Бронов С.А. Исследование операций

Подождите немного. Документ загружается.

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

4 Принятие решений в условиях риска

4.1 Критерий ожидаемого значения

Под риском понимается возможность получения результата, отличного

от желаемого. Эта возможность отражается с помощью соответствующей ве-

роятности — вероятности удачного исхода или вероятности неудачного ис-

хода.

Один из методов решения задач в условиях риска основывается на кри-

терии ожидаемого значения.

Пример 4.1. Инвестор планирует вложить $10 000 в акции одной из

двух компаний A и B. Акции компании А являются рискованными, но могут

принести прибыль 50% от суммы инвестиций на протяжении одного года.

Если экономическая ситуация будет неблагоприятна, сумма инвестиций мо-

жет обесцениться на 20%. Компания B обеспечивает безопасность инвести-

ций и гарантирует прибыль 15% от суммы инвестиций в случае благоприят-

ной ситуации и только 5% в случае неблагоприятной. Все аналитические

прогнозы предвидят улучшение ситуации с вероятностью 60% и ухудшение с

вероятностью 40%. В какую компанию вложить деньги?

Для решения задачи можно упорядочить её данные (Таблица 4.1).

Таблица 4.1 — Данные для инвестиций (Пример 4.1)

Акции компании

Прибыль за один год от инвестиций $10 000

При благоприятной

ситуации

При неблагоприятной

ситуации

A 5000 –2000

B 1500 500

Вероятность события 0,6 0,4

Эту задачу можно представить в виде дерева решений (Рисунок 4.1).

Инвестиции в A

Инвестиции в B

Благоприятная ситуация (0,6)

Неблагоприятная ситуация (0,4)

Благоприятная ситуация (0,6)

Неблагоприятная ситуация (0,4)

5000

–2000

1500

500

Рисунок 4.1 — Дерево решений для задачи инвестирования

(Пример 4.1)

В соответствии с деревом решений ожидаемая прибыль за год для каж-

дой из двух альтернатив:

компания A: 5000×0,6+(−2000)×0,4=2200;

компания B: 1500×0,6+500×0,4=1100.

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

Таким образом, следует вкладывать деньги в компанию A. Расчеты пока-

зывают, что, несмотря на риск, ожидаемая прибыль этой компании больше в

2 раза.

В общем случае используется следующая процедура расчётов в анало-

гичных задачах. Вводится в рассмотрение:

состояний природы и

возможных решений;

p — вероятности

-ых состояний природы (

=1,2,…,

), причём вы-

полняется условие 1





ppp ;

— частные платежи, связанные с принятием решения

при состоя-

нии природы

(

=1,2,…,

;

=1,2,…,

Тогда ожидаемый платёж для решения







jjinniiii

papapapaV

,,22,11,

 ,

=1,2,…,

Наилучшим среди

возможных решений будет то, которое соответ-

ствует максимуму }{max

,...,2,1





 , если целью является увеличение прибы-

ли, или минимум }{min

,...,2,1





 , если целью является уменьшение затрат.

Существуют и другие модификации критерия ожидаемого значения,

например, апостериорные вероятности Байеса.

Термин "апостериорный" противопоставляется термину "априорны".

"Априорный" означает "исходный", "естественный": априорная информа-

ция — это информация, содержащаяся в исходных данных. "Апостериорный"

означает "последующий": Апостериорная информация — это информация,

содержащаяся в рассчитанных данных. Рассмотренный критерий ожидаемого

значения может быть модифицирован так, чтобы исходные (априорные) ве-

роятности уточнялись в процессе расчётов с получением апостериорных ве-

роятностей.

4.2 Расчёт ожидаемых значений с помощью апостериорных

вероятностей Байеса

Несколько изменим условия ранее рассмотренной задачи (Пример 4.1).

Пример 4.2. Инвестор планирует вложить $10 000 в акции одной из

двух компаний A и B. Акции компании А являются рискованными, но могут

принести прибыль 50% от суммы инвестиций на протяжении одного года.

Если экономическая ситуация будет неблагоприятна, сумма инвестиций мо-

жет обесцениться на 20%. Компания B обеспечивает безопасность инвести-

ций и гарантирует прибыль 15% от суммы инвестиций в случае благоприят-

ной ситуации и только 5% в случае неблагоприятной. Все аналитические

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

прогнозы предвидят улучшение ситуации с вероятностью 60% и ухудшение с

вероятностью 40%.

Дополнительно к этим условиям используются оценки эксперта: эксперт

выскажется за инвестиции (всё равно куда) с вероятностью 90%, если ситуа-

ция благоприятна, и с вероятностью 50%, если ситуация неблагоприятная.

Как можно учесть мнение эксперта? Предполагается, что мнение эксперта

вполне обосновано.

Вводятся параметры и обозначения:

v — мнение эксперта "да";

v — мнение эксперта "нет";

q — благоприятная ситуация;

q — неблагоприятная ситуация.

Мнение эксперта можно формально записать следующим образом:

1) эксперт говорит "да" при благоприятной ситуации с условной веро-

ятностью 9,0}|{



qvP ;

2) эксперт говорит "нет" при благоприятной ситуации с условной веро-

ятностью 1,09,01}|{1}|{

1121











qvPqvP ;

3) эксперт говорит "да" при неблагоприятной ситуации с условной ве-

роятностью 5,0}|{



qvP ;

4) эксперт говорит "нет" при неблагоприятной ситуации с условной ве-

роятностью 5,05,01}|{1}|{

1222











qvPqvP .

С учётом этой дополнительной информации задачу можно переформу-

лировать следующим образом:

1) если мнение эксперта "да", то в какую компанию A или B следует ин-

вестировать?

2) если мнение эксперта "нет", то в какую компанию A или B следует

инвестировать?

Дерево решений будет иметь следующий вид (Рисунок 4.2).

Расчёты апостериорных вероятностей выполняются следующим обра-

зом.

Шаг 1. Условные вероятности }|{

qvP записываются в виде таблицы:

5,05,0

1,09,0

}|{}|{

22122

21111

qvPqvPq



Шаг 2. Вычисляются вероятности совместного появления событий

}{}|{},{

iijji

qPqvPvqP





Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

для всех

при заданных априорных вероятностях 6,0}{



qP ,

4,06,01}{1}{











qPqP .

Тогда условные вероятности },{

vqP записываются в теблице:

20,020,0

06,054,0

}{}|{}{}|{

2222212

1121111

qPqvPqPqvPq





Замечание: сумма всех элементов равна 1.

Инвестиции в A

Инвестиции в B

Благоприятная ситуация (

)

Неблагоприятная ситуация (

)

5000

–2000

1500

500

Инвестиции в A

Инвестиции в B

5000

–2000

1500

500

Эксперт: "да"

Эксперт: "нет"

Благоприятная ситуация (

)

Неблагоприятная ситуация (

)

Благоприятная ситуация (

)

Неблагоприятная ситуация (

)

Благоприятная ситуация (

)

Неблагоприятная ситуация (

)

Рисунок 4.2 — Дерево решений для задачи инвестирования

(Пример 4.2)

Шаг 3. Вычисляются абсолютные вероятности





jij

vqPvP

},{}{

и результаты записываются в таблицу:



 },{},{},{},{

}{}{

22211211

vqPvqPvqPvqP

vPvP

26,074,0

}{}{

20,006,020,054,0

}{}{

2121

vPvPvPvP







Шаг 4. Определяются искомые апостериорные вероятности

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

}{

},{

}|{

vqP

vqP  ,

для чего каждый элемент столбца таблицы на шаге 2 делится на элемент со-

ответствующего столбца таблицы на шаге 3:

769,0270,0

231,0730,0

26,0

20,0

74,0

20,0

26,0

06,0

74,0

54,0

}{

},{

}{

},{

}{

},{

}{

},{

vqP



Далее оцениваются альтернативные решения, основанные на ожидаемых

платежах.

Мнение эксперта "да":

1) доход компании A в узле 4 равен 5000×0,730+(−2000)×0,270=3110;

2) доход компании B в узе 5 равен 1500×0,730+500×0,270=1230.

Решение: Если эксперт говорит "да", то следует инвестировать в компа-

нию B.

Мнение эксперта "нет":

1) доход компании A в узле 6 равен 5000×0,231+(−2000)×0,769=−383;

2) доход компании B в узе 7 равен 1500×0,231+500×0,769=731.

Решение: Если эксперт говорит "нет", то следует инвестировать в ком-

панию B.

4.3 Функции полезности

Выше рассмотрены методы выбора решения на основе критерия ожида-

емого значения, так как платежи выражались в виде реальных денег. Но ча-

сто встречаются задачи, в которых необходимо оценить не реальную величи-

ну платежей, а полезность в общем виде.

Пример 4.3. Например, можно рассмотреть следующую задачу. Пусть

существует шанс 50% на 50%, что инвестиции в $20 000 или принесут при-

быль $40 000, или приведут к полной потере денежных средств. Ожидаемая

прибыль в этом случае составит: $40 000×0,5−$20 000×0,5=$10 000.

Таким образом, эффект выражается в виде конкретного ожидаемого зна-

чения, но интерпретировать его можно по-разному. Оптимист может считать,

что шанс получения $40 000 является заманчивым и оправдывает риск (это

возможно, например, если у оптимиста, кроме $20 000, имеется ещё доста-

точно денежных средств). В этом же самом случае пессимист может считать,

что вероятность потери $20 000 совершенно не оправдывает риска (это воз-

можно, например, если $20 000 — всё, что есть у пессимиста). Следователь-

но, и принятые решения оптимиста и пессимиста будут диаметрально проти-

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

воположными. Таким образом, к объективной характеристике (ожидаемому

значению платежа) присоединяется субъективный фактор — его оценка. Это

можно учесть с помощью понятия полезности. Несмотря на субъективный

характер полезности, возможна её количественная оценка с помощью экс-

перта, в качестве которого выступает само ЛПР. Это возможно следующим

образом.

В рассмотренном примере наилучший результат равен +$40 000, а

наихудший −$20 000. Тогда можно ввести функцию полезности

)

(

, пред-

ставляющую собой некоторую в общем случае кривую, изменяющуюся от

0% до 100%. Для рассматриваемого случае минимальное значение функции

полезности %0)00020$(





U , максимальное значение функции полезности

%100)00040($



U . Характер изменения функции полезности может быть

различным — в зависимости от субъективной оценки (Рисунок 4.3). По оси

абсцисс откладывается величина платежей (потерь или приобретений), а по

оси ординат — оценка субъективного восприятия этих платежей.

+20

+40

–20

100

+10

−10

Y пессимистичность

бесстрастность

Z оптимистичность

Рисунок 4.3 — Использование функции полезности (в тысячах долларов):

X — бесстрастного человека; Y — пессимиста; Z — оптимиста

Возможны три варианта функции полезности в зависимости от субъек-

тивной оценки: X — вариант бесстрастности, Y — вариант пессимистично-

сти, Z — вариант оптимистичности.

Для отражения этих особенностей необходимо рассмотреть, как воспри-

нимаются потеря и приобретение на одну и ту же величину. Для этого,

например, в окрестности нуля откладываются одинаковые приращения пла-

тежей вправо (приобретение) и влево (потери): в данном случае ±$10 000. За-

тем следует оценить, как соотносятся между собой приращения субъектив-

ных оценок для соответствующих кривых.

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

Если отношение бесстрастное, то функция полезности представляет со-

бой прямую X, для которой одинаковые приращения платежей по горизон-

тальной оси абсцисс (вправо и влево относительно 0) дают одинаковые при-

ращения оценок по вертикальной оси ординат (de=ef).

Если отношение пессимистическое (осторожное), то функция полезно-

сти представляет собой кривую Y, выпуклую вверх, для которой одинаковые

приращения платежей по горизонтальной оси (вправо и влево относительно

0) дают разные приращения оценок по вертикальной оси ординат, причём для

случая потери оценка больше, чем для случая приобретения (bc>ab). Это

означает, что человек придаёт большее значение возможным потерям, чем

приобретениям и при их равенстве больше страшится потерь, чем радуется

приобретениям: досада от потери $10 000 больше, чем радость от приобрете-

ния такой же суммы.

Если отношение оптимистическое (рисковое), то функция полезности

представляет собой кривую Z, вогнутую вниз, для которой одинаковые при-

ращения платежей по горизонтальной оси (вправо и влево относительно 0)

дают разные приращения оценок по вертикальной оси ординат, причём для

случая приобретения оценка больше, чем для случая потери (gh>hi). Это

означает, что человек придаёт большее значение возможным приобретениям,

чем потерям и при их равенстве больше радуется приобретениям и меньше

страшится потерь: досада от потери $10 000 меньше, чем радость от приобре-

тения такой же суммы.

Таким образом, направление выпуклости (вогнутости) кривой полезно-

сти качественно характеризует общий характер оценок (готовность к риску),

а степень выпуклости (вогнутости) — количественно характеризует эту го-

товность. Очевидно, что функция полезности может быть не обязательно мо-

нотонной (только выпуклой или только вогнутой), как обе приведённые кри-

вые. На некоторых участках она может быть выпуклой (вверх), а на некото-

рых вогнутой (вниз). Это означает, что человек при различных суммах пла-

тежей может вести себя по-разному. Например, при малых суммах платежей

он склонен к риску (у него есть запас средств), а при больших суммах плате-

жей он склонен к осторожности (у него нет запаса средств).

Функция полезности формируется на основе экспертных оценок самим

ЛПР.

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

5 Теория игр

5.1 Игры с чистыми стратегиями

Теория игр предлагает методы принятия решений в условиях, когда ра-

зумные противника имеют конфликтующие цели. Например, это может быть

рекламирование конкурирующих товаров, планирование военных стратегий

и т. д.

В игре участвуют два противника — игрока, каждый из которых имеет

некоторое множество возможных выборов, которые называются стратегия-

ми. Можно составить сочетания этих стратегий (первого и второго игроков) и

для каждого сочетания назначить или рассчитать платёж в пользу одного из

игроков. Такие игры называются играми двух лиц с нулевой суммой, так как

выигрыш одного игрока означает проигрыш другого. Если у игрока A

стратегий, а у игрока B

стратегий, то можно составить матрицу платежей:

nmmmm

qqqA

BBB

,2,1,

,22,21,22

,12,11,11







в соответствии с которой принимается, что если игрок A использует страте-

гию

, а игрок B стратегию

, то B платит в пользу A платёж

, или иначе:

A платит в пользу B платёж



Физический смысл матрицы платежей в том, что осуществляется пере-

бор всех возможных сочетаний стратегий: для стратегии 1 игрока A рассмат-

риваются все стратегии игрока B (1,2,3,…,

), затем то же делается для стра-

тегии 2 игрока A и так для всех

стратегий игрока A. Очевидно, сложность

такого подхода проявляется в большом возможном числе сочетаний страте-

гий. Но многие сочетания оказываются явно проигрышные для того или ино-

го игрока и тогда задача составления матрицы платежей несколько упроща-

ется.

Пример 5.1. Компании A и B распространяют одинаковую продукцию,

т. е. когда покупают продукцию одной из компаний, она получает прибыль, а

вторая компания в это время терпит убыток, так как покупают только у од-

ной компании. Для Компания A использует следующие виды рекламы:

1) радио (

A );

2) телевидение (

A );

3) газеты (

A ).

Компания B использует следующие виды рекламы:

1) радио (

B );

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

2) телевидение (

B );

3) газеты (

B );

4) рассылка брошюры (

B ).

Компании имеют различный опыт рекламирования своего товара и по-

лучают от рекламы свой эффект. На проведение всех видов рекламы у ком-

паний нет средств, поэтому каждой компанией должна быть выбрана только

одна стратегия. Какие это должны быть стратегии?

Допустим, что с помощью анализа эффективности оказалось возможно

составить следующую матрицу платежей:

%5%9%4%2

%8%6%5%6

%3%9%2%8

4321



BBBB

Смысл этих данных следующий.

Например, если компания A использует рекламу по радио (

A ), то можно

определить результат этой рекламы в зависимости от того, какую рекламу

использует компания B:

1) если компания B использует рекламу по радио (

B ), то купят продук-

ции от компании A больше, чем продукции от компании B на 8% — возмож-

но, радиоролик компании A лучше радиоролика компании B;

2) если компания B использует рекламу по телевидению (

B ), то купят

продукции от компании B больше, чем продукции от компании A на 2% —

возможно, видеоролик компании B лучше радиоролика компании A или ви-

деоролик просмотрят большее количество потенциальных покупателей;

3) если компания B использует рекламу в газете (

B ), то купят продук-

ции от компании A больше, чем продукции от компании B на 9% — возмож-

но, читателей газеты больше, чем радиослушателей;

4) если компания B использует рекламу в виде рассылки брошюры (

B ),

то купят продукции от компании B больше, чем продукции от компании A на

3% — возможно, в брошюре более убедительно рассказано о достоинствах

продукции компании B.

Аналогично можно рассмотреть и другие стратегии компании A и их со-

четания со стратегиями компании B.

Ситуация запутана из-за того, что одна компания не знает, какую страте-

гию выберет другая компания, т. е. рекламные кампании начинаются одно-

временно. Возникает вопрос: можно ли выбрать наилучшую стратегию каж-

дой компании и что означает "наилучшая стратегия" в данном случае?

Бронов, С. А. Исследование операций: конспект лекций

Каждый игрок может попытаться выиграть как можно больше, т. е. вы-

брать наилучший результат из лучших, но это означает, что второй игрок

должен первому "подыгрывать", выбирая неудачные стратегии. Очевидно, в

действительности это не так: второй игрок будет стараться ухудшить резуль-

тат первого, чтобы самому что-то выиграть. В результате "наилучшая страте-

гия" означает поиск минимума проигрыша (который может оказаться выиг-

рышем). Это значит, что ищется наилучший вариант из наихудших для каж-

дого игрока.

Проанализируем матрицу платежей с этой точки зрения.

Рассмотрим выбор стратегии с точки зрения компании A.

1) если компания A выбирает стратегию

A (реклама по радио), то из

всех стратегий компании B самой плохой для A является стратегия

B (ре-

клама с помощью брошюры), так как в этом случае компания A теряет

наибольшую часть рынка — 3%;

2) если компания A выбирает стратегию

A (реклама по телевидению),

то из всех стратегий компании B самой плохой для A является стратегия

(реклама по телевидению), так как в этом случае компания A приобретает

наименьшую часть рынка — 5%;

3) если компания A выбирает стратегию

A (реклама в газете), то из всех

стратегий компании B самой плохой для A является стратегия

B (реклама в

газете), так как в этом случае компания A теряет наибольшую часть рын-

ка — 9%.

Это можно отобразить с помощью дополнительного столбца справа:

%9%5%9%4%2

максимин%8%6%6

%3%3%9%2%8

строк минимумы

4321



BBBB

5%5%

Чтобы достичь наилучшего результата из наихудших, компания A выби-

рает стратегию

A и проводит рекламу по телевидению. Тогда любые дей-

ствия компании B по меньшей мере не ухудшат результат — компания A

отыграет себе не менее 5% рынка. Это результат отличается от наилучшего из

наилучших, который составляет 9% рынка и получится при сочетании страте-

гий [

A ,

B ]. Не исключено, что такой результат тоже может быть получен,

но уже при удачном стечении обстоятельств, если компания B выберет про-

игрышную для неё стратегию

B . Но стоит ли на это рассчитывать компании

A? Чтобы обеспечить этот наилучший из наилучших результат, компания A

должна выбрать стратегию

A . Но компания B может выбрать не стратегию