Бирюков С.В., Романова И.В. САПР измерительных устройств: конспект лекций
Подождите немного. Документ загружается.
А теперь вернемся к обсуждению вопросов, связанных с математическими
моделями реальных электронных компонентов, причем договоримся
обозначать их также аббревиатурой ММК.
4.2. Вопросы классификации математических моделей реальных
электронных компонентов и их параметров
Все параметры этих моделей делятся на два класса: внешние и внутренние.
Каждый из этих классов подразделяется на два подкласса: первичные и
вторичные параметры.
Первичные внешние параметры моделей – токи и напряжения.
Вторичные внешние (их иногда называют выходными, или схемными) –
параметры, вычисляемые на основе токов и напряжений, как-то: длительности
фронтов, импульсов и задержек, рассеиваемые и потребляемые мощности,
неравномерности частотных характеристик, характерные значения токов и
напряжений в отдельных узлах схемы.
Первичные внутренние параметры – это электрофизические и
конструктивно-технологические параметры, например: размеры отдельных
областей компонентов, контактная разность потенциалов, подвижность
носителей заряда, характеристики полупроводниковых материалов (ширина
запрещенной зоны, температурные коэффициенты и др.)
Вторичные внутренние (или электрические) – параметры, которые могут
быть определены на основе только электрических измерений на выводах
компонента: входные и выходные сопротивления, коэффициенты усиления и
т.д.
Следует подчеркнуть, что, исходя из задач конкретного этапа
проектирования, математическая модель реального компонента должна
отвечать самым различным требованиям. Эти требования в своем большинстве
являются противоречивыми, и удачное компромиссное удовлетворение их в
одних задачах может оказаться далеким от оптимальности в других. По этой
причине для одного и того же компонента или устройства часто приходится
иметь не одну, а несколько моделей. В связи с этим классификация моделей
РЭУ должна выполняться по множеству признаков, чтобы охватить все
возможные случаи.
По названным причинам рассмотрим классификацию ММК (реальных
компонентов) более подробно. Обычно их различают по шести признакам:
характеру отображаемых процессов;
способу представления модели;
характеру зависимостей, используемых для моделирования;
диапазону рабочих сигналов;
21
диапазону рабочих частот;
количеству параметров модели.
По характеру отображаемых процессов модели делятся на статические
(на постоянном токе) и динамические.
По способу представления различают модели аналитические, графические
и табличные.
Аналитические модели компонентов представляются обычно в виде
уравнений вольтамперных характеристик или в форме дифференциальных
уравнений переходных процессов. Дифференциальные уравнения
характеризуют инерционность компонента.
Графические модели могут быть заданы в виде графиков ВАХ, а также в
виде схем замещения (или эквивалентных схем). Часто исключение реактивных
элементов из динамической схемы замещения превращает ее в статическую.
Такие схемы замещения называют сепарабельными. Пример: эквивалентная
схема Эберса-Молла для биполярных транзисторов.
Табличные модели задаются в виде цифровых таблиц; им обычно
соответствуют графики экспериментальных ВАХ, для которых трудно найти
аналитическое выражение.
Практически любую модель (аналитическую, графическую и табличную)
можно оформить в виде компьютерной подпрограммы, которая называется
цифровой моделью.
По характеру зависимостей, используемых для моделирования, модели
делятся на два больших класса: линейные и нелинейные.
По диапазону рабочих сигналов различают модели для малого
(малосигнальные) и большого сигналов. Обычно малосигнальные – это
линейные модели, поскольку они получаются при рассмотрении малых
отклонений токов и напряжений от стационарной рабочей точки. Модели для
большого сигнала, как правило, являются нелинейными.
По диапазону рабочих частот различают низкочастотные и
высокочастотные модели. В низкочастотных моделях инерционность
компонентов на высоких частотах не учитывается. В высокочастотных моделях
она учтена либо дифференциальным уравнением, описывающим переходной
процесс внутри компонента, либо введением дополнительных внешних
ёмкостей.
По количеству параметров в модели компонента выделяют:
– простые модели, которые характеризуются малым количеством
параметров, часть из которых можно непосредственно указать на схеме
(например,
22
R4 10k, C10 5nF), хотя полная модель резистора или конденсатора может
содержать больший перечень параметров (9…10);
– сложные, которые характеризуются большим количеством параметров.
Они заносятся в библиотеку моделей (например, модель биполярного
транзистора имеет 52 параметра).
4.3. Иерархия математических моделей в САПР
Иерархический подход к проектированию включает в качестве своей
основы иерархию математических моделей.
Деление моделей по иерархическим уровням (уровням абстрагирования)
происходит по степени детализации описываемых свойств и процессов,
протекающих в объекте.
На каждом иерархическом уровне используются понятия «система» и
«элемент». Система k-го уровня рассматривается как элемент на соседнем,
более высоком (k–1)-ом уровне.
Представим структуру некоторого объекта в виде множества элементов и
связей между ними (рис. 3). Выделим некоторые подмножества элементов и
назовем их блоками (обозначены штриховыми линиями).
Блок А Блок Б
Рисунок 3 – Структура объекта в виде множества элементов и связей между ними
Пусть состояние каждой связи характеризуется одной фазовой
переменной:
V
i
– внутренние связи между элементами данного блока;
Z
j
– выходы блока;
U
k
– входы блока.
23
1 2
3
64
9
5
8
U
2
U
1
U
3
Z
1
Z
2
V
3
V
6
7
V
5
Z
3
V
1
V
2
V
7
V
9
V
8
V
4
3
Фазовые переменные – это зависимые переменные – величины,
характеризующие состояние объекта.
Вектор фазовых переменных – это совокупность фазовых переменных.
Для функциональных моделей существуют понятия полной модели и
макромодели.
Полная модель блока – модель, составленная из моделей элементов с
учетом межэлементных связей, т.е. модель, описывающая как состояние
выходов, так и состояние каждого из элементов блока.
Моделями элементов блока А являются уравнения, связывающие входные
и выходные переменные:
f
1
(V
1
;U
1
) = 0;
f
2
(V
1
;V
2
) = 0;
f
3
(V
2
;U
3
;V
4
) = 0 (1)
f
9
(V
9
;V
8
;Z
2
) = 0
Полной моделью блока будет система уравнений:
;0);( UVF
)U,V(Z
, (2)
где
U;Z;V
– векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных
блока.
При большом количестве элементов размерность вектора V и порядок
системы уравнений (2) становятся чрезмерно большими и требуются
упрощения.
При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения
основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных V.
Полученная в результате модель представляет собой систему уравнений:
0)U;Z(
(3)
Эта система имеет существенно меньшую размерность, чем полная модель
(2) и называется макромоделью.
Макромодель характеризует процессы взаимодействия данного блока с
другими в составе системы блока и не описывает процессы внутри блока.
Модели (2) и (3) относятся друг к другу как полная модель и макромодель
на n-ом уровне иерархии.
На более высоком (n–1)-ом уровне блок А рассматривается как элемент и
макромодель (3) становится моделью элемента А.
Модели (1) и (3) относятся друг к другу как модели элементов соседних
иерархических уровней.
Из моделей типа (3) можно составить полную модель системы на (n–1)-ом
уровне.
24
4.4. Уровни абстракции при проектировании
В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют
большее или меньшее число уровней абстракции.
Выделяют три укрупненных уровня, родственных по характеру
используемого математического аппарата.
Микроуровень использует ММ, описывающие физическое состояние и
процессы в сплошных средах.
Для моделирования применяют аппарат уравнений математической фи-
зики.
Типичная ММ этого уровня – дифференциальные уравнения в частных
производных (уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости,
газовой динамики и т.п.).
Типичные фазовые переменные этого уровня – электрические.
Независимыми переменными являются время и пространственные
координаты. В качестве операторов
F
и
в уравнениях (2) фигурируют
дифференциальные и интегральные операторы.
Уравнения (2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ
объектов на микро уровне (распределение модели).
Макроуровень использует представление о среде, как о дискретным
пространстве, с выделением в качестве элементов отдельных деталей,
электрорадиоэлементов.
Элементы этого уровня: резисторы, конденсаторы, транзисторы и т.д.
Из числа независимых переменных исключаются пространственные
координаты.
Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы
обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений.
Фазовые переменные на этом уровне: напряжение, токи, силы, скорости,
давление, концентрация частиц, плотности токов, механические напряжения,
температуры и т.д.
Эти фазовые переменные характеризуют проявления внешних сводов
элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой в
электронных схемах или механических конструкциях.
На метауровне с помощью дальнейшего абстрагирования от характера
физических процессов удается получить приемлемое по сложности описание
информационных процессов, протекающих в проектируемых объектах.
На метауровне для моделирования аналоговой РЭА применяют аппарат
анализа систем автоматического управления, для моделирования цифровой
РЭА – математическую логику, теорию конечных автоматов.
25
Математические модели на метауровне:
– системы обыкновенных дифференциальных уравнений;
– системы логических уравнений;
– имитационные модели систем массового обслуживания.
26
4.5. Формы представления моделей
Инвариантная форма – запись соотношений модели с помощью
традиционного математического языка безотносительно к методу решения
уравнений модели.
Алгоритмическая форма – запись соотношений модели выбранного
численного метода решения в форме алгоритма.
Аналитическая форма – запись модели в результате аналитического
решения исходных уравнений модели (обычно явные выражения выходных
параметров как реакций внутренних и внешних параметров).
Схемная форма (графическая) – представление модели на некотором
графическом языке, например на языке графов, эквивалентных схем.
Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные
модели – для имитации физических или информационных процессов в объекте
при задании различных зависимостей входных воздействий от времени. Сам
процесс называется имитационным моделированием.
Результат имитационного моделирования – зависимости фазовых
переменных в элементах системы от времени.
Пример имитационной модели: модель электронных схем в виде систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
4.6. Требования к математическим моделям
Основные требования к математическим моделям:
– адекватность;
– универсальность;
– экономичность.
Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные
свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень
совпадения значений выходных параметров модели и объекта.
Относительная погрешность модели по j-му выходному параметру:
jjjj
g/)gg
~
(
,
где
j
g
~
– j-й выходной параметр, рассчитанный с помощью модели,
j
g
– тот же
параметр, имеющий место в моделируемом объекте.
Погрешность модели по совокупности учитываемых выходных параметров
оценивается одной из норм вектора, например:
j
max
, при
m:1j
);...;;;(
m321
или
m
1j
2
j
.
27
Точность модели различна в различных условиях функционирования
объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами.
Если задаться предельно допустимой погрешностью E
пред
, то можно в
пространстве внешних признаков выделить область, в которой выполняется
условие E
м
< E
пред
.
Эта область называется областью адекватности (ОА) модели.
Наиболее просто ОА задается двухсторонними неравенствами:
kkk
ggg
,
p:1k
,
где g
k
– k-й внешний параметр;
p – размерность пространства внешних признаков.
g
2
g
2
``
g
2
`
g
1
`
g
1
``
g
1
Универсальность. При определении ОА необходимо выбрать
совокупность внешних параметров и совокупность выходных параметров,
отражающих учитываемые в модели свойства.
Типичными внешними параметрами являются:
– параметры нагрузки;
– параметры внешних воздействий.
Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет
применяемость модели, но усложняет работу по определению ОА.
Выбор совокупности выходных параметров тоже неоднозначен, однако,
для большинства объектов число и перечень выходных параметров достаточно
стабильны и составляют типовой набор выходных параметров.
Универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в
модели внешних и выходных параметров.
Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных
ресурсов для ее реализации:
– затратами машинного времени ТМ.
– затратами памяти ПМ.
Общие затраты ТМ и ПМ на выполнение в САПР какой-либо проектной
процедуры зависят как от особенностей выбранной модели, так и от методов
решения.
28
ОА
Пример ОА в двухмерном пространстве
4.7. Методика макромоделирования
Методика макромоделирования состоит из следующих этапов:
1) определение свойств объекта, которые должны отражаться моделью.
(устанавливаются требования к степени универсальности модели);
2) сбор априорной информации о свойствах моделируемого объекта
(например, справочные данные, математические модели, результаты
эксплуатации существующих аналогичных объектов.
3) получение общего вида уравнений модели (структуры модели). Часто
удобно оперировать не уравнениями, а эквивалентными схемами, с помощью
которых проще устанавливать физический смысл различных элементов модели;
4) определение численных значений параметров модели возможны
следующие приемы выполнения этого этапа: а) использование расчетных
соотношений с учетом сведений, собранных на этапе 2; б) решение
экстремальной
задачи, в которой в качестве целевой функции выбирается степень совпадения
известных значений выходных параметров объекта, с результатами
использования модели; в) проведение экспериментов и обработка полученных
результатов;
5) оценка точности полученной модели и определение области ее
адекватности. При неудовлетворительных точностных оценках выполняют
итерационное приближение к желаемому результату повторением этапов 3–5;
6) представление полученной модели в форме, принятой в используемой
библиотеке моделей.
5. МОДЕЛИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РЭА
Радиоэлектронную аппаратуру можно представить как многоуровневую
иерархическую структуру, состоящую из пяти уровней:
– уровень 0 образует неделимые составляющие (радиоэлементы и
микросхемы);
– уровень 1 включает микросборки, микромодули и другие объемные
базовые модули;
– уровень 2 объединяет сборочные единицы или ячейки (обычно
собранные на базе печатных плат);
– уровень 3 включает блоки и конструктивно законченные сборочные
единицы;
29
– уровень 4 образует аппаратура, т. е. функционально и конструктивно
законченное изделие электронной техники.
5.1. Математические модели на уровне 0
Модель сопротивления:
Пусть имеется электрическая цепь с
последовательно соединенными
сопротивлением R и генератором тока I [2].
Задавая генератором ток I и замеряя ток в
цепи i, можно получить функциональную
связь между током и напряжением: U=f(i). Коэффициент пропорциональности:
R=U/i, U=Ri.
Модели источника напряжения и тока
Если U=E – это идеальный источник напряжения.
U=E–iR – модель реально существующей физической
системы.
Модель ёмкостного элемента
q(t)=CU(t); i(t)=dq/dt=Cdu(t)/dt.
Во многих случаях имеют дело не с линейными ёмкостными элементами, а
с нелинейными. Тогда значение ёмкости зависит от напряжения:
c=f(U);
i(t)=d(CU)/dt=f(U)·dU/dt+U·df(U)/dU·dt/du.
Модель индуктивного элемента
U(t)=dλ/dt
30