Блюменфельд Л.А. Проблемы биологической физики

Подождите немного. Документ загружается.

3.6l ПРОБЛЕМЫ 51

3.6.

ПРОБЛЕМЫ

При

рассмотрении многих важных биологических про-

цессов в клетке и организме необходимо пользоваться он-

загеровской неравновесной термодинамикой. Никаких

специфических

термодинамических проблем, связанных с

особенностями

биологических объектов, при этом не воз-

никает.

Распространение термодинамики за пределы вы-

полнимости

соотношений взаимности приводит, как пра-

вило,

тому,

что она перестает быть термодинамикой

(т. е. теряются все преимущества общего термодинамичес-

кого подхода), а превращается в химическую кинетику,

гидродинамику и

другие

хорошо известные области науки.

Даже если бы удалось построить последовательную тер-

модинамику для области, лежащей за пределами выполни-

мости линейных феноменологических соотношений (что

пока

не сделано), вряд ли, по мнению автора, это имело бы

существенное значение для понимания особенностей строе-

ния

и функционирования биологических систем.

Л А В А 4

СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКЕ

БИОПОЛИМЕРОВ

4.1.

ГДЕ

НАЧИНАЕТСЯ

МЕХАНИКА!

Выше неоднократно подчеркивалось, что биологичес

кие

системы представляют собой конструкции, т. е. струк-

туры,

построенные

для

выполнения

определенных

функ-

ций *). Если бы для описания клетки нам пришлось выби-

рать

между

двумя крайними моделями — часовым механиз-

мом и гомогенной химической реакцией в газовой фазе,

—

выбор был бы однозначен: клетка несравненно ближе

часовому механизму, чем к чисто статистической систе-

ме.

В чем принципиальное различие физики статистичес-

ких и физики механических систем? Для ответа на этот

вопрос рассмотрим работу машины, для функционирова-

ния

которой необходимы оба типа систем. В качестве та-

кой

машины можно выбрать, например, двигатель внут-

реннего сгорания. С одной стороны, для описания свойств

смеси бензина и

воздуха

и закономерностей протекания

соответствующих химических реакций после их

иниции-

рования

требуется статистический подход. Существен-

ными

характеристиками этого рабочего тела двигателя

являются такие макроскопические параметры, как темпе-

ратура

и давление. Для их определения необходимо ста-

тистическое рассмотрение, усреднение по всему фазовому

пространству,

учет

(статистический) огромного числа

степеней свободы молекул, атомов, ионов, радикалов,

составляющих

газовую

смесь. Работа

других

компонент

двигателя: цилиндра, поршня, клапанов, устройства для

поджога смеси и т. д.—

требует

для своего описания совер-

шенно

другого

подхода — механического. Эти компоненты

двигателя, вообще говоря, также состоят из множества

атомов и характеризуются огромным числом степеней

•) О необходимости телеологического подхода к биологии

см.

стр. 27.

4.1] ГДЕ НАЧИНАЕТСЯ МЕХАНИКА? 53

свободы; однако для каждой из них имеется немного

(а

может быть, и одна) механических степеней свободы,

полностью определяемых конструкцией системы *). При-

чина

появления таких выделенных степеней свободы за-

ключается в том, что для механических систем разрешены

лишь

сравнительно немногие области фазового простран-

ства, сравнительно небольшое число возможных микро-

состояний.

Следует

четко понимать, что это происходит

не

потому, что некоторые области фазового пространства

отвечают повышенной энергии. Они недостижимы

кине-

тически,

так как отделены большим кинетическим барье-

ром от областей фазового пространства, заданных жест-

кими

связями системы, т. е. ее конструкцией. Так, на-

пример,

точка фазового пространства, соответствующая

нахождению атомов поршня вне цилиндра, может не отли-

чаться по энергии от точки, отвечающей нормальному

положению поршня. Однако, если двигатель собран пра-

вильно,

можно вообще не рассматривать первую фазовую

точку, так как для ее достижения необходимо разрушить

либо поршень, либо цилиндр, а это может произойти

лишь

через время, неизмеримо превышающее характер-

ное

время функционирования механической системы.

Конструкция

характеризуется строго ограниченным мно-

жеством разрешенных точек фазового пространства, ис-

пользует ничтожную часть гиббсовского канонического

ансамбля и в этом смысле существенно неравновесна. Од-

нако

эта неравновесность принципиально отличается от

неравновесности открытых систем, рассмотренной в пре-

дыдущей главе и обусловленной непрерывной диссипацией

поступающей извне энергии. В отличие от такой термо-

динамической

неравновесности,

неравновесность конст-

рукций имеет

кинетическую

природу и обусловлена тем,

что мы рассматриваем системы на протяжении интервалов

времени,

значительно меньших тех, которые требуются

для релаксации к истинному Статистическому равновесию.

Конструкции

«заморожены» в неравновесном, т. е. упоря-

доченном, состоянии. В гл. 1 мы видели, что упорядочен-

ность биологических конструкций осмысленна. Смысл этот

возникает в процессе биологической эволюции. Здесь

*) Появление механических степеней свободы превращает кон-

струкцию в машину.

54 О

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ БИОПОЛИМЕРОВ

[ГЛ. 4

мы не

будем

касаться вопроса о смысле биологических

структур,

т. е. не

будем

рассматривать способы их функ-

ционирования.

На наиболее простых примерах мы поста-

раемся выяснить, к каким следствиям приводит их

кине-

тическая неравновесность.

Не

подлежит сомнению, что клетка ближе к конструк-

ции,

чем к статистической системе. Возникает законный

вопрос: на каком уровне организации начинает становить-

ся

существенной конструкция, где к чистой статистике

примешивается механика?

Насколько

я знаю, впервые было четко сказано, что

это происходит уже на уровне отдельных макромолекул

биополимеров, в

статье

Хургина,

Чернавского и Шноля

[1].

В гл. 6 мы еще вернемся к ней при рассмотрении физи-

ческих аспектов ферментативного катализа. Мы увидим,

что с некоторыми положениями авторов

трудно

согласить-

ся.

Однако принципиальное значение этой работы оче-

видно.

Начало количественного описания биополимерных

структур

как частично неравновесных систем (в указан-

ном

выше кинетическом смысле) было положено Лифши-

цем [2, 3]. Следующий параграф настоящей главы цели-

ком

посвящен изложению этих статей *).

4.2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

ОДНОНИТЕВОГО

ГОМОПОЛИМЕРА

Начнем

рассмотрение с длинной гибкой полимерной це-

почки,

состоящей из N одинаковых мономерных звеньев.

Число N достаточно велико, чтобы цепь можно было счи-

тать статистической системой, а ее возможные конфигу-

рационные

состояния — макроскопическими фазами этой

системы. Мономеры соединены

друг

другом

прочными

ковалентными связями, энергия которых Е° настолько

велика, что частоты их разрыва со ~ ехр (— E°JkT)

удовлетворяют

неравенству

ют<1,

(4.1)

где т — характерное время конфигурационной релакса-

ции

полимерной цепи. Неравенство (4.1) означает, что пер-

*) Весьма близкий подход

статистической механике полимер-

ной

цепи лежит

основе работ Эдвардса.[4]. Изложение

обсужде-

ние

этих работ можно найти

недавнем обзоре Фрида

[5].

4.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

ГОМОПОЛИМЕРА 55

вичная

структура

полимерной цепи стабилизирована

кине-

тически и корреляционные соотношения

между

положе-

ниями

соседних звеньев

действуют

постоянно. Факти-

чески из (4.1)

следует,

что на интересующих нас временах

порядка т система неравновесна и обладает линейной па-

мятью.

Учет

линейной памяти приводит к нетривиальным

следствиям

даже

при анализе свойств свободной нити

(когда

отсутствуют

боковые вторичные связи). Как из-

вестно (см., например, [6]), такая нить при достаточно

большом N из-за флуктуации ее геометрии, вызванных из-

гибом, сворачивается в клубок радиусом порядка RN =

a y~N, где а — величина порядка расстояния

между

соседними звеньями. Наличие линейной памяти выражает-

ся

в том, что в конфигурационном пространстве функция

распределения Z

o6 представляется в виде произведе-

ния

функций корреляции gj = g (xj, xj

)

между

сосед-

ними

звеньями:

(х

. .., XJV) = П

Si-•

(4-2)

Определяя функцию корреляции через разность век-

торов:

gj = g (X

j+1

) = g (у;),. $ gd'y = 1, (4.3)

где Xj (j = 1, 2,. . ., N) — обобщенные координаты

звеньев цепи, Лифшиц вводит плотность звеньев в точке

с координатой х:

п(х)=

2б(х-х,-),

(4.4)

3=1

рассчитывает корреляцию плотности, т. е. величину,

связывающую изменение плотности в одной точке прост-

ранства, занятого клубком, с изменением плотности в дру-

гой его точке. Оказывается, радиус корреляции того же

порядка, что и размер клубка. Это означает, что плотность

клубка нельзя считать термодинамической характеристи-

кой

системы: невозможно получить постоянное среднее

значение плотности, проводя усреднение по всему клубку.

Флуктуации плотности в разных точках клубка не незави-

симы,

и усреднение необходимо проводить по времени,

56 О СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКЕ

БИОПОЛИМЕРОВ [ГЛ. 4

а не по пространству. Вследствие корреляции плотностей

(т. е. в конечном счете вследствие наличия линейной памя-

ти,

вносящей ограничения в разрешаемые области фазо-

вого пространства) в клубке должны происходить макро-

скопические

пульсации с характерным временем

т оо N

(4.5)

с амплитудой пульсации того же порядка величины, что

сама плотность.

Полученный

результат

существенно связан с прибли-

жением свободной гибкой нити и с пренебрежением все-

ми

взаимодействиями, кроме главных, обусловливающих

линейную память. На самом же

деле

объемными взаимо-

действиями

между

удаленными (вдоль главной цепочки)

друг

от

друга

мономерными звеньями, сближенными в ре-

зультате

изгиба, пренебрегать нельзя. Эти боковые связи

значительной мере определяют результирующую

конфи-

гурацию макромолекулы. Кроме того, существенным мо-

жет оказаться взаимодействие полимерной нити с окру-

жающей средой, например с растворителем. Наличие на

поверхности клубка гидрофобных звеньев полимерной це-

пи,

разрушающих водородно-связанную

структуру

воды,

приводит к так называемому гидрофобному взаимодейст-

вию,

сжимающему клубок. Поэтому в качестве следующе-

го приближения Лифшиц рассматривает клубок, образо-

ванный

гомополимерной гибкой нитью, во внешнем сжи-

мающем потенциальном поле и (х). Этот этап необходим

для последующего

учета

объемного взаимодействия.

Теперь каждое звено характеризуется энергией, опре-

деляемой положением данного звена в пространстве. Обо-

значим

энергию (в единицах Т) звена, расположенного

точке х, через

(х) = и (х)/Т. (4.6)

Энергия

всей системы, находящейся в точке Г пространст-

ва конфигураций (т. е. с заданными координатами х^

всех

звеньев *)), равна

— 2J

(

J) = \

(

)

(

) ^

х- (4.7)

.7=1

*) Для упрощения принято, что состояние звена полностью оп-

ределяется его координатой, т. е. не учитываются возможные раз-

личия

в ориентации звена.

4.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

ГОМОПОЛИМЕРА

Свободная энергия F (х) (в единицах Т) системы в поле,

отсчитываемая от уровня свободного клубка, может быть

записана

в виде

FJT = F = F (

) - F (0) = -

lnZ

(4.8)

где F

— свободная энергия в обычных единицах, а ста-

тистическая сумма Ziv учитывает как наличие внешнего

поля,

так и существование линейной памяти, т. е.

= ^

ехр

{- 2

(

)}

Ц g (h)

(4.9)

Ниже

приведены очевидные выражения для равновес-

ной

плотности звеньев h (xj), энергии Е (в единицах Т)

энтропии S системы:

Й(Х,)

= -^,

(4.10)

Е = -J- = £{ср} - £{0} = ^

(х)п(х)#х =

^(х)-^г#х,

(4.11)

x)d

x- F,

(4.12)

где '£

— энергия в обычных единицах. При достаточно

больших N вычисление ZN СВОДИТСЯ В конце концов*) к

решению уравнения

J-£ (х - х') Т (х') dV = ехр (ф - X)

ЧГ

(х),

(4.13)

где Y — функция, определяемая равенством

(х) - ^Р- ехр [- ф (х)]

р (х) ехр [-

(х)],

(4.14)

р (х) — плотность звеньев в точке х в расчете на одно зве-

но,

X — энергетический параметр системы, весьма просто

связанный

с ее свободной энергией:

ж ехр (— Ш),

(4.15)

F = М. = NK {ф}.

(4.16)

*) Подробные выкладки здесь и далее см. в [2].

58 О СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКЕ

БИОПОЛИМЕРОВ [ГЛ. 4

Если

функция ф (х) достаточно плавна, т. е. мало ме-

няется

на расстояниях порядка интервала

между

звенья-

ми,

а корреляционную функцию g (x) можно считать сфе-

рически

симметричной, то

(4.13)

превращается в

+ (1 — exp (q> — Х))Ч = 0.

(4.17)

Решения

этого уравнения, т. е. вид «собственных функ-

ций» W и допустимые «собственные значения» X, зависят

от вида ф (х). Если поле исчезает на бесконечности, т. е.

(оо) = 0, а в области клубка ф (х) образует достаточно

глубокую

потенциальную яму, чтобы

«удержать»

его в ви-

де плотной глобулы, появляются дискретные собственные

значения

X. При данном потенциальном поле и (х) это

происходит при температурах ниже некоторой критичес-

кой

температуры 8

. При более высоких температурах

квантования

свободной энергии нет и X имеет сплошной

спектр.

Граница непрерывного спектра проходит при Х

0. Если яма достаточно широка, то уровень основного

состояния

находится вблизи дна ямы, т. е.

Тогда вместо

(4.17)

можно написать уравнение

&У

+ (К — ф) ¥ = 0,

(4.19)

формально идентичное стационарному уравнению Шре-

дингера.

Это уравнение можно решить для различных конкрет-

ных случаев. Так, например, для глубокой сферически

симметричной ямы ф (г) = ф

+ 7

аг

получаем основ-

ной

уровень при

= Фо + % «

5|г

(4.20)

При

Т ^> 0

нет дискретных уровней, а при понижении

температуры появляется первый дискретный уровень

= X {ф

} = X {и (х)/Э

}. При Т, близких к 0

, имеем

4.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

ГОМОПОЛИМЕРА 59

Таким

образом, в точке 0

реализуется фазовый переход

второго рода

\A(T-Q

Г<6

(здесь F

совпадает с Fj).

Анализ корреляции флуктуации плотности показывает,

что при Т < 6

, когда яма достаточна для удержания

клубка, плотность р (х) со Т

ехр ф становится термоди-

намической

величиной и усреднение ее по пространству

снова приобретает смысл.

В реальной макромолекуле кроме взаимодействия ме-

жду соседними звеньями, которое учитывается заданием

корреляции

gj,

существует

дополнительное объемное взаи-

модействие %

между

далекими участками цепи, подошед-

шими

друг

другу

результате

изгиба. Энергию системы

можно в этом

случае

представить в виде суммы энергий

попарного

взаимодействия

ilt

между

сблизившимися

звеньями:

% (х

...,

Xjv

) = Vs 2 щ

; u

i1c

= % {Х

- x

(4.23)

В общем

случае

при наличии объемного взаимодействия

% и внешнего потенциального поля ф получают уравне-

ния,

аналогичные (4.13),

(4.17)

и (4.19), но вместо ф (х)

них

следует

подставить зависящее от плотности га эф-

фективное

самосогласованное поле Ф (га, х):

(я, х) = ф (х) + Но (п) — In га,

(4.24)

где Но (

) — химический потенциал звена в системе с ло-

кальной

плотностью п.

Несколько

слов об использовании химического потен-

циала [7]. Все особенности статистики полимерных цепей

определяются тем, что за счет линейной памяти мономеры

оказываются скоррелированными на расстояниях

КО

рр

(

корр 3^> а). Поэтому распределение плотности в

глобуле

не локально. Однако в первом приближении (по параметру

^корр)

объемное взаимодействие можно описать, вводя

аффективный

химический

потенциал

(х* [га (х)] =

г, Т) — Т In п, где и (л, Т) —

химический

потенциал

60 О СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКЕ

БИОПОЛИМЕРОВ [ГЛ. 4

той же совокупности разорванных звеньев, с тем же объем-

ным

взаимодействием и с плотностью п и температурой Т.

Таким

образом, химический потенциал вводится так же,

как

и в конденсированной фазе без линейной памяти, по-

скольку в системе с линейной памятью выделяется объем,

где локальные расстояния

между

взаимодействующими

звеньями

много меньше, чем расстояния

между

этими

звеньями

вдоль цепи (модель «взаимодействующие бусин-

ки

на гибкой нити»).

Влияние растворителя на распределение плотности

может быть учтено зависимостью эффективного химичес-

кого потенциала \i* (n) от состояния растворителя. Так,

например,

ц* (п) зависит от давления Р в растворителе.

В основном эта зависимость обусловлена тем, что при об-

разовании

плотной глобулы объем растворителя изме-

няется

на величину AV (растворитель вытесняется звенья-

ми

полимера, так как молекулы растворителя не

могут

проникать

в плотную глобулу). Поэтому при образовании

глобулы цепь производит работу Р AV. В этом

случае

состояние полимерной цепи определяется не минимумом

свободной энергии Гельмгольца, а минимумом свободной

энергии

Гиббса (термодинамического потенциала): G {п} =

F {п) + Р AF.

В выражениях для эффективного химического потен-

циала и эффективного самосогласованного поля

(4.24)

появятся

новьте члены, отражающие состояние раствори-

теля (давление, рН и т. д.).

Если

внешнее поле

отсутствует

и в правой части

(4.24)

исчезает первое слагаемое, то превращение клубка в гло-

булу

может все же произойти за счет сил объемного

притяжения.

Для предотвращения неограниченного сжа-

тия

необходимо учитывать силы отталкивания, действую-

щие

на атомных расстояниях. В этом

случае

глобула

образует нечто вроде двухфазной системы с плотным

ядром, играющим роль конденсированной фазы, и

«газовой»

периферией,

где поле объемного взаимодействия недо-

статочно для создания глобулы и цепочка удерживается

только основными связями.

В дальнейшем энергетические характеристики системы

будут

записываться обычным способом, учитывающим явно

температурную зависимость, т. е. вместо F мы

будем

пи-

сать FIT, а вместо ц

— ц

(п, Т)/Т.