Цепаев В.А. Краткий курс лекций по деревянным конструкциям. Часть I

Подождите немного. Документ загружается.

НТ

≤

, (7.3)

где N – расчетная продольная сила;

– расчетное сопротивление древесины растяжению вдоль волокон;

НТ

– площадь поперечного сечения нетто.

При определении

НТ

ослабления, расположенные на участке длиной до

200 мм, следует принимать совмещенными в одном сечении (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Центрально-растянутый элемент с ослаблениями

При с > 200 мм

(

)

НТ

bhd=⋅ −

При с

≤

200 мм

(

)

НТ

bh d=⋅ −⋅

Для растянутых элементов с ослаблениями в расчетном сечении

расчетное сопротивление древесины

умножается на коэффициент условий

работы

8,0

, учитывающего влияние концентрации напряжений.

7.3. Центрально-сжатые элементы

Расчет центрально-сжатых элементов постоянного цельного сечения

следует выполнять по формулам:

а) на прочность

НТ

≤

; (7.4)

б) на устойчивость

расч

≤

⋅

, (7.5)

где

– расчетное сопротивление древесины сжатию вдоль волокон;

НТ

– площадь поперечного сечения нетто;

расч

– расчетная площадь поперечного сечения элемента, принимаемая

равной (рис. 7.2): при отсутствии ослаблений или ослаблениях в опасных

сечениях, не выходящих на кромки (рис. 7.2, а), если площадь ослаблений не

превышает 25 %

бр

бррасч

, (7.6)

где

бр

площадь сечения брутто;

при ослаблениях, не выходящих на кромки (рис.7.2, а), если площадь

ослабления превышает 25%

бр

НТрасч

; (7.7)

при симметричных ослаблениях, выходящих на кромки (рис. 7.2, б)

НТрасч

(7.8)

а) б)

Рис. 7.2. Ослабления сжатых элементов:

а – не выходящие на кромку; б – выходящие на кромку

В формуле (7.5) коэффициент продольного изгиба

учитывает

явление продольного изгиба, заключающегося в потере устойчивости при

напряжениях значительно меньших временного сопротивления древесины

сжатию

вр

. Значение коэффициента

зависит от гибкости элемента

(безразмерной величины), определяемой по формуле:

, (7.9)

где

– расчетная длина элемента;

l– свободная длина элемента;

– коэффициент, зависящий от условий закрепления концов элемента

(рис. 7.3):

Радиус инерции сечения r элемента с максимальными размерами брутто

соответственно относительно осей x или y (рис. 7.3), определяемый по формуле

бр

r =

, (7.10)

где J – момент инерции сечения: для прямоугольного сечения размерами

⋅

– ширина сечения, h – высота сечения) r

= 0,289 h и r

= 0,289 b; для круглого

сечения диаметром d r=0,25 d.

= 1

= 0,8

= 0,65

= 2,2

а) б)

Рис.7.3. Закрепление концов элемента (

а) и форма поперечного сечения

элементов постоянного цельного сечения (

б)

Проведенными исследованиями [6] установлено, что при

70>

критическое напряжение, определяемое по формуле Эйлера:

кр

⋅

, (7.11)

не превышает условного предела пропорциональности, когда древесина

работает упруго с постоянным значением модуля упругости E (рис. 5.1).

Отношение

вр

RE /

является достаточно устойчивым. и для древесины основных

хвойных пород в среднем составляет 300. Тогда, при

70>

коэффициент

продольного изгиба может быть определен по формуле:

3000

λλ

⋅

вр

кр

. (7.12)

При гибкости

70≤

(короткие стержни со значительными размерами

поперечного сечения) напряжение

кр

превышает условный предел

пропорциональности, древесина работает за пределами упругости с

переменным значением модуля упругости. В этом случае коэффициент

определяется по эмпирической формуле:

100

8,01

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

. (7.13)

Расчет на устойчивость центрально-сжатых элементов переменного по

высоте сечения (как правило, это клееные деревянные элементы) (рис.7.4)

следует выполнять по формуле:

max

ЖN

≤

⋅⋅

(7.14)

где

max

– площадь поперечного сечения брутто с максимальными размерами;

а)

б)

ЖN

– коэффициент, учитывающий переменность высоты сечения,

определяемый по формулам норм [4] (для элементов постоянного сечения

ЖN

K =

);

– коэффициент продольного изгиба, определяемый по формулам (7.12)

или (7.13) для гибкости, соответствующей сечению с максимальными

размерами.

Рис. 7.4. Элементы переменного по высоте сечения

7.4. Изгибаемые элементы (поперечный изгиб)

Расчет изгибаемых элементов при поперечном изгибе (рис.7.5)

заключается в проверке прочности и жесткости (расчет по прогибам)

а)

()

б)

m - m

0,5 h0,5 h

эп М

эп Q

в)

0,5 h0,5 h

max

асч

Сдвигаемая часть сечения

эп

n - n

Рис. 7.5. Поперечный изгиб шарнирно закрепленного элемента от линейной нагрузки (

а),

эпюра нормальных (

б) и касательных (в) напряжений в сечениях элемента

прямоугольной формы

Расчет изгибаемых элементов, обеспеченных от потери устойчивости

плоской формы деформирования, на прочность по нормальным напряжениям

выполняется по формуле:

НТ

≤

, (7.15)

где

M – максимальный изгибающий момент от действия расчетных нагрузок q;

НТ

– момент сопротивления поперечного сечения нетто (ослабления,

расположенные на участке длиной до 200 мм, принимают совмещенными в

одном сечении);

– расчетное сопротивление древесины изгибу.

Расчет на прочность по скалыванию древесины от действия

касательных напряжений

max

выполняется по формуле:

бр

ск

бр расч

⋅

≤

⋅

, (7.16)

где

– расчетная поперечная сила;

бр

– статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения

элемента относительно нейтральной оси (рис. 7.5,

в);

бр

– момент инерции брутто поперечного сечения относительно

нейтральной оси;

асч

– расчетная ширина сечения элемента (рис. 7.5, в);

ск

– расчетное сопротивление древесины скалыванию при изгибе.

В изгибаемых элементах при отношении

/4hb>

[15] необходима

проверка устойчивости из плоскости изгибаемых элементов (расчет на

устойчивость плоской формы деформирования). Для элементов

прямоугольного сечения расчет выполняется по формуле:

Мбр

⋅

≤

, (7.17)

где

M – максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке

;

бр

– максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом

участке

Коэффициент

для изгибаемых элементов прямоугольного сечения,

шарнирно закрепленных от смещения из плоскости изгиба и закрепленных от

поворота вокруг продольной оси в опорных сечениях (рис. 7.6), следует

определять по формуле:

140

⋅

⋅l

, (7.18)

где

– расстояние между точками закрепления сжатой от момента кромки

элемента от смещения из плоскости изгиба (при отсутствии закрепления

=ll

);

h – максимальная высота сечения на участке

;

– коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на

участке

, определяемый согласно норм [4], и, например для трапециевидной

формы эпюры (рис. 7.6), равный

1,75 0,75

′

−

, (7.19)

где

max

/MM

′′

эп М

n - n

M max

max

=⋅

Продольная ось

Рис. 7.6. Закрепление изгибаемого элемента от смещения из плоскости изгиба и от

поворота вокруг продольной оси на опоре

При расчете изгибаемых элементов с линейно меняющейся по длине

высотой и постоянной шириной поперечного сечения (рис. 7.7), не имеющих

закреплений из плоскости по растянутой от момента

кромке, или при числе

точек закрепления

4m <

коэффициент

в формуле (7.18) следует умножать

на дополнительный коэффициент

ЖМ

, значения которого приведены в нормах

[4]. При

4>m

ЖМ

K =

Рис. 7.7. Закрепление растянутой от момента кромки изгибаемых элементов

с линейно меняющейся по длине высотой

При подкреплении из плоскости изгиба в промежуточных точках

растянутой кромки элемента на участке

коэффициент

следует умножить

на коэффициент

, значения которого приведены в нормах [4].

Проверку устойчивости плоской формы деформирования изгибаемых

элементов двутаврового или коробчатого поперечного сечений следует

производить в тех случаях, когда

b≥l

, (7.20)

где

b – ширина сжатого пояса поперечного сечения.

Расчет выполняется по формуле:

брм

≤

⋅

, (7.21)

где

– коэффициент продольного изгиба из плоскости изгиба сжатого пояса

элемента, определяемый в зависимости от гибкости

0,289

по формулам (7.12), (7.13).

Расчет изгибаемых элементов на жесткость заключается в определении

прогиба

и сравнении полученного значения с предельно допустимым

прогибом, т.е. должно выполняться условие (7.2)

≤

где

– наибольший прогиб шарнирно-опертых и консольных изгибаемых

элементов постоянного и переменного сечений, определяемый по формуле:

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

, (7.22)

– прогиб элемента постоянного сечения высотой h и пролетом

без учета

деформаций сдвига

бр

⋅

′

⋅

, (7.23)

где

E – модуль упругости древесины;

′

– коэффициент, зависящий от вида нагрузки, например для линейной

нагрузки шарнирно – опертого элемента

5 / 384K

′

;

– нормативная нагрузка на элемент, например для линейной нагрузки

нн

pq=⋅l

; K – коэффициент, учитывающий влияние переменности высоты

сечения по длине, принимаемый равным 1 для балок постоянного сечения;

С – коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от

поперечной силы.

Значения коэффициентов

K и C для основных расчетных схем балок

приводятся в нормах [4].

7.5. Косой изгиб

В том случае, когда направление действия нагрузки не совпадает с одной

из главных осей сечения, имеет место так называемый косой изгиб (рис. 7.8).

При косом изгибе нагрузка

q раскладывается по направлению главных

осей сечения для определения изгибающих моментов

cos

⋅

Рис. 7.8. Случай косого изгиба

Расчет элементов цельного сечения при косом изгибе на прочность

выполняется по формуле

≤

, (7.24)

где

– изгибающий момент относительно оси x, определяемый от

составляющей

;

– изгибающий момент относительно оси y, определяемый от

составляющей

;

и W

– моменты сопротивления поперечного сечения нетто

относительно главных осей сечения

x и y.

Полный прогиб

f равен геометрической сумме прогибов f

и f

ff=+

, (7.25)

где

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

; (7.26)

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

. (7.27)

Расчет по прогибам заключается в выполнении условия (7.2).

Косой изгиб существенно увеличивает размеры поперечного сечения

элементов, и поэтому следует с помощью конструктивных мероприятий

добиваться того, чтобы основная нагрузка действовала в плоскости наибольшей

жесткости. Для уменьшения или исключения скатной составляющей

изгибающего момента

в конструкции крыши, где на косой изгиб работают

прогоны, используют настилы, стропильные ноги и другие конструктивные

элементы.

Для прямоугольного сечения наименьшее значение площади поперечного

сечения при косом изгибе получается из условия прочности при

hb M M ct

, а из условия прогиба – при

/hb ctg

Элементы квадратного и круглого поперечного сечений на косой изгиб не

рассчитываются.

7.6. Сжато-изгибаемые элементы

Сжато-изгибаемыми называются элементы, находящиеся под

одновременным воздействием изгибающего момента и продольной сжимающей

силы. Изгибающий момент может создаваться за счет внецентренно

приложенной сжимающей силы, поперечной нагрузкой и т.д. На рис. 7.9

показана схема деформирования сжато-изгибаемого элемента от поперечной

нагрузки

q и продольной силы N.

0,5 l

,qN

Рис. 7.9. Схемы прогибов сжато-изгибаемого элемента

Под действием изгибающего момента

от поперечной нагрузки q

элемент прогибается на величину

. При этом продольная сжимающая сила N

получает эксцентриситет, равный

. В результате этого создается

дополнительный изгибающий момент

⋅

. Дополнительный

изгибающий момент

в свою очередь увеличивает прогиб элемента, что

приводит к еще большему возрастанию полного изгибающего момента,

определяемого по формуле:

xqNq

MM MNy=+ =+⋅

, (7.28)

где

y – полный прогиб элемента от совместного действия нагрузок q и N.

Такое увеличение прогибов и изгибающего момента будет некоторое

время продолжаться, но затем затухнет.

При расчете сжато-изгибаемых деревянных элементов используется

теория краевых напряжений К.С. Завриева. В соответствии с этой теорией

прочность элемента считается исчерпанной в тот момент, когда краевое

напряжение

в сжатой от момента кромке достигает расчетного

сопротивления древесины сжатию вдоль волокон

, т.е.

Под действием внешних нагрузок в сечении сжато-изгибаемого элемента

возникают три вида нормальных напряжений (рис. 7.10):

/NF

– от

действия продольной сжимающей силы

– от действия

изгибающего момента

;

– от действия изгибающего момента

0,5 h0,5 h

n - nb

Рис. 7.10. Эпюры нормальных напряжений в сечении сжато-изгибаемого элемента

Максимальное краевое напряжение сжатия

123

σσσ

(7.29)

возникает в сечении, где будет находиться максимальная ордината прогиба

max ,qN

yf=

(в данном случае для схемы нагружения, показанной на рис. 7.9 при

/2x = l

)

max

qqN

FW W

⋅

=+ +

. (7.30)

Для симметричной нагрузки значение

,qN

определяется по формуле:

кр

−

, (7.31)

где

кр

– критическая сила Эйлера, определяемая с использованием

коэффициента продольного изгиба

из выражения

кр c бр

NRF

⋅⋅

. (7.32)