Бродецкий Г.Л. Системный анализ в логистике. Выбор в условиях неопределенности
Подождите немного. Документ загружается.
181
решений в условиях неопределенности соответствующие линии уровня в пространстве доходов могут быть
представлены в следующем виде
Кzvuf
);...;;( .
Здесь
параметр К характеризует конкретную линию из соответствующего их семейства (причем большим
значениям параметра К соответствует «линия», точнее гиперповерхность, в пространстве доходов,
точки которой будут представлять более предпочтительные альтернативы);
);...;;( zvuf - функция
n
переменных, аргументом которой являются
n
-мерные векторы
(строки) соответствующей матрицы полезностей;
);...;;( zvu - точки соответствующего
n
-мерного пространства доходов;
указанное равенство представляет в параметрической форме множество точек этого пространства,
которые расположены именно на «гиперповерхности» уровня К.
После формализации задачи принятия решений в условиях неопределенности (см. введение)
анализируемые альтернативы будут представлены точками соответствующего
n
-мерного пространства
доходов. Каждое альтернативное решение
i
X из заданного анализируемого множества альтернатив
},1,{ miX
i
будет представлено конкретной точкой (для удобства ее также обозначаем через
i
X ).
Указанная точка в принятых ранее обозначениях (см. введение) может быть записана в виде вектора
следующим образом:
i
X = );...;;(
21 inii
aaа .
Другими словами,
i
X - точка в указанном выше пространстве доходов, для которой имеют место
равенства:
in
i
i
az
av
au
..........
2
1
Минимальный (по размерам) «параллелепипед» в соответствующем
n
-мерном пространстве доходов,
включающий в себя все анализируемые решения },1,{ miX
i
, образует «поле полезностей».
Соответственно равенство Кzvuf
);...;;( представляет, как уже было подчеркнуто, некоторую
«гиперповерхность» в указанном пространстве доходов.
В поле полезностей соответствующим образом вводится понятие утопической точки (УТ). Это -
условное или утопическое решение (УТ = Х
У
):
);...;;(
21 УnУУУ
аааХУТ ,
координаты которого в пространстве доходов определяются равенствами
ij
i
Уj
aа max .
Здесь координата
Уj
а является наилучшим (наибольшим) показателем среди элементов j-го столбца
матрицы полезностей. Таким образом, УТ - это точка, представляющая условное утопическое решение, с
наилучшими координатами по каждой координатной оси в указанном выше пространстве доходов.
182
Представим на формальном уровне интересующую нас в этой главе процедуру частичного сдвига
семейства линий уровня критерия по направлению к утопической точке поля полезностей. Имеется в виду
параллельный сдвиг линий уровня, не нарушающий соответствующей структуры таких линий. Из курса
высшей математики хорошо известно, что преобразование типа
""""
u
uu ,
где 0
u
, применительно к определению семейства линий уровня, т.е. формализация такого семейства в
виде
Кzvuf
u
);...;;( ,
приведет к сдвигу влево таких линий вдоль оси 0U (в соответствующем пространстве доходов). При этом
величина указанного сдвига по такой оси составит именно
u
( 0
u
).
Аналогично, одновременная реализация (в рамках одной модификации) преобразований типа
""""
........................
""""
""""
z
v
u
zz
vv
uu
(где 0
u
; 0
v
; … ; 0
z
) применительно к указанному параметрическому представлению
семейства линий уровня, т.е. формализация его в виде
Кzvuf
zvu
);...;;( ,
приведет к следующему сдвигу линий уровня указанного семейства. А именно, - к сдвигу влево
одновременно по каждой из координатных осей соответствующего пространства доходов. При этом по оси
0U сдвиг составит
u
, по оси 0V сдвиг составит
v
, … , по оси 0Z сдвиг составит
z
.
Как мы уже знаем, указанные процедуры (преобразования) можно использовать для «нацеливания»
семейства линий уровня критерия на соответствующую утопическую точку поля полезностей. При этом
будет сохраняться их структура. Более того, можно реализовать такой сдвиг именно частично, т.е. не в
полной мере (например, на 25%, на 50%, на 75% и т.д.). Представим соответствующую формализацию для
процедур такого типа.
А именно, пусть далее
*
У
а обозначает максимальную из координат соответствующей утопической
точки (УТ = Х
У
) поля полезностей в рамках решаемой задачи оптимизации решения в условиях
неопределенности. Другими словами, пусть
*
У
а =
Уj
j
amax
(в частности, применительно к матрице полезностей
*
У
а - наибольший элемент такой матрицы). Теперь
легко видеть, что указанные выше процедуры «нацеливании» семейства линий уровня критерия на
соответствующую утопическую точку поля полезностей удобно представить следующим образом.
Определим показатели / параметры соответствующих сдвигов по каждой координатной оси
применительно к случаю 100% -го формата реализации сдвига в интересующей нас модификации:
1
**
УУu
аа
2
**
УУv
аа
183
………………
УnУz
аа
**
(*)
Соответствующие сдвиги в компактной форме можно задать вектором
);...;;(
****
zvu
.
Тогда формализация семейства линий уровня критерия в следующем новом виде
Кzvuf
zvu
);...;;(
***
,
как раз, и дает требуемое «нацеливание» семейства линий уровня критерия на соответствующую
утопическую точку поля полезностей на основе параллельного сдвига (100%-го) направляющей линии для
этого семейства, причем таким образом, чтобы она проходила через указанную точку.
ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что переход от представления семейства линий уровня критерия в виде
Кzvuf
);...;;(
к его представлению в представленном выше модифицированном виде можно также интерпретировать
следующим образом. В указанном представлении то же самое поле полезностей уже как бы
рассматривается с новой «точки зрения». А именно, начало системы координат соответствующего n-
мерного пространства доходов в таком представлении смещено таким образом, что соответствующая
утопическая точка поля полезностей (точка УТ = Х
У
) будет уже «видна» под одинаковым углом к любой из
координатных осей.
Последнее означает, что после такого преобразования семейство линий уровня классического ММ-
критерия и классического Н-критерия в новой системе координат будут иметь следующую особенность.
Они будут уже «автоматически» нацелены (в указанном выше смысле) на соответствующую утопическую
точку поля полезностей. Разумеется, эта особенность относится и к классическому S-критерию и к
классическому N-критерию, несмотря на то, что линии уровня этих критериев по определению (т.е. и без
указанного преобразования) уже и так были «нацелены» на утопическую точку поля полезностей (см. гл. 1).
Кроме того, указанная особенность, естественно, относится и к производному HW-критерию, и к
производному Р-критерию. Соответствующие модификации таких критериев уже были представлены в
главе 4. Здесь нас интересуют преобразования, которые позволят реализовать именно частичный сдвиг
семейства линий уровня критерия по направлению к утопической точке поля полезностей, не изменяя
структуру таких линий. Представим теперь требуемую формализацию для интересующих нас процедур
указанного типа.
Далее термин «частичный» сдвиг семейства линий уровня критерия по направлению к утопической
точке поля полезностей будем понимать следующим образом. Подразумевается реализация
представленных выше процедур, но уже в следующем модифицированном виде. А именно, пусть γ -
некоторое число, причем ]1;0[
. Рассмотрим вектор
**
)(
.
Соответственно, в координатной форме этот вектор можно записать следующим образом:
)(
*
= ( )(
*
u
, )(
*
v
, … , )(
*
z
),
где приведенные координаты определяются соответственно по формулам
)(
*
u
=
*
u
184
)(
*
v
=
*
v
………………
)(
*
z
=
*
z
(**)
Указанный вектор и формализует понятие «частичного» сдвига семейства линий уровня критерия по
направлению к утопической точке соответствующего поля полезностей (в контексте рассматриваемой здесь
модификации).
А именно, переход от представления семейства линий уровня критерия в виде
Кzvuf
);...;;(
к его модифицированному представлению типа
Кzvuf
zvu
))();...;();((
***
(***)
мы, как раз, и будем называть «частичным» сдвигом линий уровня этого семейства по направлению к
утопической точке поля полезностей в рамках конкретной задачи принятия решений в условиях
неопределенности.
Обратим внимание на то, что в частных случаях конкретного выбора параметра γ можно получать
различные результаты такого «частичного» сдвига линий уровня критерия. Например,
при γ = 0 никакого сдвига для семейства линий уровня критерия не будет;
при γ = 1 указанный сдвиг реализуется на все 100% (по направлению к утопической точке поля
полезностей);
при γ = 0,5 указанный сдвиг реализуется на 50% (по направлению к утопической точке поля
полезностей);
при γ = 0,75 указанный сдвиг реализуется на 75% (по направлению к утопической точке поля
полезностей);
и т.д.
Геометрическая интерпретация преобразований типа (***) при γ = 0, при γ = 0,5 и при γ = 1 в
соответствующем пространстве доходов применительно к ММ-критерию для случая n = 2 (двумерное
пространство доходов) представлена на рис. 6.1. Особенности и специфика выбора по этому критерию для
таких преобразований представлена на рис. 6.2. Обратим внимание на то, что при больших значениях γ
соответствующий выбор (как иллюстрирует рис. 6.2) будет в большей степени «нацелен» на такие
альтернативные решения, которые в пространстве доходов представлены точками, расположенными, более
близко к утопической точке поля полезностей.
Приведите самостоятельно соответствующие интерпретации для случая n = 3 (трехмерное
пространство доходов), когда после формализации задачи принятия решений в условиях неопределенности
соответствующая полная группа событий, влияющих на конечный экономический результат, будет
состоять именно из трех таких событий.
ЗАМЕЧАНИЕ. Представленные выше процедуры модификации на основе «частичного» сдвига
семейства линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей относились именно к таким
критериям принятия решений в условиях неопределенности, применительно к которым направляющая
линия (для соответствующего семейства линий уровня) в пространстве доходов совпадает с биссектрисой
первого координатного угла. Понятно, что к таким критериям относится большинство критериев принятия
решений, которые были рассмотрены в предыдущих главах. Отметьте самостоятельно, какие именно.
185
Линии уровня
ММ
-
критерия
при γ=1 (100%-й сдвиг)
Линии уровня
ММ
-
критерия
при γ=0.5 (50%-й сдвиг)
Линии уровня
ММ
-
критерия
при γ=0 (без сдвига)
U
max
нов
vax
U
U
V
нов
V
1
нов
V
max
max
V
нов
1
0
нов
5.0
0
0
45
0
УТ
Рис. 6.1. Иллюстрация частичного сдвига линий уровня ММ-критерия
186
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Еще раз подчеркнем, что указанное преобразование для семейства линий уровня
критерия реализуется «автоматически» в рамках соответствующей модификации критерия. Поэтому
никаких линий уровня и, тем более, гиперповерхностей в пространстве доходов (до и после представленных
Выбор по
ММ
(γ=1)
-критерию
U
max
U
V
max
V
0
45
0
УТ
Рис. 6.2. Илл
юстрация оптимального выбора по модифицированному
ММ-критерию при сдвиге его линий уровня
Выбор по
ММ
(γ=0,5)
-критерию
Выбор по
ММ
(γ=0)
-критерию
187
преобразований) менеджеру, естественно, «рисовать» в рамках процедур оптимизации решений в условиях
неопределенности не требуется. Необходимо только реализовать требуемые шаги (они формализованы
ниже) в рамках соответствующего алгоритма модификации. Естественно, при этом необходимо также
понимать, какие возможности дает указанная модификация и как ими воспользоваться. Представленные на
рис. 6.1 и 6.2 графические иллюстрации призваны помочь в этом.
Соответственно обратим внимание на следующую особенность. Указанные выше процедуры / шаги
алгоритма модификации (речь идет именно о частичном сдвиге линий уровня критерия по направлению к
утопической точке поля полезностей) реализуются только применительно к матрице полезностей (атрибуты
самого критерия остаются прежними). А именно, в обозначениях принятых для матрицы полезностей (см.
введение), интересующая нас в этой главе модификация формализуется следующим образом.
Пусть исходная матрица полезностей при формализации задачи принятия решений в условиях
неопределенности задана в виде:
Θ
1
Θ
2
… Θ
n
Х
1
а
11
а
12
… а
1n
Х
2
а
21
а
22
… а
2n
…
… … … …
Х
m
а
m1
а
m2
… а
mn
Тогда, если менеджер решает использовать преобразование (***) для семейства линий уровня
критерия на основе их частичного сдвига к утопической точке поля полезностей (при некотором
конкретном значении коэффициента γ), то это означает следующее. Требуется реализовать процедуры
соответствующего критерия, но уже не применительно к указанной исходной матрице полезностей, а
применительно к новой модифицированной матрице, причем модификация делается на основе
преобразования (***). Другими словами, для выбора оптимальной альтернативы в задаче принятия решений
в условиях неопределенности менеджер в такой ситуации будет иметь дело с матрицей вида
Θ
1
Θ
2
… Θ
n
Х
1
а
11
+ )(
*
1
а
12
+ )(
*
2
…
а
1n
+ )(
*
n
Х
2
а
21
+ )(
*
1
а
22
+ )(
*
2
…
а
2n
+ )(
*
n
…
… … … …
Х
m
а
m1
+ )(
*
1
а
m2
+ )(
*
2
…
а
mn
+ )(
*
n
(****)
Образно говоря, в рамках таких процедур модификации можно дать следующую интерпретацию
применительно к новым значениям конечных экономических результатов в модифицированной матрице
полезностей (****). А именно, менеджер или ЛПР, как бы, «смотрит» на такие результаты, но уже с новой
«точки зрения» в пространстве доходов. Эта новая точка зрения обусловливается новой системой
координат, полученной после реализации соответствующих процедур модификации из-за сдвига
координатных осей в пространстве доходов (для адаптации к предпочтениям ЛПР). Для двумерного
пространства доходов такой эффект был уже проиллюстрирован рисунком 6.1.
Соответствующие процедуры модификации, которые были представлены в этом разделе, далее для
краткости будем называть процедурами γ(УТ)-модификации или )(УТ
-преобразованиями. В следующих
разделах этой главы рассмотрим специфику реализации таких процедур применительно к интересующим
нас критериям принятия решений в условиях неопределенности. Иллюстрация их приложений к системам
управления запасами будет представлена в третьей части книги.
188
2. Алгоритм γ(УТ)-модификации для ММ-критерия
(ММ
γ(УТ)
-критерий)
Представим особенности реализации соответствующих процедур γ(УТ)-модификации, которые
обусловлены именно частичным сдвигом семейства линий уровня критерия (к утопической точке поля
полезностей) применительно к классическому ММ-критерию. Получаемый в результате такой модификации
новый модифицированный критерий принятия решений в условиях неопределенности обозначаем кратко
как ММ
γ(УТ)
-критерий.
Прежде всего подчеркнем, что алгоритм оптимизации решения в рамках указанного ММ
γ(УТ)
-
критерия можно характеризовать следующими шагами.
На начальном шаге уточняется конкретное значение коэффициента γ ( ]1;0[
), выбор которого
(см. иллюстрацию в примере 6.1 - Дополнение) должен быть реализован ЛПР в соответствии со своей
системой предпочтений в пространстве доходов.
Шаг 1. Применительно к исходной матрице полезностей, которую формализовали для
соответствующей задачи оптимизации решения в условиях неопределенности, по формулам (*), (**) и (***)
реализуются процедуры требуемой γ(УТ)-модификации. В результате получается новая модифицированная
матрица полезностей.
Шаг 2. Для указанной новой модифицированной матрицы полезностей реализуются процедуры
классического ММ-критерия. Это означает, что к такой матрице дописывается дополнительный столбец. Его
элементы определяются как самые плохие (наименьшие) элементы соответствующей строки указанной
матрицы.
Шаг 3. По элементам дополнительного столбца модифицированной матрицы полезностей
определяется наилучшее / оптимальное решение. А именно, это – решение, которому соответствует
наилучший (наибольший) показатель в дополнительном столбце указанной матрицы.
Соответственно, в рамках рассматриваемого здесь ММ
γ(УТ)
-критерия семейство линий уровня
критерия будет определяться равенствами типа:
Kzvu
zvu
***
;...;;min
.
Здесь
o К – показатель линии уровня;
o γ - выбранный ЛПР показатель коэффициента частичного сдвига линий уровня критерия к
утопической точке поля полезностей;
o ∆
α
- соответствующие показатели (применительно к каждой координатной оси),
добавление которых к аргументам критериальной функции, обеспечивает именно100%-ый
сдвиг семейства линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей
(
zvu ;...;
).
Пусть
i
– вариант возможного решения ЛПР );,...,2,1( mi
j
– вариант возможной ситуации );,...,2,1( nj
ij
a – доход / прибыль для ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая;
A
)(
ij
a – соответствующая исходная матрица полезностей для задачи оптимизации.
*
j
- требуемые «добавки» к элементам j-го столбца исходно матрицы полезностей при реализации
процедур γ(УТ)-модификации (в рамках предпочтений ЛПР).
Тогда для целевой функция модифицированного критерия имеем:
}{max
)(
i
i
УТ
MM
KZ
,
где
}{min
*
j
ij
j
i
aK
.
189
Графическая интерпретация для семейства линий уровня этого критерия, а также соответствующие
особенности выбора оптимального решения, уже были представлены выше на рис. 6.1 и 6.2.
Иллюстрацию численных процедур этого метода рассмотрим (для удобства сравнения результатов)
на том же примере, который уже был использован в главе 1.
ПРИМЕР 6.1. Для удобства изложения напомним исходные данные в рамках рассматриваемого
примера. А именно, после формализации задачи принятия решений выделено множество }4,1,{ j
j
из 4-
х случайных событий, которые необходимо учитывать в рамках соответствующих решений. Кроме того,
пусть анализируются 6 альтернативных решений }6,1,{ iX
i
, из которых требуется выбрать наилучшее.
При этом соответствующая матрица полезностей имеет вид:
Доходы при событиях:
Решения
1
2
3
4
X
1
5 4 3 3
X
2
6 2 6 4
X
3
-3 6 2 12
X
4
3 9 1 5
X
5
7 1 5 3
X
6
6 6 1 4
Найдем наилучшее решение по ММ
γ(УТ)
-критерию применительно к ситуации, когда, например,
ЛПР для параметра γ (в рамках указанной модификации классического критерия пессимизма) выбирает
значение γ= 0,5.
Шаг 1. Сначала подчеркнем, что соответствующая утопическая точка в поле полезностей
применительно к этой задаче имеет координаты:
Х
У
= (7; 9; 6; 12).
Как видим, максимальная координата этой точки составляет 12. Соответственно далее по формуле
(*) определяем показатели
*
j
для величин «сдвигов» по j-ой координатной оси в пространстве доходов
(для случая 100%-ой реализации таких сдвигов):
*
1
= 12 – 7 = 5;
*
2
= 12 – 9 = 3;
*
3
= 12 – 6 = 6;
*
4
= 12 – 12 = 0.
После этого определяем показатели )(
*
j
с учетом требований ЛПР применительно к частичной
реализации соответствующего сдвига (50% вместо 100% при указанных значениях
*
j
):
)(
*
1
= 0,5∙5 = 2,5; )(
*
2
= 0,5∙3 = 1,5;
)(
*
3
= 0,5∙6 = 3; )(
*
4
= 0,5∙0 = 0.
Наконец, с учетом формул перехода к новым элементам матрицы (****) выписываем
модифицированную матрицу полезностей:
190
Доходы при событиях:
Решения
1
2
3
4
X
1
7,5 5,5 6 3
X
2
8,5 3,5 9 4
X
3
-0,5 7,5 5 12
X
4
5,5 10,5 4 5
X
5
9,5 2,5 8 3
X
6
8,5 7,5 4 4
Шаг 2. Для указанной новой модифицированной матрицы полезностей реализуем процедуры
классического ММ-критерия. Они представлены элементами соответствующего дополнительного столбца,
который дописываем к этой матрице.
Доходы при событиях:
Решения
1
2
3
4
Показатель
ММ
γ(УТ)
-
критерия
X
1
7,5 5,5 6 3
3
X
2
8,5 3,5 9 4
3,5
X
3
-0,5 7,5 5 12
-0,5
X
4
5,5 10,5 4 5
4
X
5
9,5 2,5 8 3
3
X
6
8,5 7,5 4 4
4
Шаг 3. Находим самый большой элемент в дополнительном столбце модифицированной матрицы
полезностей. Он равен 4 (и выделен в дополнительном столбце матрицы). Соответствующие
альтернативные решения (альтернативы X
4
и X
6
) являются оптимальными по ММ
γ(УТ)
-критерию (при γ =
0,5). Любая из них может быть выбрана в качестве наилучшей. Кстати, объясните самостоятельно, почему.
ЗАМЕЧАНИЕ. Сравнивая полученный здесь результат с результатом выбора по классическому ММ-
критерию (без указанной γ(УТ)-модификации, см. пример 1.1) видим, что оптимальный выбор изменился.
Здесь модифицированный ММ
γ(УТ)
-критерий выбрал альтернативы X
4
и X
6
, в то время как классический
ММ-критерий выбрал альтернативу X
1
. Более того, подчеркнем, что в рамках модифицированного ММ
γ(УТ)
-
критерия еще и альтернатива X
2
стала ранжироваться как более предпочтительная, чем альтернатива X
1
(которую выбирает ММ-критерий без указанной модификации).
Вообще, в рамках рассмотренного здесь модифицированного ММ
γ(УТ)
-критерия анализируемые
альтернативы ранжируются (по убыванию предпочтения) следующим образом:
X
4
и X
6
, X
2
, X
1
и X
5
, X
3
.
Это ранжирование не совпадает с ранжированием по обычному классическому ММ-критерию (см.,
например, пример 1.1 применительно к анализу первых пяти таких альтернатив). Естественно, для тех ЛПР,
которые именно так и ранжировали бы указанные альтернативные решения, соответствующая модификация
(при γ = 0,5) вполне могла бы соответствовать предпочтениям ЛПР. Как видим, менеджерам необходимо
понимать особенность представленной здесь модификации классического ММ-критерия и уметь
использовать ее, чтобы более эффективно адаптировать линии уровня критерия применительно к системе
предпочтений ЛПР. Возможности для оценки приемлемых значений коэффициента γ ( ]1;0[
) в рамках
рассматриваемой модификации проиллюстрированы ниже следующим дополнением к этому примеру.
Возможность оценки и выбора параметра γ для конкретного ЛПР
при γ(УТ)-модификации в формате критерия пессимизма