Бездудный Г.М., Знаменский В.А., Коваленко Н.В. и др. Задачи по теории вероятностей. Часть 4

Подождите немного. Документ загружается.

формулу:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 0 0 3413 0 0 3413ba , ,=Φ −Φ =Φ −Φ = − =

Аналогично поступаем в двух остальных случаях.

) , ;

117m =

126m =

(

)

(

)

(

)

2 1 0 4772 0 3413 0 1359,,,=Φ −Φ = − =

) , ;

126m =

135m =

(

)

(

)

(

)

3 2 0 4986 0 4772 0 0214,,,=Φ −Φ = − =

Величина

npq

, оценивающая точность аппроксимации, равна для

рассматриваемой задачи 0,0694. Отсюда можно сделать вывод, что величина

третьего результата может значительно отличаться от истинного значения

вероятности.

Пример 2. Вероятность появления некоторого события в одном испытании

. Найти вероятность того, что при проведении

06p,= 2400n

испытаний число

появлений этого события будет заключено в пределах:

)от 1404 до 1476;

)от

1440 до 1512;

)от 1476 до 1548.

Решение

. Здесь ,

104qp,=− = 1440np

576npq

24npq =

. Если

–

число наступлений события в серии из

2400n

испытаний, то, применяя

интегральную теорему Муавра-Лапласа, в случае

) получаем:

() () ( )

1476 1440 1404 1440

P 1404 1476 1 5 1 5

24 24

−−

⎛⎞⎛⎞

≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ − =

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

(

)

2 1 5 2 0 4332 0 8664,, ,=Φ = ⋅ =

Аналогично, в случаях

) и

) получим:

(

)

(

)

(

)

P 1440 1512 3 0 0 4986 0 0 4986k,≤≤ =Φ −Φ = −=,

;

(

)

(

)

(

)

P 1476 1548 4 5 1 5 0 499997 0 4332 0 06680k,,,,≤≤ =Φ −Φ = − =,

Пример 3. Какова вероятность того, что при 1800 подбрасываниях

игральной кости число выпадений на верхней грани числа очков, кратного трём,

будет отличаться от среднего ожидаемого числа выпадений в ту или иную

сторону не более, чем на:

)20;

б)

40;

)60;

)80?

Решение

. Так как вероятность выпадения при одном подбрасывании числа

очков, кратного трём,

p =

, то среднее ожидаемое числа таких выпадений при

1800 подбрасываниях

1800 600

np =⋅=

. При этом и

400npq =

20npq

Следовательно, необходимо определить вероятности следующих случайных

событий:

)

{

}

1knp npq−<⋅

;

)

{

}

2k np npq−<⋅

;

)

{

}

3knp npq−<⋅

;

)

{

}

4k np npq−<⋅

. Очевидно, что

(

)

()

P2k np l npq l−<⋅ =Φ

, где

1234l,,,

Значит: в случае

)

(

)

(

)

P 20 2 1 0 6826knp ,−< =Φ=

;

в случае

)

(

)

(

)

P 40 2 2 0 9544knp ,−< =Φ=

;

в случае

)

(

)

(

)

P 60 2 3 0 9972knp ,−< =Φ=

;

в случае

)

(

)

(

)

P 80 2 4 0 99994knp ,−< =Φ=

Пример 4. В страховой компании застраховано на некоторый период

времени 20 000 лиц одинакового возраста и одной социальной группы. В среднем

вероятность несчастного случая, который может произойти с каждым из

застрахованных в течение этого периода

0003p,

. Каждое лицо при заключении

договора о страховании вносит 15 руб., и если до истечения срока страхования с

каким либо лицом произойдёт несчастный случай, компания по его страховому

полису выплачивает 3 000 руб. Определить вероятность того, что:

)страховая

компания потерпит убыток;

)прибыль страховой компании составит не менее 1/3

полученной при заключении договоров страхования суммы;

)прибыль страховой

компании составит не менее половины этой суммы.

Решение

)При заключении договоров страхования компания получит

300000 руб. Следовательно, она потерпит убыток, если

– число страховых

полисов, предъявленных к оплате, превысит 100. Вероятность того, что компания

потерпит убыток, равна

()

20000 60 100 60

P 100 20000 0

7 734 7 734

−−

⎛⎞⎛

<≤ ≈Φ −Φ =

⎜⎟⎜

⎝⎠⎝

⎞

⎟

⎠

Таким образом, для компании потерпеть убыток – практически

невозможное событие.

)Если число страховых полисов, предъявляемых к оплате, не превысит 66,

то компания получит прибыль не менее 100 000 руб. Вероятность того, что

прибыль составит не менее 1/3 полученной суммы, равна

() ()()

66 60 0 60

P 0 66 0 776 7 76 0 773

7 734 7 734

−−

⎛⎞⎛⎞

≤ ≤ ≈Φ −Φ =Φ +Φ ≈

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

)Если число страховых полисов, предъявляемых к оплате, не превысит 50,

то компания с вероятностью

(

)

(

)

(

)

P 0 50 1 29 7 76 0 0985k,,≤≤ ≈−Φ +Φ ≈,

получит доход не менее 150 000 руб.

Пример 5. При изготовлении отливок получается 20% брака. Сколько

необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с вероятностью не

менее 0,95 была обеспечена программа выпуска изделий, для выполнения которой

необходимо 50 бездефектных отливок?

Решение

. Примем вероятность изготовления бездефектной отливки равной

. Надо определить

– число планируемых отливок так, чтобы с

вероятностью 0,95 число бездефектных отливок

удовлетворяло неравенству

, т.е.,

08p,=

50 kn≤≤

(

)

P50 095kn ,≤≤ ≥

. Так как

()

08 50 08

P50

04 04

n,n ,n

−−

⎛⎞⎛

≤≤ =Φ −Φ

⎜⎟⎜

⎝⎠⎝

⎞

⎟

⎠

то имеем:

()

50 0 8

05 095

,n ,

−

⎛⎞

Φ−Φ ≥

⎜⎟

⎝⎠

. (1)

Число планируемых отливок будет больше пятидесяти,

05 35,n ,>

поэтому

(

)

0 5 0 4997,n ,Φ>

. Практически можно считать, что

(

)

05 05,n ,Φ=

Тогда из (1) имеем

50 0 8

045

−

⎛⎞

−Φ ≥

⎜⎟

⎝⎠

. Из последнего неравенства следует, что

аргумент функции Лапласа отрицателен. Воспользовавшись нечётностью

функции Лапласа, получим:

08 50

045

−

⎛⎞

Φ≥

⎜⎟

⎝⎠

. Тогда

08 50

1645

−

≥

. Решая

это квадратное неравенство, находим, что число

планируемых отливок должно

быть не менее 65.

Пусть при проведении

испытаний событие A произошло

раз. Величина

называется относительной частотой появления этого события. Интегральная

теорема Муавра-Лапласа применяется при решении следующих трёх типов задач.

I тип.

Какова вероятность

того, что при проведении

повторных

независимых испытаний относительная частота

отклонится от вероятности

появления события в единичном испытании меньше, чем на

⎛⎞

−

<ε = Φ ε =β

⎜⎟

⎝⎠

II тип.

Сколько нужно провести повторных независимых испытаний, чтобы

с уверенностью, не меньшей, чем

, утверждать, что относительная частота

отклонится от вероятности

меньше, чем на

−

⎡

⎤

⎛⎞

≥Φ

⎜⎟

⎢

⎥

⎝⎠

⎣

⎦

III тип.

Найти такое положительное число

, чтобы с уверенностью

можно

было утверждать, что при проведении

испытаний отклонение относительной

частоты

появления события от его вероятности

будет меньше

−

⎛⎞

ε= ⋅Φ

⎜⎟

⎝⎠

Пример 6. Предполагается, что вероятность некоторого события

075p,

Для проверки этого предположения планируется провести несколько серий

повторных независимых испытаний. С какой степенью уверенности

можно

будет утверждать, что полученное значение относительной частоты отклонится от

вероятности

меньше, чем на

001,

, если будет проведено ,

900

n =

1600

, испытаний?

2500

n =

10000

n =

Решение

. Искомые вероятности

(

)

1234

i,,,

определим по формуле

⎛⎞

β= Φε⋅

⎜⎟

⎝⎠

Здесь интересно проследить динамику изменения степени уверенности

полученных результатах испытаний в связи с ростом числа испытаний.

()

900

2 0 01 2 0 6928 0 510

075 025

⎛⎞

β= Φ ⋅ = Φ =

⎜⎟

⋅

⎝⎠

;

()

1600

2 0 01 2 0 9238 0 644

075 025

⎛⎞

β=Φ ⋅ =Φ =

⎜⎟

⋅

⎝⎠

;

()

2500

2 0 01 2 1 1547 0 752

075 025

⎛⎞

β=Φ ⋅ =Φ =

⎜⎟

⋅

⎝⎠

;

()

10000

2 0 01 2 2 3094 0 979

075 025

⎛⎞

β=Φ ⋅ =Φ =

⎜⎟

⋅

⎝⎠

Пример 7. Французский учёный XVIII века Бюффон подбросил монету

4040 раз, при этом “герб” появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при

повторении опыта Бюффона относительная частота появления “герба” отклонится

от вероятности его появления при одном подбрасывании по абсолютной величине

не более, чем в опыте Бюффона.

Решение

. В опыте Бюффона

4040n

2048k

2048 1

4040 2

ε= − = − =

. Искомая вероятность

будет равна:

0 007,=

()

4040

2 0 007 2 0 89 0 6266

05 05

⎛⎞

β= Φ ⋅ = Φ =

⎜⎟

⋅

⎝⎠

Пример 8. В опыте Бюффона отклонение относительной частоты

выпадений “герба” от вероятности 0,5 составило

0007,

. Сколько раз нужно

подбросить монету, чтобы с уверенностью не меньшей, чем 0,9, ожидать такое же

отклонение относительной частоты выпадений “герба” от вероятности его

выпадения при одном подбрасывании?

Решение

. Число подбрасываний монеты определяется из неравенства

()

05 05

045 138065

0 007

−

⋅

⎡⎤

≥⋅Φ =

⎣⎦

Пример 9. Повторяя опыт Бюффона, подбросили монету 4040 раз. Каким

будет положительное число

, чтобы с уверенностью 0,9 абсолютная величина

отклонения относительной частоты выпадений “герба” от его вероятности 0,5 не

превысила

Решение

. Число

определяется по формуле

−

⎛⎞

ε= ⋅Φ

⎜⎟

⎝⎠

()

05 05

0 45 0 013

4040

−

⋅

=⋅Φ=

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Закон больших чисел – это совокупность теорем, в которых на

последовательность независимых случайных величин

{

}

, , налагаются

условия, при которых среднее арифметическое большого числа этих величин с

вероятностью, близкой к единице, т. е., практически достоверно, очень мало

отличается от среднего арифметического их математических ожиданий:

1, 2, ...k =

lim

→∞

⎛⎞

−ξ<ε

⎜⎟

⎝⎠

∑∑

В самой общей форме требования накладываются в теореме Чебышева:

независимые случайные величины

могут быть разнораспределёнными, но их

дисперсии должны быть ограничены одной общей константой, т. е.,

=σ ≤ <+∞ ∀ ∈

В доказательстве теоремы используется неравенство Чебышева

()

PM 1

ξ− ξ ≤ε ≥ −

которое можно применять для оценки вероятности того, что среднее

арифметическое значений случайных величин отклонится от среднего

арифметического их математических не более, чем на заданную величину, т.е.,

PM1

⎛⎞

ξ− ξ ≤ε≥−

⎜⎟

⎝⎠

∑

∑∑

Вид этого неравенства значительно упрощается, если случайные величины

одинаково распределены. Так как в этом случае при любом

mξ=

, то

=σ

⎛⎞

ξ− ≤ε≥−

⎜⎟

⎝⎠

∑

Пример 1. Вероятность некоторого события A в каждом из

независимых

испытаний

p =

. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,

что сто относительная частота этого события отклонится от его вероятности по

абсолютной величине не более чем на 0,01, если будет проведено:

)

= 9 000

испытаний;

)

= 75 000 испытаний. Сравнить полученные результаты с

вероятностями, получаемыми при применении интегральной теоремы Муавра-

Лапласа.

Решение

. Естественно считать, что каждое из

испытаний определяет

бернуллиевскую случайную величину

−

результат

-го испытания. При этом

мы полагаем

, если событие A произошло, и

ξ=

, если событие A не

произошло. Ясно, что

()

. Значения числовых

характеристик каждой из

равны:

mpξ= = =

22 2

DMM

kk k

⎛⎞

ξ= ξ− ξ=σ= − =

⎜⎟

⎝⎠

. Тогда по неравенству Чебышева в форме

для одинаково распределённых слагаемых для

= 0,01 получаем:

)

9000 0 01

⎛⎞

ξ− ≤ε≥− ≈

⎜⎟

⋅

⎝⎠

∑

0753

;

)

75000 0 01

⎛⎞

ξ− ≤ε≥− ≈

⎜⎟

⋅

⎝⎠

∑

0970

Сравним полученные результаты с вероятностями, получаемыми при

применении интегральной теоремы Муавра-Лапласа. По этой теореме

⎛⎞⎛⎞

ξ− ≤ε≈Φε

⎜⎟

⎝⎠⎝

∑

⎠

) При

=9 000 получаем

9000

001 01 9 5 2012

ε=⋅ =⋅⋅≈

⋅

. По

таблицам значений функции Лапласа

()

2 012 0 4779

⎛⎞

Φε ≈Φ ≈

⎜⎟

⎝⎠

. Значит,

P 0 9558

⎛⎞

ξ− ≤ε≈

⎜⎟

⎝⎠

∑

) При

= 75 000 имеем

75000

001 5809

ε=⋅ ≈

⋅

. Значит,

()

P25809

⎛⎞

ξ− ≤ε≈Φ = ⋅ =

⎜⎟

⎝⎠

∑

2051

Пример 2. Для определения средней продолжительности горения

электролампочек в партии из 100 одинаковых ящиков было взято в выборку по

одной электролампочке из каждого ящика. Оценить вероятность того, что

отклонение средней продолжительности горения лампочки в выбранной

совокупности от средней продолжительности горения лампочки во всей партии не

превзойдёт восьми часов, если среднее квадратическое

отклонение

продолжительности горения электролампочки в партии не превышает 80 часов.

Как изменится эта вероятность, если из каждого ящика взять по две лампочки?

Решение

. Пусть

−

время продолжительности горения

-ой лампочки в

выбранной совокупности. Естественно считать, что все случайные величины

(

=1, 2, …, 100) одинаково распределены, т.е., у них одинаковые плотность

вероятности и числовые характеристики

и . Средняя

продолжительность горения лампочек в выбранной совокупности равна

ξ=σ

100

ξ=ξ

∑

. При этом

M mξ=

100

ξ=

. Необходимо оценить

(

)

P8mξ− ≤

Так как все случайные величины

одинаково распределены и имеют

конечную дисперсию

, то применяем теорему Леви из ЦПТ (центральной

предельной теоремы), согласно которой случайная величина

σ=

ξ−

τ=

при

достаточно больших

подчиняется закону, близкому к нормальному с нулевым

математическим ожиданием и равной единице дисперсией, т. е.,

(

)

(

)

<ε ≈ Φ ε

Случайные события

{

}

−≤

⎧

⎫

ξ−

⎪

=τ ≤

⎨

⎬

⎪

⎩⎭

равновероятны,

поэтому для решения задачи нужно вычислить

⎛⎞

ξ−

⎛⎞

≤≈Φ

⎜⎟

σσ

⎝⎠

Аргумент функции Лапласа здесь равен

8 100

⋅

, по таблицам значений

функции Лапласа находим

(

)

1 0 3413,Φ=

. Следовательно,

(

)

P 8 2 0 3413 0 6826m,,ξ− ≤ ≈ ⋅ =

Если объём выборки увеличить вдвое, т. е., выбрать двести

электролампочек, то аргумент функции Лапласа будет равен

8200

21414

,=≈

(

)

(

)

P 8 2 1 414 2 0 4213 0 8426m,,ξ− ≤ ≈ Φ = ⋅ = ,

Пример 3. В результате медицинского осмотра 900 призывников

установлено, что средний вес призывников на 1,2 кг больше, чем средний вес

призывников за один из предшествующих периодов. Можно ли это отклонение

объяснить случайностью, если среднее квадратическое отклонение веса

призывников равно 8 кг?

Решение.

Пусть случайная величина

−

вес

-го призывника. Как и в

предыдущих примерах считаем, что все случайные

(

= 1, 2, …, 900)

распределены по одному и тому же закону. В качестве математического ожидания

примем средний вес призывников за тот предшествующий период, с

которым производится сравнение. Среднее квадратическое отклонение каждой

случайной величины

= 8 кг.

ξ=