Баскаков А.П. Теплотехника

Подождите немного. Документ загружается.

термодинамика в своих исследованиях

оперирует только равновесными процес-

сами. Они являются удобной идеализа-

цией реальных процессов, позволяющей

§9^. многих., случаях существенно _уп-

вие (1.8) выполняется на практике до-

статочно часто. Поскольку механические

возмущения распространяются в газах

со скоростью звука, процесс сжатия газа

в цилиндре будет равновесным, если ско-

рость перемещения поршня много мень-

ше скорости звука.

Процессы, не удовлетворяющие усло-

вию dA/dt^Cpen, протекают с нарушени-

ем равновесия, т. е. являются н е р а в-

новесн_ы_ми. Если, например, быстро"

"Увеличить температуру окружающей сре-

ды,

то газ в цилиндре будет постепенно

прогреваться через его стенки, релакси-

руя

к состоянию

равновесия,

соответ-

ствующему

новым параметрам

окружаю-

щей

среды.

В процессе релаксации газ

не

находится в равновесии с

окружаю-

щей

^оедрй_и

em нельзяxa.RaKT.eriH^Qfta.tb

ратура

имеет различные

значения.

Контрольные вопросы

1.1.

1 м

воздуха содержит 1 кг воды

в виде мелких капель, распыленных по объему.

Можно ли эту смесь рассматривать как термо-

динамическую систему?

1.2. Что произойдет с температурой систе-

мы, если при постоянных удельном объеме

и давлении из системы убрать половину ее

структурных частиц?

1.3.

На торцах стержня, боковая повер-

хность которого теплоизолирована, поддержи-

ваются постоянные температуры Т\ и Ti (Г|>

T-i).

В каком состоянии находится система?

Глава вторая

ПЕРВЫЙ

ЗАКОН

ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1.

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ

Внутренняя энергия системы включа-

ет в себя:

кинетическую энергию поступатель-

ного, вращательного и колебательного

движения частиц;

потенциальную энергию взаимодей-

ствия частиц;

энергию электронных оболочек

атомов;

внутриядерную энергию.

В большинстве теплоэнергетических

процессов две последние составляющие

остаются неизменными. Поэтому в даль-

нейшем под внутренней энер-

гией будем понимать энергию хаотиче-

ского движения молекул и атомов, вклю-

чающую энергию поступательного, вра-

щательного и колебательного движений

как молекулярного, так и внутримолеку-

лярного, а также потенциальную энергию

сил взаимодействия между молекулами.

Кинетическая энергия молекул явля-

ется функцией температуры, значение

потенциальной энергии зависит от сред-

него расстояния между молекулами и,

следовательно, от занимаемого газом

объема V, т. е. является функцией V. По-

этому внутренняя энергия U есть функ-

ция состояния тела.

Для сложной системы она определя-

ется суммой энергий отдельных частей,

т. е. обладает свойством аддитивности.

Величина

u=U/M,

называемая

удельной внутренней энер-

гией (Дж/кг), представляет собой

внутреннюю энергию единицы массы ве-

щества.

В дальнейшем для краткости будем

называть величину и просто внутренней

энергией. Поскольку внутренняя энергия

есть функция состояния тела, то она мо-

жет быть представлена в виде функции

двух любых независимых параметров,

определяющих это состояние:

u = V\(p,V); и = щ(р,Т)\ u = <p

(v,T).

Ее изменение в термодинамическом

процессе Д« не зависит от характера

процесса и определяется только началь-

ным и конечным состояниями тела:

Аы

= ^du =

—

ui, где и\ — значение внут-

ренней энергии в начальном состоянии,

а иг — в конечном. Математически это

означает, что бесконечно малое измене-

ние внутренней энергии du есть полный

дифференциал и; если выразить внутрен-

нюю энергию в виде функции удельного

объема и температуры, то

du = (du/dT)

dT + (du/dv)

dv. (2.1)

Внутренняя энергия идеального газа,

в котором отсутствуют силы взаимодей-

ствия между молекулами, не зависит от

объема газа или давления [(ди/ди)

О,

(ди/др)

0],а

определяется только его

температурой, поэтому производная от

внутренней энергии идеального газа по

температуре есть полная производная:

(du/dT)

= (du/dT)

=du/dT. (2.2)

Для задач технической термодинами-

ки важно не абсолютное значение внут-

ренней энергии, а ее изменение в различ-

ных термодинамических процессах. По-

этому начало отсчета внутренней энер-

гии может быть выбрано произвольно.

Например, в соответствии с международ-

ным соглашением для воды за нуль при-

нимается значение внутренней энергии

при температуре 0,01 °С и давление

610,8 Па, а для идеальных газов — при

0 °С вне зависимости от давления.

2.2.

РАБОТА РАСШИРЕНИЯ

Работа в термодинамике, так же как

и в механике, определяется произведени-

ем действующей на рабочее тело силы на

путь ее действия.

Рассмотрим газ массой М и объемом

V, заключенный в эластичную оболочку

Рис.

2.1. К определению работы расширения

с поверхностью F (рис. 2.1). Если газу

сообщить некоторое количество теплоты,

то он будет расширяться, совершая при

этом работу против внешнего давления

р,

оказываемого на него средой. Газ дей-

ствует на каждый элемент оболочки dF

с силой, равной pdF и, перемещая ее по

нормали к поверхности на расстояние dn,

совершает элементарную работу pdFdn.

Общую работу, совершенную в течение

бесконечно малого процесса, получим,

интегрируя данное выражение по всей

поверхности F оболочки ': oL =

p^dFdn.

Из рис. 2.1 видно, что изменение

объема dV выражается в виде интеграла

по поверхности: dV=^dFdn, следова-

тельно

6L = pdV. (2.3)

При конечном изменении объема работа

против сил внешнего давления, называе-

мая работой расширения, равна

L= \pdV. (2.4)

Из (2.3) следует, что 6L и dV всегда

имеют одинаковые знаки:

если dV>0, то и 6L>0, т.е. при

расширении работа тела положительна,

при этом тело само совершает работу;

если же dV<zO, то и 6L<0, т. е. при

сжатии работа тела отрицательна: это

означает, что не тело совершает работу,

а на его сжатие затрачивается работа

извне.

' Различие символов (6 и d) у бесконечно

малых величин 6L и dU связано с тем, что

величина 6L в отличие от dil не является

полным дифференциалом.

Единицей измерения работы в СИ яв-

ляется джоуль (Дж).

Отнеся работу расширения к 1 кг

массы рабочего тела, получим

t = L/M; Ы =

Ы/М

= pdV/M = pd(V/M)=pdv. (2.5)

Величина /, представляющая собой

удельную работу, совершаемую систе-

мой, содержащей 1 кг газа, равна

1--

^ pdv. (2.6)

Поскольку в общем случае р — вели-

чина переменная, то интегрирование воз-

можно лишь тогда, когда известен закон

изменения давления p = p(v).

Формулы (2.3) — (2.6) справедливы

только для равновесных процессов, при

которых давление рабочего тела равно

давлению окружающей среды.

В термодинамике для исследования

равновесных процессов широко исполь-

зуют р, ^-диаграмму, в которой осью аб-

сцисс служит удельный объем, а осью

ординат — давление. Поскольку состоя-

ние термодинамической системы опреде-

ляется двумя параметрами, то на р, у-ди-

аграмме оно изображается точкой. На

рис.

2.2 точка / соответствует начально-

му состоянию системы, точка 2 — конеч-

ному, а линия 12 — процессу расшире-

ния рабочего тела от v\ до v^.

При бесконечно малом изменении

объема dv площадь заштрихованной

вертикальной полоски равна pdv =

61;

Рис.

2.2. Графическое изображение работы

в р, о-координатах

следовательно, работа процесса 12 изо-

бражается площадью, ограниченной кри-

вой процесса, осью абсцисс и крайними

ординатами. Таким образом, работа из-

менения объема эквивалентна площади

под кривой процесса в диаграмме р, v.

Каждому пути перехода системы из

состояния / в состояние 2 (например, 12,

1а2 или 1Ь2) соответствует своя работа

расширения: 1\ы>

1\а2>

l\z- Следова-

тельно, работа зависит от характера

термодинамического процесса, а не явля-

ется функцией только исходного и ко-

нечного состояний системы. С другой

стороны, \pdv зависит от пути интегри-

рования и, следовательно, элементарная

работа 6/ не является полным диффе-

ренциалом и не может быть представле-

на соотношением, аналогичным (2.1).

Работа всегда связана с перемеще-

нием макроскопических тел в простран-

стве,

например перемещением поршня,

деформацией оболочки, поэтому она ха-

рактеризует упорядоченную (макрофизи-

ческую) форму передачи энергии от од-

ного тела к другому и является мерой

переданной энергии.

Поскольку величина 67 пропорцио-

нальна увеличению объема, то в качестве

рабочих тел, предназначенных для пре-

образования тепловой энергии в механи-

ческую, целесообразно выбирать такие,

которые обладают способностью значи-

тельно увеличивать свой объем. Этим

качеством обладают газы и пары жидко-

стей. Поэтому, например, на тепловых

электрических станциях рабочим телом

служат пары воды, а в двигателях внут-

реннего сгорания — газообразные про-

дукты сгорания того или иного топлива.

2.3.ТЕ

ПЛОТА

Помимо макрофизической формы пе-

редачи энергии — работы существует

также и микрофизическая, т. е. осуще-

ствляемая на молекулярном уровне фор-

ма обмена энергией между системой

и окружающей средой. В этом случае

энергия может быть передана системе

без совершения работы. Мерой количест-

ва энергии, переданной микрофизиче-

ским путем, служит теплота.

Теплота может передаваться либо

при непосредственном контакте между

телами (теплопроводностью, конвек-

цией),

либо на расстоянии (излучением),

причем во всех случаях этот процесс

возможен только при наличии разности

температур между телами.

Как будет показано ниже, элементар-

ное количество теплоты SQ, так же как

и 6L, не является полным дифференциа-

лом в отличие от дифференциала внут-

ренней энергии dU. За этой математиче-

ской символикой скрыт глубокий физиче-

ский смысл различия понятий внутрен-

ней энергии, теплоты и работы.

Внутренняя энергия — это свойство

самой системы, она характеризует состо-

яние системы. Теплота и работа — это

энергетические характеристики процес-

сов механического и теплового взаи-

модействий системы с окружающей

средой. Они характеризуют те количест-

ва энергии, которые переданы системе

или отданы ею через ее границы в опре-

деленном процессе.

2.4.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ

Первый закон термодинамики пред-

ставляет собой частный случай всеобще-

го закона сохранения и превращения

энергии применительно к тепловым явле-

ниям. В соответствии с уравнением Эйн-

штейна Е = шс

надо рассматривать

единый закон сохранения и превращения

массы и энергии. Однако в технической

термодинамике мы имеем дело со столь

малыми скоростями объекта, что дефект

массы равен нулю, и поэтому закон со-

хранения энергии можно рассматривать

независимо.

Закон сохранения и превращения

энергии является фундаментальным за-

коном природы, который получен на ос-

нове обобщения огромного количества

экспериментальных данных и применим

ко всем явлениям природы. Он утвер-

ждает, что энергия не исчезает и не воз-

никает вновь, она лишь переходит из

одной формы в другую, причем убыль

энергии одного вида дает эквивалентное

количество энергии другого вида.

В числе первых ученых, утверждав-

ших принцип сохранения материи и энер-

гии, был наш соотечественник М. В. Ло-

моносов

(1711

— 1765 гг.).

Пусть некоторому рабочему телу

с объемом V и массой М, имеющему тем-

пературу Т и давление р, сообщается из-

вне бесконечно малое количество тепло-

ты 6Q. В результате подвода теплоты

тело нагревается на dT и увеличивается

в объеме на dV.

Повышение температуры тела свиде-

тельствует об увеличении кинетической

энергии его частиц. Увеличение объема

тела приводит к изменению потенциаль-

ной энергии частиц. В результате внут-

ренняя энергия тела увеличивается на

dU. Поскольку рабочее тело окружено

средой, которая оказывает на него дав-

ление, то при расширении оно произво-

дит механическую работу 6Z. против сил

внешнего давления. Так как никаких

других изменений в системе не происхо-

дит, то по закону сохранения энергии

6Q = dU +

6L,

(2.7)

т. е. теплота, сообщаемая системе, идет

на приращение ее внутренней энергии

и на совершение внешней работы.

Полученное уравнение является ма-

тематическим выражением первого зако-

на термодинамики. Каждый из трех чле-

нов этого соотношения может быть поло-

жительным, отрицательным или равным

нулю.

Рассмотрим некоторые частные

случаи.

6Q = 0 — теплообмен системы с ок-

ружающей средой отсутствует, т. е. теп-

лота к системе не подводится и от нее не

отводится. Процесс без теплообмена на-

зывается адиабатным. Для него

уравнение (2.7) принимает вид

6L=—dU.

(2.8)

Следовательно, работа расширения,

совершаемая системой в адиабатном

процессе, равна уменьшению внутренней

энергии данной системы. При адиабат-

ном сжатии рабочего тела затрачивае-

мая извне работа целиком идет на увели-

чение внутренней энергии системы.

6L = 0—при этом объем тела не

изменяется, dV =

Такой процесс на-

зывается изохорным, для него

6Q = dU, (2.9)

т. е. количество теплоты, подведенное

к системе при постоянном объеме, равно

увеличению внутренней энергии данной

системы.

dU =

— внутренняя энергия

системы не изменяется и

6Q = oL, (2.10)

т. е. сообщаемая системе теплота пре-

вращается в эквивалентную ей внешнюю

работу.

Для системы, содержащей 1 кг рабо-

чего тела

bq = du + bl. (2.11)

Проинтегрировав уравнения (2.7)

и (2.11) для некоторого процесса, полу-

чим выражение первого закона термоди-

намики в интегральной форме:

Q = bU + L; q = Au + l, (2.12)

где Д£/=£/

— Ut,

Ды

И2

—

В|.

2.5.

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ

Отношение количества теплоты 6Q,

полученного телом при бесконечно малом

изменении его состояния, к связанному

с этим изменению температуры тела dT

называется теплоемкостью тела

в данном процессе: C =

bQ/dT.

Обычно теплоемкость относят к еди-

нице количества вещества и в зависимо-

сти от выбранной единицы различают:

удельную массовую теп-

лоемкость с, отнесенную к 1 кг газа,

Дж/(кг-К);

удельную объемную теп-

лоемкость с', отнесенную к количе-

ству газа, содержащегося в 1 м

объема

при нормальных физических условиях,

Дж/(м

.К);

удельную мольную тепло-

емкость цс, отнесенную к одному ки-

ломолю, Дж/(кмоль-К).

Зависимость между удельными теп-

лоемкостями устанавливается очевидны-

ми соотношениями:

с = цс/и,; с'=ср

. (2.13)

Здесь р

— плотность газа при нормаль-

ных условиях.

Изменение температуры тела при од-

ном и том же количестве сообщаемой

теплоты зависит от характера происходя-

щего при этом процесса, поэтому тепло-

емкость является функцией процесса. Это

означает, что одно и то же рабочее тело

в зависимости от процесса требует для

своего нагревания на 1 К различного ко-

личества теплоты. Численно величина

с изменяется в пределах от + оо до — оо.

В термодинамических расчетах боль-

шое значение имеют:

теплоемкость при посто-

янном давлении

/dT,

(2.14)

равная отношению количества теплоты

сообщенной телу в процессе при по-

стоянном давлении, к изменению

температуры тела dT;

теплоемкость при посто-

янном объеме

=6q„/dT,

(2.15)

равная отношению количества теплоты

подведенной к телу в процессе при

постоянном объеме, к изменению темпе-

ратуры тела dT.

В соответствии с первым законом

термодинамики для закрытых систем,

в которых протекают равновесные про-

цессы, bq = du->rpdv.

С учетом соотношения (2.1)

bq = (du/dT)

dT + [(du/dv)

+ p]dv.

(2.16)

Для изохорного процесса (v = const)

это уравнение принимает вид bq

= (du/dT)„dT, и, учитывая (2.15), по-

лучаем, что

=\du/dT)

, (2.17)

т. е. теплоемкость тела при постоянном

объеме равна частной производной от

его внутренней энергии по. температуре

и характеризует темп роста внутренней

энергии в изохорном процессе с увеличе-

нием температуры.

С учетом (2.2) для идеального газа

du/dT.

. (2.18)

Для изобарного процесса (р = const)

из уравнения (2.16) и (2.14) получаем

= (ди/дТЪ +

+ [(du/dv)

+ p](dv/dT)

или

= c

+[(du/dv), + p] (dv/dT)

. (2.19)

Это уравнение показывает связь

между теплоемкостями с

и c

. Для иде-

ального газа оно значительно упрощает-

ся.

Действительно, внутренняя энергия

идеального газа определяется только его

температурой и не зависит от объема,

поэтому (du/dv)r = 0 и, кроме того, из

уравнения состояния (1.3) следует

р (dv/dT)

= R, откуда

= c

+ R. (2.20)

Соотношение (2.20) называется

уравнением Майера и является одним из

основных в технической термодинамике

идеальных газов.

В процессе о = const теплота, сооб-

щаемая газу, идет лишь на изменение

его внутренней энергии, тогда как в про-

цессе р = const теплота расходуется и на

увеличение внутренней энергии и на со-

вершение работы против внешних сил.

Поэтому с

больше с на величину этой

работы.

Для реальных газов с

—

с„> R, по-

скольку при их расширении (при р =

= const) совершается работа не только

против внешних сил, но и против сил

притяжения, действующих между моле-

кулами, что вызывает дополнительный

расход теплоты.

Обычно теплоемкости определяются

экспериментально, но для многих ве-

ществ их можно рассчитать методами

статистической физики.

Числовое значение теплоемкости идеаль-

ного газа позволяет найти классическая тео-

рия теплоемкости, основанная

на

теореме

о равномерном распределении энергии

по

сте-

пеням свободы молекул. Согласно этой теоре-

ме внутренняя энергия идеального газа прямо

пропорциональна числу степеней свободы

мо-

лекул

энергии

kT/2,

приходящейся

на

одну

степень свободы.

Для 1

моля газа

где No

—

число Авогадро;

i —

число степеней

свободы (число независимых координат,

ко-

торые нужно задать

для

того, чтобы полно-

стью определить положение молекулы

про-

странстве)

Молекула одноатомного газа имеет

три

степени свободы соответственно трем состав-

ляющим

направлении координатных осей,

на

которые может быть разложено поступатель-

ное движение. Молекула двухатомного газа

имеет пять степеней свободы,

так как

помимо

поступательного движения

она

может вра-

щаться около двух осей, перпендикулярных

линии, соединяющей атомы (энергия враще-

ния вокруг

оси,

соединяющей атомы, равна

нулю,

если атомы считать точками). Молекула

трехатомного

вообще многоатомного газа

имеет шесть степеней свободы:

три

поступа-

тельных

и три

вращательных.

Поскольку

для

идеального газа |лс

= dU

/dT

='/21ц/?,

то

мольные теплоемкости

одно-,

двух-

многоатомных газов равны

со-

ответственно:

и,с

/2ц/?=

12,5 кДж/(кмоль-К);

цс

ц#=20,8 кДж/ (кмоль

•

К); цс„

\iR =

= 24,9 кДж/(кмоль-К).

Результаты классической теории теплоем-

кости достаточно хорошо согласуются

экспе-

риментальными данными

области комнатных

температур (табл. 2.1), однако основной

вы-

вод

независимости

от

температуры экспери-

мент

не

подтверждает. Расхождения, особенно

существенные

области низких

достаточно

высоких температур, связаны

квантовым

по-

ведением молекул

находят объяснения

в рамках квантовой теории теплоемкости.

Эта теория устанавливает прежде всего

несправедливость теоремы

равномерном

рас-

Таблица

2.1.

Теплоемкость некоторых

газов

при / =

0°С

идеально-газовом

состоянии

Газ

Число

степеней

свободы

Мольная

тепло-

емкость,

кДж

(кмоль-

К)

—

Со

1Су

Гелий

Не

3 12,60

1,660

Аргон

Аг

со

12,48 1,660

Кислород

Ог

20,96 1,397

Водород

5 20,30 1,410

Азот

5 20,80 1,400

Метан

СНц

6 26,42

1,315

Аммиак

NH3

6 26,67

1.313

Диоксид угле- 6 27,55 1,302

рода

СОг

пределении энергии по степени свободы в об-

ласти низких и высоких температур. С умень-

шением температуры газа происходит «вымо-

раживание» числа степеней свободы молеку-

лы.

Так, для двухатомной молекулы происхо-

дит «вымораживание» вращательных степеней

свободы и она вместо пяти имеет три степени

свободы,

а следовательно, и меньшую внут-

реннюю энергию и теплоемкость. С увеличени-

ем температуры у многоатомных молекул про-

исходит возбуждение внутренних степеней

свободы за счет возникновения колебательно-

го движения атомов молекулы (молекула ста-

новится осциллятором). Это приводит к увели-

чению внутренней энергии, а следовательно,

и теплоемкости с ростом температуры.

Теплоемкость реального газа зависит

от давления, правда, очень слабо.

Поскольку теплоемкость реального

газа зависит от температуры, в термоди-

намике различают истинную и среднюю

теплоемкости.

Средней теплоемкостью

Сер

данного процесса в интер-

вале температур от t\ до t

называется отношение количества тепло-

ты,

сообщаемой газу, к разности конеч-

ной и начальной температур:

%\Х=9ЯЧ-Ц-

(2-21)

поэтому

Выражение

c = 8q/dT (2.22)

определяет теплоемкость при данной

температуре или так называемую

истинную теплоемкость.

Из (2.22) следует, что

q=\cdt, (2.23)

Рис.

2.3. Зависимость истинной теплоемкости

от температуры

c,X\=\cdt/{t

-t,).

Для практических расчетов теплоем-

кости всех веществ сводят в таблицы,

причем с целью сокращения объема таб-

лиц средние теплоемкости приводят

в них для интервала температур от 0 до t.

Для уяснения методики определения сред-

ней теплоемкости по указанным таблицам вос-

пользуемся рис. 2.3. Заштрихованная пло-

щадь эквивалентна количеству теплоты q —

= ^ cdt, необходимому для нагревания 1 кг

рабочего тела от t\ до гг. Ее можно заменить

равновеликим прямоугольником с основанием

—1\ и высотой, численно равной средней

теплоемкости с

ср ч,

тогда

ср1<!('2-'.)-

Аналогично количества теплоты, необходимые

для нагрева 1 кг рабочего тела от 0 до t\ и от

О до t% равны соответственно q\ —

'г

и эквивалентны площадям 3/tiO

и 32/гО. Разность этих площадей дает заштри-

хованную площадь, следовательно, q = qi

ср

откуда

ср

*2 '

S.J О*.

'2-'.

(2.24)

Все изложенное относится также

к мольным и к объемным теплоемкостям.

2.6.

ЭНТАЛЬПИЯ

В термодинамике важную роль игра-

ет сумма внутренней энергии системы U

и произведения давления системы р на ее

объем V, называемая энтальпией

и обозначаемая Я:

H=U+pV.

(2.25)

Так как входящие в нее величины явля-

ются функциями состояния, то и сама

энтальпия является функцией состояния.

Также

как

внутренняя

энергия,

ра-

бота

теплота,

он

измеряется

джоу-

Энтальпия обладает свойством адди-

тивности. Величина

h = u + pv, (2.26)

называемая удельной энталь-

пией (п = Н/М), представляет собой

энтальпию системы, содержащей 1 кг ве-

щества, и измеряется в Дж/кг.

Поскольку энтальпия есть функция

состояния, то она может быть представ-

лена в виде функции двух любых пара-

метров состояния:

h =

{

(p,v);

fc=tfe(o,r);

= ф

(р,7),

а величина dh является полным диффе-

ренциалом.

Изменение энтальпии в любом про-

цессе определяется только начальным

и конечным состояниями тела и не за-

висит от характера процесса.

Физический смысл энтальпии выяс-

ним на следующем примере. Рассмотрим

расширенную систему, включающую газ

в цилиндре и поршень с грузом общим

весом G (рис. 2.4). Энергия этой системы

складывается из внутренней энергии га-

за и потенциальной энергии поршня

с грузом в поле внешних сил: £={/-+-

-{-Gy. В условиях равновесия (G=pF)

эту функцию можно выразить через па-

раметры газа: E=U -\-pFy=U

-\-pV.

Получаем, что Е = Н, т. е. энтальпию

можно трактовать как энергию расши-

ренной системы.

Уравнение (2.11) bq = du+pdv

в случае, когда единственным видом ра-

боты является работа расширения, с уче-

том очевидного соотношения pdv =

= d(pv)—vdp может быть записано

в виде bq = d (u + pv) — vdp, или

bq = dh — vdp. (2.27)

Из этого соотношения следует, что

если давление системы сохраняется не-

изменным, т. е. осуществляется изобар-

ный процесс (dp =

0),

то

6q„

= dh (2.28)

= h

-h

, (2.29)

т. е. теплота, подведенная к системе при

постоянном давлении, идет только на из-

менение энтальпии данной системы.

Это выражение очень часто исполь-

зуется в расчетах, так как огромное ко-

личество процессов подвода теплоты

в теплоэнергетике (в паровых котлах,

камерах сгорания газовых турбин и ре-

активных двигателей, теплообменных ап-

паратах), а также целый ряд процессов

химической технологии и многих других

осуществляется при постоянном давле-

нии.

Кстати, по этой причине в таблицах

термодинамических свойств обычно при-

водятся значения энтальпии, а не внут-

ренней энергии.

Для идеального газа с учетом (2.18)

и (1.3) получим

dh = du + d (pv) = c

dT+RdT =

=(c

+ R)dT =

dT.

(2.30)

Так как между энтальпией и внутрен-

ней энергией существует связь (2.26),

выбор начала отсчета одной из них не

произволен: в точке, принятой за начало

отсчета внутренней энергии, h = pv. На-

пример, для воды при

= 0,01 °С и р =

= 610,8 Па,

= 0, а

= ри = 610,8Х

Х0.001 =0,611 Дж/кг.

При расчетах практический интерес

представляет изменение энтальпии в ко-

нечном процессе:

bh = h

—

=\c

dT.

(2.31)

• 1

с. 2.4. К определению физического смысла

альпии

Контрольные вопросы и задачи

2.1.

1 л воды нагревается с помощью

электрического кипятильника мощностью

300 Вт. За какое время вода нагреется до

температуры кипения, если теплообмен с окру-

жающей средой отсутствует, а начальная тем-

пература воды равна 20 °С?

2.2. Найти среднюю удельную теплоем-

кость азота в интервале температур 1000—

№

2000 °С, если известно, что в интервале темпе-

ратур 0—2000 °С она равна 1,19 кДж/(кг-К),

а в интервале температур 0—1000 °С—

1,12кДж/(кг-К).

2.3.

Стальной брус высотой 2 м и сечением

100 см

находится под нагрузкой 100 т. Надо

ли учитывать работу расширения при расчете

теплоты на нагрев бруса от 0 до 200 °С? Плот-

ность стали 7,8 г/см , коэффициент линейного

расширения 0,000013 м/К, удельная теплоем-

кость стали 0,46 кДж/(кг-К).

2.4. Какая доля теплоты, подведенной

к 1 кг кислорода в изобарном процессе, за-

трачивается на изменение внутренней энергии?

Глава

третья

ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

3.1.

ЭНТРОПИЯ

Как уже указывалось, величина bq =

= du-\-pdv не является полным диффе-

ренциалом. Действительно, для того что-

бы проинтегрировать правую часть этого

выражения, нужно знать зависимость

р от v, т. е. процесс, который соверша-

ет газ.

В математике доказывается, что диф-

ференциальный двучлен всегда можно

превратить в полный дифференциал пу-

тем умножения (или деления) на интег-

рирующий множитель (или делитель).

Таким интегрирующим делителем для

элементарного количества теплоты bq

является абсолютная температура Т.

Покажем это на примере изменения

параметров идеального газа в равновес-

ных процессах:

Ьд _ c

dT + pdv _ dT dv

Т ~ Т ~

" Т v '

(3.1)

Выражение bq/T при равновесном

изменении состояния газа есть полный

дифференциал некоторой функции состо-

яния. Она называется энтропией

обозначается для 1 кг газа через s и из-

меряется в Дж/(кг-К). Для произволь-

ного количества газа энтропия, обозна-

чаемая через S, равна S = Ms и измеря-

ется в Дж/К.

Термин энтропия был введен Р. Клаузиу-

сом в 1865 г.

Таким образом, аналитически энтро-

пия определяется^л£д^и^щим образом:

fds

bqirj

(3.2)

Формула (3.2) справедлива как для

идеальных газов, так и для реальных тел.

Подобно любой другой функции со-

стояния энтропия может быть представ-

лена в виде функции любых двух пара-

метров состояния:

s =

£,

(р, v); s = l

(р, Т); s = |

(v, Т).

Значение энтропии для заданного со-

стояния определяется интегрированием

уравнения (3.2):

где so — константа интегрирования.

При температурах, близких к абсо-

лютному нулю, все известные вещества

находятся в конденсированном состоя-

нии. В. Нернст (1906 г.) эксперименталь-

но установил, а М. Планк (1912 г.) окон-

чательно сформулировал следующий

принцип: при температуре, стремящейся

к абсолютному нулю, энтропия вещества,

находящегося в конденсированном со-

стоянии с упорядоченной кристалличе-

ской структурой, стремится к нулю,

xje.

so=.0 при

= 0 К- Этот закон на-

зывают третьим законом

термодинамики или тепловой тео-

ремой Нернста. Он позволяет рассчитать

абсолютное значение энтропии в отли-

чие от внутренней энергии и энтальпии,

которые всегда отсчитываются от про-

извольного уровня.

Однако в технической термодинамике

обычно используется не абсолютное зна-

чение энтропии, а ее изменение в каком-

либо процессе:

As = s

—

s, =

bq/T, (3.3)

поэтому энтропию тоже часто отсчитыва-

ют от произвольно выбранного уровня.

Получим формулы, позволяющие вы-

числить изменение энтропии идеального

газа. Для этого проинтегрируем уравне-

ние (3.1), положив для простоты

с„

= const:

—

s, =с„ In (Г

/Г,) + /? In (и

/»,).

(3.4)

Из уравнения Клапейрона, записан-

ного для состояний 1 и 2, следует:

/Т

{

[

;

= T

После подстановки отношений

/Ti

и v

в выражение (3.4) получим сле-

дующие формулы для изменения энтро-

пии идеального газа:

-s,=c

1п(Г

/Г,)—« 1п(р

/р,);

(3.5)

—

s,=c„

In (р

/р,) + с

ln(w

/o,).

(3.6)

Поскольку энтропия есть функция со-

стояния рабочего тела, уравнениями

(3.4) — (3.6) можно пользоваться вне

зависимости от пути перехода рабочего

тела между состояниями 1 и 2 и,

в частности, от того, равновесный этот

переход или нет.

Рис.

3.1. Графическое изображение теплоты в

Т, s-координатах

Понятие энтропии позволяет ввести

чрезвычайно удобную для термодинами-

ческих расчетов Т, s-диаграмму, на кото-

рой (как и на р, и-диаграмме) состояние

термодинамической системы изобража-

ется точкой, а равновесный термодина-

мический процесс линией (рис. 3.1).

Из уравнения (3.2) следует, что

в равновесном процессе

bq = Tds; (3.7)

q=^Tds. (3.8)

Очевидно, что в Т, s-диаграмме эле-

ментарная теплота процесса bq изобра-

жается элементарной площадкой с высо-

той Т и основанием ds, а площадь, огра-

ниченная линией процесса, крайними

ординатами и осью абсцисс, эквивалент-

на теплоте процесса.

Формула (3.7) показывает, что ds

и bq имеют одинаковые знаки, следова-

тельно, по характеру изменения энтропии

в равновесном процессе можно судить

о том, в каком направлении происходит

теплообмен. При подводе теплоты к телу

(6<7>0) его энтропия возрастает (ds>

0),

а при отводе теплоты (bq < 0) —

убывает (ds<0).

3.2. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА

ВТОРОГО ЗАКОНА

Из первого закона термодинамики

следует, что взаимное превращение теп-

ловой и механической энергии в двигате-

ле должно осуществляться в строго экви-

валентных количествах. Двигатель, кото-

рый позволял бы получать работу без

энергетических затрат, называется веч-

ным двигателем первого ро-

д а. Ясно, что такой двигатель невоз-

можен, ибо он противоречит первому за-

кону термодинамики. Поэтому первый

закон можно сформулировать в виде сле-

дующего утверждения: вечный двигатель

первого рода невозможен.

В 1755 г. французская Академия наук

«раз и навсегда» объявила, что не будет

больше принимать на рассмотрение ка-

кие-либо проекты вечных двигателей.