yNyNImug

∈∈

=∈=

∑∑

, (58)

найти средневзвешенные значения средних в каждой группе и повторить попарное сравнение.

Отметим, что одну из статистик (56), а именно,

()

{

}

,2,

max

lα

, можно использовать сразу

для проверки гипотезы № 21 вместо статистики (47) [включающей формулы (50), (54) и (55)];

статистики (56) проще статистики (47), не требует однородности дисперсий

(когда не надо

проверять гипотезу № 20), равенства чисел степеней свободы f

дисперсий

и позволяет

выделить ряд групп равных центров.

Гипотезы № 23 о контрасте центров.

Г. Шеффе [7] предложил ещё более общий «

S-метод множественных сравнений»

центров

распределений СВ.

Контраст

центров m,

νν распределений СВ

(

)

m,1jY

определяется как

∑

=ν=ϕ

jjj

0cгде,c ; (59)

- константы. Например, для

3211321

2:,,

−

- контраст, так как сумма

констант 0211

−

, или другой контраст

(

)

3212

−

, где сумма констант (1+1)/2 - 1

= 0. В частности, разность двух центров

21123

−

- контраст, так как сумма констант

1 - 1 = 0. Оценка контраста центров

ϕ→=φ=ϕ

∑

; (60)

её дисперсия

Ncss

∑

; (61)

-статистика Снедекора-Фишера-Шеффе вычисляется по формуле (47), где

(

)

ssи1ms

=−φ= с числами степеней свободы ffи1mf

−

соответственно.

Обычно

> . Тогда

(

)

,f,1m

s1m

−

α−

−φ=υ (62)

с m-1 и f степенями свободы.

Гипотезы, приведенные в табл. 3, могут быть использованы для решения задач

корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализов [4, 28].

Пример. Необходимо проверить гипотезу о том, что термическое сопротивление

трубчатого теплообменника карбонизационной колонны содового производства выше

термического сопротивления

пластинчатого теплообменника (см. начало этого раздела).

Результаты проверки гипотез будут использованы при проектировании нового аппарата.

Решение (см. порядок действий для проверки гипотез [Р1.1.5]).

2.1. Постулируется, что термическое сопротивление

(

)

()

~,,0,1

jjY

YNjνσ ∈

, где индекс

0 означает «трубчатый», 1 – «пластинчатый»;

,σν

- математическое ожидание и дисперсия СВ

Y соответственно.

2.2. Статистической характеристикой гипотезы является t-отношение Стьюдента.

3. Рассматривается гипотеза

против гипотезы

3.1. Предпочтительна гипотеза

3.2. Для проверки формулируется гипотеза № 12 (табл. 3)

100

≤

против

101

4. С помощью табл. 2 для большого уровня ответственности за ошибки и предпочтительной

задается критический уровень значимости

= 0,006.

5. Выполняется экспериментальное исследование трубчатого и пластинчатого

теплообменников [1]. Получаются две выборки

{

}

{

}

ImIm YYиYY

⊂⊂

6.1. По формулам (32), (33) и (37) рассчитываются средние значения и СО ошибок средних

(

мКВт

5555

32910;2910;21010;1610.

YSYS

−−−−

=⋅=⋅=⋅=⋅

6.2. По формулам (42), (45) и (44) определяется правая оценка статистической

характеристики t-критерия

()

(

)

6,31629210329t

5,0

=+−= с числом степеней свободы,

согласно (46),

(

)

(

)

2244

291629611668

f =++

≈ 97.

6.3. Для правостороннего t-критерия Стьюдента с помощью номограммы на рис. 4 получаем

0,0007/20,00035

≅

0,0004.

7.1. Поскольку

006,0

, гипотеза

001

νν

≤

отклоняется, а гипотеза

101

νν

принимается. Уровень ответственности за ошибку сделанного вывода велик,

потому что вероятность ошибки мала и равна приблизительно 0,0004.

Ответ. Проверялась гипотеза о том, что термические сопротивления трубчатого и

пластинчатого теплообменников равны между собой против альтернативной гипотезы, что

термическое сопротивление трубчатого теплообменника выше, чем пластинчатого.

Статистическая обработка результатов наблюдений показывает, что среди множества испытаний

проверяемая гипотеза может быть верна в среднем только в 4-х случаях из 10000. Следовательно,

эту гипотезу можно отклонить в пользу альтернативны.

Термическое сопротивление трубчатого теплообменника значимо выше термического

сопротивления пластинчатого теплообменника.

1.1.8. Проверка нескольких статистических гипотез

То, что кажется странным, редко остается необъясненным. (Г. К. Лихтенберг)

Существенным преимуществом

-метода является то, что он может быть применен для

проверки гипотез относительно вектора параметров, имеющего в общем случае неодинаково

распределенные независимые оценки компонентов [29].

Действительно, пусть необходимо проверить гипотезу

против H

(63)

с критическим уровнем значимости

(здесь

- вектор параметров

θθθ

, оценки

компонентов которых

l,1i,

=θ→θ

, являются независимыми СВ;

- вектор констант,

0010

θθθ

). Предположим, что функции распределения компонентов

′

вектора оценок

известны. Перейдем от проверки гипотезы Н

к проверке частных гипотез Н

против

альтернатив Н

с критическими уровнями значимости

(1,)

iα =

. Тогда гипотеза Н

отклоняется, если отклоняется хотя бы одна из гипотез Н

Получим формулу, связывающую уровни значимости

для проверки гипотезы Н

уровнями значимости

для проверки гипотез Н

Если

- вероятность ошибочного отклонения Н

, когда она верна, то

−

- вероятность

не отклонить гипотезу Н

, если она верна. Вероятность не отклонить все l независимых гипотез

l,1i,H

= , если они верны, есть

(

)

iki

Π−

, а вероятность отклонить хотя бы одну гипотезу

, если все они верны, имеет вид

(

)

kiki

αα

=−Π−

. (64)

Будем считать, что гипотезы H

равноценны и примем их критические уровни значимости

равными между собой,

(

)

l,1i

kki

=α

′

=α . Тогда

(

)

11 α

′

−−=α

. (65)

Пусть в результате расчетов получен вектор оценок уровней значимости

(i =

−−−−

l,1 ).

Гипотеза Н

отклоняется, если среди

найдется такой уровень значимости, который был бы

меньше

′

, т. е.

min

αα

≤≤

′

Так как функция (65) является монотонно возрастающей, то оценка уровня значимости

для проверки гипотезы H

вычисляется по формуле

(

)

ˆˆ

11min

αα

≤≤

=−−

. (66)

Затем

сравнивается с критическим значением

: если

, то гипотеза Н

отклоняется; если

≥

, то она не отклоняется.

-мерном пространстве значений вектора

допустимая область описанного критерия

представляет собой

-мерный параллелепипед.

Заметим, что ортодоксальный метод проверки гипотезы относительно вектора параметров

состоит в формировании одной обобщающей СВ из компонентов вектора оценок

и изучении

ее функции распределения. Последнее практически возможно лишь при одинаково

распределенных компонентах вектора

. Примерами такого решения может служить

использование статистики Т

Хоттеллинга (обобщенное Стьюдентово отношение), статистики

для проверки согласия распределений и др.

[

]

Даже в случае, если распределение обобщающей статистики изучено, ее применение не

вполне корректно. Действительно, область в пространстве компонент вектора

, соответствующая

допустимой области гипотезы Н

, при использовании обобщающей статистики имеет гладкие

границы, что обусловлено непрерывной дифференцируемостью функции распределения

обобщающей статистики, а допустимая область для случайного вектора с независимыми

компонентами является гиперпараллелепипедом.

Рассмотрим вариант, когда компоненты вектора

зависимы. В таком случае имеет место

неравенство

[

]

(

)

(

)

iiii

PEPE

≥∏

I , (67)

где E

- некоторые (в общем случае - зависимые) события; Р - вероятность события. Если

обозначить E

- событие, состоящее в ошибочном отклонении гипотезы H

, то вероятность

ошибки первого рода при проверке гипотезы Н

равна

(

)

(

)

(

)

111

iiiii

PEPEPE

===

=∪=−∪=−∪

lll

. (68)

Воспользовавшись неравенством (67), найдем

(

)

ˆˆ

ααα

≤−∏−=

, (69)

где вероятность

(

)

Таким образом, для отклонения гипотезы Н

достаточно выполнения условия

αα

. (70)

Для того, чтобы сделать строже условие, в соответствии с которым гипотеза Н

не

отклоняется, подставим в формуле (69) вместо

минимальное значение

min

()

min

ˆˆ

αα=−−

. (71)

Гипотезу Н

не следует отклонять, если выполняется условие

αα

≥

. (72)

Таким образом, оценку уровня значимости (66), используемую для принятия или

отклонения независимых гипотез, можно применять для принятия совокупности зависимых

гипотез в случае, когда предпочтительна гипотеза Н

согласно условию (72). Для отклонения же

совокупности зависимых гипотез, когда предпочтительна альтернатива, следует использовать

оценку (69) и условие (70).

1.1.9. Обработка результатов небольшого числа параллельных измерений

Проверим гипотезу о том, что все нечетные числа - простые. В выборке числа 1, 3, 5, 7 -

простые (9 - ошибка наблюдения), 11 и 13 – простые. Вывод. С малым уровнем

ответственности за выводы (

= 0,2 - см. Табл. 2) можно считать, что опыт не

противоречит сформулированной гипотезе с уровнем значимости

= 0,14 <

Однократное измерение какого-либо свойства не дает информации о погрешности

измерения. Поэтому необходимо выполнять многократные параллельные измерения. Однако

каждое измерение может быть продолжительным и дорогим. Поэтому на практике широко

используются двукратные, реже – трехкратные параллельные измерения. В этих случаях

статистическая обработка результатов параллельных измерений становится довольно простой.

Целью параллельных измерений часто является получение доверительных интервалов, надежно

накрывающих истинные значения измеряемого свойства (см.

[

Р2.11.4

]

Результаты наблюдений

(

)

1,;1,

YjNim

== образуются из m пар (N = 2), или троек

(N = 3) параллельных измерений. Выборочные средние

и СО

(

)

Sim

= вычисляются как

обычно по формулам (32) и (33). Для пары измерений формула (33) упростится:

0,707,1,

iii

SYYim

=−=

. (73)

Перед вычислением по формуле (50) среднего значения СО

для всех опытов необходимо

убедиться в однородности выборочных оценок СО S

, то есть проверить гипотезы № 20 (табл. 3).

Формула (51) для расчета статистики Фишера-Бонферрони по парам наблюдений (N = 2),

которую будем теперь использовать для проверки гипотезы об однородности оценок СО S

, также

упростится:

()

{

}

{

}

1212

1;1;2

maxminmaxmin

iiiiii

SSYYYY

υ ==−−

;

(

)

1/2

mm=−l . (74)

Уровень значимости

вычисляется по точным формулам (52) с (24) (при N = 2 и f

= f

= 1):

()

1;1;2

ˆˆ

1((4/)()1)

arctg

απυ

=−−

;

(

)

1/2

mm=−l

(75)

или (52) с (25) (при N = 3 и f

= f

= 2):

()

2;2;2

ˆˆ

1(12/(1))

αυ=−−+

;

(

)

1/2

mm=−l

(76)

или (с учётом замечания 1 после формулы (53)) – по простым приближённым формулам (53) с (24)

(при N = 2):

()

1;1;2

ˆˆ

(1)(1(2/)())

mmarctg

απυ=−−

(77)

или (53) с (25) (при N = 3):

()

2;2;2

ˆˆ

(1)/(1)

αυ=−+

. (78)

Пример. Рассчитать СО ошибки воспроизводимости степени перехода хлорида бария в

раствор при выщелачивании спека хлорида бария насыщенным раствором гидроксида кальция

(табл. 4).

Таблица 4.

Результаты параллельных опытов по измерению степени перехода хлорида бария в раствор

[

]

Степень перехода

⋅10

Среднее

⋅10

СО S

⋅

735 750 742 106

723 701 712 156

644 676 660 226

677 690 683 92

646 654 650 57

637 667 652 212

677 691 684 99

506 487 496 134

738 712 725 182

553 598 575 318

Выборочное среднее

и СО S

пар вычисляли по формулам (32) и (73) (см. табл. 4). Числа

степеней свободы каждого СО S

равны f = 1. Для вычисления по формуле (50) среднего значения

СО

для всех опытов необходимо убедиться в однородности всех слагаемых

Поскольку при сравнении СО S

гипотеза Н

об их однородности предпочтительна, из табл. 2

выбрали критический уровень значимости

к0

= 0,3. По приближённой формуле (77) вычислили

10(101)(1(2/3,1416)(318/57))90(10,63665,

58)90*0,1110.

arctgarctg

=−−=−=≈

Приближенная формула (77) приводит к завышенному и потому не интерпретируемому

результату (

- это вероятность, она не может превышать 1). Однако, расчет по точной формуле

(75)

= 1 - 0,7742

= 0,99999 не нужен, т. к. очевидно, что в результате

превышает

критический уровень α

= 0,3, соответствующий большому уровню ответственности за выводы.

Итак, поскольку

0,3

αα

, гипотеза об однородности СО S

не отклоняется; по формуле (50)

среднее значение СО

= 0,017 с числом степеней свободы f = 10.

Доверительные интервалы для истинного значения

степени перехода в каждом опыте из табл. 4

можно рассчитать с помощью соотношения (см.

[

4; Р2.11.4 и Р2.11.5; Т1Р2.11.4

]

)

{

}

iiik

PXX

να

−∆≤≤+∆=− = 0,95;

(

)

10;0,05/2

/2st∆= = (0,0175/1,41)·2,23 = 0,028, где

−

= 0,95 – заданная доверительная вероятность;

= 0,05 (табл. 2);

10;0,05/2

t - верхний

–предел распределения Стьюдента с 10-ю степенями свободы.

1.1.10. Маленькие неприятности: совпадение значений

Жизнь - как песня, а ошибки подобны припеву: они повторяются. (Из интернета)

На практике иногда встречается полное совпадение значений результатов параллельных

измерений. (Например, за N = 2 измерения длины образца может получиться: Y

= 32

⋅

-4

м и Y

= 32⋅10

-4

м). Формальное применение формул (33) или (73) и (51) или (74) для расчета СО и

проверки гипотез (20) приводит к неверным результатам (и даже к сбою расчётов при делении на

ноль). В таких случаях оценку СО S

необходимо вычислять с учетом равномерного

распределения погрешности округления измеряемой величины с размахом, равным единице

последней значащей цифры.

Справка. Равномерное распределение случайной величины Y [12, с. 145].

Примеры: погрешность округления чисел; фракция руды (диаметры кусков руды после ее

рассева на паре сит с уменьшающимися диаметрами отверстий); время ожидания на остановке

автобуса случайно явившимися пассажирами при строгом соблюдении режима движения

автобусов через равные промежутки времени и т. п.

Функция плотности вероятностей равномерного распределения f(y) = (b-a)

-1

при a < y < b

и f(y) = 0 при y < a, y > b .

Функция равномерного распределения F(y) = 0 при y < a; F(y) = (y-a)/(b-a) при a < y < b и

F(y) = 1 при y > b.

Математическое ожидание

(МО) СВ Y:

= (b+a)/2 ; СО СВ Y:

= 12

-0,5

(b-a).

Пусть два результата измерения Y

и Y

равны между собой, то есть

= Y

= и = L⋅10

(79)

где u – некоторое действительное число в десятеричной системе исчисления, L, V – целые

числа. Тогда СО равномерного распределения [12, с. 145] есть

0,51

10*123*10

−−

′′

=≈. (80)

Например, пусть Y

= Y

= 32

⋅

-4

м. Тогда

′′

= 10

-4

⋅

-0,5

≈

⋅

-5

м.

Для приближённой проверки гипотезы об однородности дисперсий, определённых по

формулам (51) и (80), можно использовать критерий (51) Фишера-Бонферрони. Более точные

методы проверки гипотез в подобном случае нами в литературе не найдены.

В заключении отметим, что в настоящее время процедуры α-метода проверки гипотез

занимают существенное место во многих статистических программах обработки данных [8, 15,

32]. На всех этапах анализа на печать выводятся

-оценки уровней значимости статистических

критериев, облегчающие работу пользователей программ в диалоговом режиме.

Литература

1. Цейтлин Н. А., Старчиков Н. С. Самойленко В. И. Исследование процесса теплопередачи в

карбонизационной колонне содового производства. Депонир. рукопись № 277/74 деп. Черкассы, 1974 г.

(Реферат в РЖ «Химия», 1974, №17, Реф. I7П67).

2. Neуman J., Peаrson E. S. On the use and interpretation of certain test criteria // Biometrika, 1928, Vol. 20A,

р. 175-240, 263-294; On the problem of the most efficient tуре of statistical hypotheses// Phil. Trans. Roy. Soc., Ser.

A., 1933, Vol. 231, р. 289-337.

3. Леман Э. Проверка статистических гипотез./ Пер. с англ.– М.: Наука, 1964. – 498 с.

4. Закс Л. Статистическое оценивание. Пер. с нем.– М.: Статистика, 1976. – 598 с.

5. Грекова И. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе её

развития. // Вопросы философии – 1976 № 6, с. 104-114.

6. Колесникова С. В., Цейтлин Н. А. α-метод проверки статистических гипотез в приложении к

анализу процесса приготовления суспензии гидроокиси кальция // – Хим. технология, 1983.- №1.- с. 47 – 50.

7. Шеффе Г. Дисперсионный анализ / Пер. с англ. Б. А. Севастьянова и В. П. Чистякова. Изд. 2-е. – М.:

Наука, 1980. – 512 с.

8. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. / Пер. с англ. И. С.

Енюкова и И. Д. Новикова. - М.: Мир, 1982. – 488 с.

9. Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и технике. Пер. с англ.– М.: Наука, 1977.

– 408с.

10. Журцев В. Г., Кубарев Л. И., Усан М. В. Статистические методы контроля качества на часовом

производстве. – М.: Изд-во стандартов, 1972. – 220 с.

11. Самойленко В. И., Цейтлин Н. А. Использование статистических методов при исследовании процесса

карбонизации гидроокиси магния, содержащейся в шламах рассолоочистки // Технология соды и

содопродуктов: Труды Т. 52 / НИОХИМ; Под ред. Э. К. Беляева.- Харьков, 1980.- с. 9-17.

12. Справочник по надежности / Пер. с англ. Ю. Г. Епишина и Б. А. Смиренина; Под ред. Б. Р. Левина. Т.

1. - М.: Мир, 1969. – 340 с.

13. Статистические методы в экспериментальной физике / Идье В., Драйард, Джеймс Ф. и др.; Пер. с

англ.; Под ред. А. А. Тяпкина. – М.: Атомиздат, 1976. – 336 с.

14. Плохинский Н. А. Руководство по биометрии для зоотехников. – М.: Колос, 1969. – 256 с.

15. Цейтлин Н.А. Применение методов математической теории эксперимента в содовой промышлен-

ности. Обзорная информация. Серия «Содовая промышленность». - М.: НИИТЭХИМ, 1984. - 48 с.

16. Головач А. В., Ерина А. М., Трофимов В. П. Критерии математической статистики в экономических

исследованиях. – М.: Статистика, 1973. - 136 с.

17. Fisher R. M. The design of experiments. - London: Oliver and Boyd, 1935.- 360 p.

18. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Классификация и снижение

размерности: Справочное издание. - M.: Финансы и статистика, 1989. - 608 с.

19. Доерфель К. Статистика в аналитической химии. - M.: Мир, 1969.-248 с.

20. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1965. – 464 с.

21. Ландкоф А. С., Сливняк И. М. Специальные главы математики. ч. 3.- Харьков: АРТА, 1963. – 314 с.

22. Рокицкий П. Ф. Биологическая статистика. - Минск: Вышэйшая школа, 1973. – 218 с.

23. Boyd W. C. A Nomogram for the „Student“-Fisher t-test. //Am. Stat. Ass. Journ.- 1969.- Nr. 64.- р. 1664-

1667.

24. Paylson E. An approximate normalization of the analysis of variance distribution //Ann. Math. Stat.- 1942. -

Vol. 13.- Р. 233-235.

25. Stammberger A. Ueber linige Nomogramme zur Statistik. // Fertigungstechnik und Betrieb- 1966.- Nr. 16.- р.

260-263.

26. Оуэн Д. Сборник статистических таблиц. M.: АН СССР, 1966. – 568 с.

27. Сборник научных программ на ФОРТРАНе. Вып.1 / Пер. с англ. С. Я. Виленкина. – М.: Статистика,

1974. – 316 с.

28. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 456 с.

29. Цейтлин Н. А., Ицков Ф. Э., Едвабник И. Ю.

- метод проверки нескольких статистических гипотез.

Материалы к расширенному заседанию ученого совета совместно с советом молодых специалистов,

посвященному 19 съезду ВЛКСМ, с. 66-67, изд. НИУИФ, 1982, с. 175-178.

30. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений / Пер. с англ. – М.: Наука, 1966. – 588 с.

31. Васильева Л. Ф., Гитис Э. Б., Цейтлин Н. А. Определение плотности и вязкости водных растворов

сульфата алюминия. Деп. рук. № 1117/77 деп., г. Черкассы, 1977 (РЖ «Химия», 1977, реф. 12Б1350) 10 с.

32. Цейтлин Н. А., Акимова Ю. А., Литвинов Ю. С. Статистический анализ моделируемых параметров

обработки оперативных транзакций. - В кн.: Системы информационного взаимодействия: Труды / НАНУ,

ПАНИ, ХВУ. - Харьков, 1996, с. 93-99.

33. Цейтлин Н. А. Письма из эмиграции и обратно. Харьков: Свитовыд. - 2002. - 278 с. (См. также

«http://www.geocities.com/natantseitlin/index.html» и «http://www.tseitlinnatan.narod.ru»)

1.1.11. Дискуссия автора (Ц) с доктором В. Я. Хаином (Х).