Аюпов Р.К. Анализ рисков и управление рисками в логистике
Подождите немного. Документ загружается.
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 31
рисков устраивает склонного к риску ЛПР, конкретизировавшего свое отношение к риску через
соответствующий индивидуальный коэффициент .
Необходимо отметить, что при изменении единиц измерения корректируются и значения
соответствующих коэффициентов, определяющих окончательный вид функций выбора. В
примере 2.1. при измерении доходов не в тыс. тг., а в тг. имеем, в частности, k
s
= (m
4
– m
3
) / (σ
4
2
–
σ
3
2
)= (60000 – 40000) / (90000
2
– 70000
2
)=0,00000625. Таким образом учитывается переход к
другим единицам измерения.
2.2 Графическое представление альтернатив в пространстве «Доход -риск»
Для более глубокого понимания проблемы сравнения альтернатив в условиях риска удобно
представить их как набор точек в двухмерном декартовом пространстве. При этом каждой
альтернативе с известными ее параметрами математическим ожиданием дохода (m) и
среднеквадратическим отклонением дохода (σ) соответствует точка с координатами (m,σ) в
указанном пространстве (далее пространство «Доход -риск»).
Предположим, имеются три альтернативы A
1
(m
1
,σ
1
), A
2
(m
2
,σ
2
), A
3
(m
3
,σ
3
), которые графически в
пространстве «Доход - риск» представлены на рис 2.1 (при допущении m
3
<m
1
<m
2
и
σ
1
<σ
2
<σ
3
).
Для сравнения данных альтернатив необходимо формализовать отношение ЛПР к риску при
помощи аппарата линий уровня, суть которого раскрыта ниже.
Как видно на рис. 2.1., при нейтральном отношении к риску наиболее предпочтительной для
ЛПР является альтернатива A
2
(m
2
,σ
2
) как имеющая наибольшее значение среднеожидаемого
дохода.
σ
1
σ
m
1
Рис. 2.1. Графическое представление альтернатив A
1
, A
2
, A
3
в пространстве
«Доход – Риск».
Средний
ожидаемый
доход
m
Среднеквадратическое
отклонение дохода (риск)
A
3
(m
3
,σ
3
)
A
1
(m
1
,σ
1
)
A
2
(m
2
,σ
2
)
m
3
m
2
σ
2
σ
3
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 32
Допустим, отношение ЛПР к риску осторожное. В таком случае функция выбора имеет вид f
s
(m,
σ) = m – k
s
·σ
2
и необходимо определить соответствующий коэффициент осторожности (k
s
). Для
этого ЛПР указывает некоторую альтернативу A
1
*
(m
а
,σ
а
), эквивалентную A
1
(m
1
,σ
1
) (см. рис.
2.2.). Отсюда получаем:
k
s
= (m
1
– m
а
) / (σ
1
2
– σ
а
2
).
Зафиксировав значение функции f
s
(m,σ) при заданном k
s
, можно получить множество точек,
представляющих в пространстве «Доход – Риск» эквивалентные друг другу альтернативы.
Действительно, полагая:
f
s
(m
1
, σ
1
) = m
1
– k
s
·σ
1
2
= K
1
=> m
i
= K
1
+ k
s
·σ
i
2
,
где (m
i
, σ
i
) координаты i-той точки, представляющей эквивалентную A
1
альтернативу. Перебирая
значения σ
i
с заданным шагом (пусть, например, σ
0
=0, σ
1
=1 и т.д.) получаем достаточное
количество значений m
i
, необходимых для построения кривой, отражающей множество
альтернатив, эквивалентных A
1
(m
1
,σ
1
). Такая кривая представлена на рис. 2.2. Заметим, что при
σ
i
= 0 получаем:
σ
0
= 0 => m
0
= K
1
+ k
s
·σ
0
2
= K
1
+ k
s
·0
2
= K
1
=> K
1
= m
0
Таким образом, удобно идентифицировать такую кривую как линию уровня K
1
, причем K
1
= m
0
. Форма кривой предопределена функцией m = K
1
+ k
s
·σ
2
как m = f(σ), при положительных K
1
и k
s
это парабола с ветвями вверх. При этом точка A
1
*
(m
0
,0) отражает «безрисковую»
альтернативу, поскольку величина риска в этой точке нулевая.
σ
1
σ
m
1
Рис. 5.2. Графическое представление альтернатив, эквивалентных
A
1
, в пространстве «Доход – Риск».
Средний
ожидаемый
доход
m
Среднеквадратическое
отклонение дохода
(риск)
A
1
*
(m
а
,σ
а
)
A
1
(m
1
,σ
1
)
A
1
*
(m
0
,0)
m
0
σ
2
σ
1
A
1
*
(m
b
,σ
b
)
m
b
m
a
0
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 33
Под линией уровня K понимается геометрическое место точек в пространстве «Доход – Риск»,
эквивалентных определенной «безрисковой» альтернативе с заданным значением дохода (K =
m
0
). При построении соответствующего семейства линий уровня, форма которых характеризует
отношение к риску, сравнение альтернатив происходит удобнее и очевиднее на основе аппарата
линий уровня.
Построение линии уровня, проходящей через точку A
1
***
(m
c
,σ
1
) требует построения функции m =
K
1а
+ k
s
·σ
2
, где K
1а
= m
с
– k
s
·σ
1
2
. Таким образом, удобно получить все необходимые кривые любых
уровней от 0 до наивысшего.
На рис. 2.3 видно, что на линии уровня m
0
расположены точки A
1
*
(m
0
,0), A
1
*
(m
а
,σ
а
),
A
1
*
(m
b
,σ
b
)
,
эквивалентные исходной точке A
1
(m
1
,σ
1
). При этом для ЛПР наиболее
предпочтительными являются точки, лежащие на более высоких линиях уровня, на которых
расположены точки, представляющие альтернативы с бóльшими значениями функции выбора.
При выраженном отношении к риску на рис. 2.3 также видно, что при фиксированном σ
1
любая
точка ниже A
1
(m
1
,σ
1
) является менее предпочтительной для ЛПР и, соответственно, любая точка,
расположенная выше, будет более предпочтительной, поскольку лежит на линии более высокого
уровня. В частности, точка A
1
**
(m
0
,σ
1
) однозначно менее предпочтительна, чем A
1
(m
1
,σ
1
),
поскольку лежит на линии уровня 0. Точка A
1
***
(m
c
,σ
1
) более предпочтительна для ЛПР, чем
A
1
(m
1
,σ
1
), так как лежит на линии уровня m
1
> m
0
.
σ
b
σ
m
1
Рис. 2.3. Графическое представление линий уровня в
пространстве «Доход – Риск».
Средний
ожидаемый
доход
m
Среднеквадратическое
отклонение дохода
(риск)
A
1
*
(m
а
,σ
а
)
A
1
(m
1
,σ
1
)
A
1
*
(m
0
,0)
m
0
m
c
σ
а
σ
1
A
1
**
(m
0
,σ
1
)
A
1
**
*
(m
c
,σ
1
)
A
1
*
(m
b
,σ
b
)
m
b
m
a
0
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 34
Очевидно также, что все точки, лежащие на прямой m
= m
0
на рис. 2.3 будут заведомо менее
предпочтительны, чем «безрисковая» A
1
*
(m
0
,0), поскольку будут иметь ненулевой риск при
сохранении среднеожидаемого дохода на прежнем уровне. Для того, чтобы достичь
эквивалентности с «безрисковой» альтернативой, для каждой точки прямой m
= m
0
необходимо
такое увеличение среднеожидаемого дохода альтернативы, которое бы компенсировало
принимаемый риск. В частности, для точки A
1
**
(m
0
,σ
1
) потребуется увеличение
среднеожидаемого дохода на величину m
1
– m
0
, чтобы стать эквивалентной точке A
1
*
(m
0
,0) при
заданном отношении к риску.
Вернемся к задаче сравнения трех альтернатив A
1
(m
1
,σ
1
), A
2
(m
2
,σ
2
), A
3
(m
3
,σ
3
). Зная выраженное
отношение к риску , в пространстве «Доход – Риск» графически определяемое функцией m = K+
k
s
·σ
2
при k
s
= (m
1
– m
а
) / (σ
1
2
– σ
а
2
) (см. рис. 2.2.), построим эти кривые через интересующие нас
точки. Полагаем, что для точки A
1
(m
1
,σ
1
) K = K
1
= m
1
– k
s
·σ
1
2
= m
0
, для точки A
2
(m
2
,σ
2
) K = K
2
=
m
2
– k
s
·σ
2
2
= m
2а
, для точки A
3
(m
3
,σ
3
) K = K
3
= m
3
– k
s
·σ
3
2
= m
3а
.
Таким образом, из рис. 2.4 следует, что на основе аппарате линий уровня при осторожном
отношении ЛПР к риску с коэффициентом индивидуальной осторожности k
s
наиболее
предпочтительной является точка A
2
(m
2
,σ
2
) как лежащая на линии уровня m
2а
> m
0
> m
3а.
При склонности к риску функция выбора имеет вид f
s
(m, σ) = m + k
r
·σ
2
, что определяет и форму
соответствующих линий уровня m = K – k
r
·σ
2
. При этом, если, допустим, ЛПР сочтет
альтернативы A
2
(m
2
,σ
2
) и A
3
(m
3
,σ
3
) эквивалентными, то представляющие их точки будут лежать
на одной линии уровня m
1b
, как показано на рис. 2.5.
σ
1
σ
m
1
Рис. 2.4. Сравнение альтернатив A
1
, A
2
, A
3
при осторожном отношении
к риску в пространстве «Доход – Риск».
Средний
ожидаемый
доход
m
Среднеквадратическое
отклонение дохода (риск)
A
3
(m
3
,σ
3
)
A
1
(m
1
,σ
1
)
A
2
(m
2
,σ
2
)
m
3
m
2
σ
2
σ
3
m
3
а
m
0
m
2
а
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 35
При этом, как видно на рис.2.5., наиболее предпочтительной окажется точка A
2
(m
2
,σ
2
) как
лежащая на наивысшей линии уровня. Однако, рассуждения в общем виде дают лишь общую
схему решения задачи выбора наилучшей альтернативы при заданном отношении к риску,
определяющем форму линий уровня. В каждом случае решения и их точные графические
представления зависят от конкретных значений параметров рассматриваемых альтернатив.
Пример 2.2 В условиях примера 2.1. требуется выбрать наилучшую среди семи альтернатив с
использованием аппарата линий уровня.
Представим на рис. 2.6. рассматриваемые альтернативы А
1
(40,50), А
2
(50,40), А
3
(40,70),
А
4
(60,90), А
5
(50,60), А
6
(30,30), А
7
(40,20) в пространстве «Доход – Риск».
σ
1
σ
m
1
Рис. 2.5. Сравнение альтернатив A
1
, A
2
, A
3
при склонности к риску в
пространстве «Доход – Риск».
Средний
ожидаемый
доход
m
Среднеквадратическое
отклонение дохода (риск)
A
3
(m
3
,σ
3
)
A
1
(m
1
,σ
1
)
A
2
(m
2
,σ
2
)
m
3
m
2
σ
2
σ
3
m
1b
m
2b
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 36
Как с очевидностью следует из рис 2.6., при нейтральном отношении к риску наилучшей
является альтернатива А
4
(60,90), поскольку имеет наибольшее значение среднеожидаемого
дохода.
При осторожном отношении к риску, как известно из примера 2.1., ЛПР счел
эквивалентными А
3
(40,70) и А
4
(60,90), при этом коэффициент индивидуальной осторожности
составил k
s
=0,00625. Соответственно, была получена функция выбора f
s
(m, σ) = m –0,00625·σ
2
.
Построим линию уровня, на которой будут лежать точки А
3
(40,70) и А
4
(60,90) как
эквивалентные друг другу. Найдем значения K
3
и K
4
:
f
s
(m
3
, σ
3
) = f
s
(m
3
, σ
3
) => K
3
= 40 –0,00625·70
2
= K
4
= 60–0,00625·90
2
=9,375
Искомая кривая описывается функцией m = 9,375+ 0,00625·σ
2
.
Зная значения функций
выбора из табл. 2.2., которые совпадают со значениями уровней линий, проходящих через
остальные точки, легко построить семейство линий уровня при осторожном отношении к риску
данного ЛПР. Имея f
s
(m
1
, σ
1
)= 24,375; f
s
(m
2
, σ
2
)= 40; f
s
(m
5
, σ
5
)= 27,5; f
s
(m
6
, σ
6
)= 24,375; f
s
(m
7
, σ
7
)=
37,5; получаем функции: m = 24,375 + 0,00625·σ
2
; m = 40 + 0,00625·σ
2
; m = 27,5 + 0,00625·σ
2
; m =
24,375 + 0,00625·σ
2
; m = 37,5 + 0,00625·σ
2
. Линии уровня, построенные с использованием этих
функций, представлены на рис. 2.7.
А
3
А
4
А
1
А
5
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
Рис. 2.6. Графическое представление альтернатив A
1
– A
7
, в пространстве
«Доход – Риск».
А
2
m
σ
70
80
90
Средний
ожидаемый
доход
Среднеквадратическое
отклонение дохода (риск)
50
А
6
А
7
60
70
80
90
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 37
Как видно на рис.2.7., наилучшей при таком отношении к риску является альтернатива
А
2
(50,40) как лежащая на наивысшей из построенных линии уровня 40.
При склонности к риску на основании мнения ЛПР в примере 2.1. А
2
(50,40) и А
3
(40,70)
признаны эквивалентными, склонность к риску определена соответствующим коэффициентом
k
r
=0,00303. Функция выбора при этом найдена как f
r
(m, σ) = m +0,00303·σ
2
.
Линии уровня
описываются функцией вида m = К- 0,00303·σ
2
Аналогично построим линии уровня для всех рассматриваемых точек на основе значений
функций выбора в табл. 2.3. при склонности к риску данного ЛПР. Имея f
s
(m
1
, σ
1
)= 47,576; f
s
(m
2
,
σ
2
)= f
s
(m
3
, σ
3
)= 54,848; f
s
(m
4
, σ
4
)= 84,545; f
s
(m
5
, σ
5
)= 60,909; f
s
(m
6
, σ
6
)= 32,727; f
s
(m
7
, σ
7
)= 41,212;
получаем функции: m = 47,576 - 0,00303·σ
2
; m = 54,848 - 0,00303·σ
2
; m = 54,848 - 0,00303·σ
2
; m =
84,545 - 0,00303·σ
2
; m = 60,909 - 0,00303·σ
2
; m = 32,727 - 0,00303·σ
2
; m = 41,212 - 0,00303·σ
2
.
Линии уровня, построенные с использованием этих функций, представлены на рис. 2.8.
А
3
А
4
А
1
А
5
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
1
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
Рис. 2.7. Сравнение альтернатив A
1
– A
7
при осторожном отношении
к риску в пространстве Доход – Риск».
А
2
m
σ
7
0
8
0
9
0
Средний
ожидаемый
доход
Среднеквадратическое
отклонение дохода (риск)
5
0
А
6
А
7
6
0
7
0
8
0
9
0
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 38
Как следует из рис.2.8., наиболее предпочтительной для ЛПР при такой склонности к риску
является альтернатива А
4
(60,90), поскольку она принадлежит наивысшей из построенных линии
уровня 84,545.
Графическое представление альтернатив в пространстве «Доход – Риск» имеет существенные
преимущества для ЛПР. Во-первых, линия определенного уровня ясно показывает
геометрическое месторасположение всех теоретически допустимых альтернатив, эквивалентных
заданной. Это позволяет более широко оценивать ситуацию, принимая во внимание возможные
варианты любого решения при различных сочетаниях доходов потерь при сохранении их
эквивалентности при заданном отношении к риску. Во-вторых, каждой альтернативе наглядно
поставлен в соответствие ее безрисковый эквивалент, что позволяет оценивать снижение
ожидаемого дохода при сведении принимаемых рисков к нулю.
А
3
А
4
А
1
А
5
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
Рис. 2.8. Сравнение альтернатив A
1
– A
7
при склонности к риску в
пространстве «Доход – Риск».
А
2
m
σ
70
80
90
Средний
ожидаемый
доход
Среднеквадратическое
отклонение дохода (риск)
50
А
6
А
7
60
70
80
90
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 39
Глава 3
Сравнение альтернатив в условиях риска на основе
дерева решений
3.1 Аналитическое описание метода дерева решений
Как правило, на практике ЛПР имеет дело не с набором
альтернатив, для которых уже известны их параметры, а с
постановкой задачи в условиях риска, заданной на
содержательном уровне и нуждающейся в формализации.
При этом требуется формализовать не только сами
альтернативы, но и различные сочетания доходов и потерь
при реализации определенных случайных событий, не
зависящих от ЛПР. Иными словами, содержание задачи включает в себя структуру
взаимосвязанных между собой альтернатив и последующих случайных событий, которую
необходимо описать формально для нахождения наилучшего решения при заданном отношении
ЛПР к риску.
Такая формализация и структуризация задачи и поиск наиболее предпочтительной для ЛПР
альтернативы с учетом его отношения к риску может быть реализовано на основе метода дерева
решений. Данный метод позволяет синтезировать имеющиеся альтернативы и случайные
события с учетом их параметров и представить их структуру в виде графа специального вида,
называемого деревом решений (то есть граф без циклов). Развернутая графически и
конкретизированная численными значениями параметров структура задачи позволяет
использовать критерии выбора наилучшей альтернативы, соответствующие выраженному ЛПР
отношению к риску, с использованием процедур свертки и блокировки.
Процедура построения дерева решений на основе постановки задачи на содержательном уровне
требует разграничения доступных ЛПР альтернатив и предполагаемых случайных событий,
сопутствующих каждой из них в процессе развития рассматриваемой ситуации. Альтернативы
зависят от ЛПР и должны быть ясно сформулированы как на содержательном уровне, так и
формально с указанием параметров и конкретных изменений их значений при выборе той или
иной альтернативы. Случайные события не зависят от ЛПР и должны быть сформулированы как
полная группа событий с известными вероятностями их наступления.
Граф состоит из вершин и соединяющих их ребер и построен таким образом, что от его
начальной вершины существует набор цепей соединений, каждая из которых характеризует
определенную траекторию развития рассматриваемого процесса, приводящую к концевой
вершине, которая отражает экономический результат такой траектории. Различают вершины
прямоугольного и круглого типов.
Вершина прямоугольного типа отражает необходимость выбора непосредственно самим ЛПР из
некоторого класса альтернатив (например, выбор транспорта). Ребра, исходящие из такой
вершины, отражают возможности такого выбора в виде определенных альтернатив (например,
морской транспорт и т.д.). При этом альтернативы могут быть представлены с указанием
конкретных значений параметров, значимых для расчетов при реализации такой траектории
развития процесса.
Риск-менеджмент в логистике. 2011г. Страница 40
Вершина круглого типа представляет собой определенный фактор, воздействие которого на
рассматриваемый процесс случайно и не зависит от ЛПР. Исходящие из такой вершины ребра
обозначают набор рассматриваемых случайных сценариев, влияющих на конечный
экономический результат, вероятности реализации которых должны быть известны.
Каждая траектория приводит к конечной вершине, которая может быть представлена как
конкретное числовое значение экономического результата либо как его случайная величина с
известным законом распределения.
Рассмотрим некоторое дерево, состоящее из одной вершины прямоугольного типа, двух вершин
круглого типа и четырех концевых вершин, структура которого представлена на рис 3.1.
Как видно на рис. 3.1., исходящие из прямоугольной вершины ребра оканчиваются
одинаковыми по структуре вершинами круглого типа, имеющими по две концевые вершины.
Такая идентичность связана с тем, что при реализации каждой из двух альтернатив класса А
необходимо каждый раз учитывать воздействие фактора типа Т, имеющего две реализации. При
этом конкретные значения концевых вершин будут различны.
Процедура параметризации дерева решений подразумевает соотнесение параметров
альтернатив и случайных сценариев исходной задачи с соответствующими вершинами и ребрами
построенного графа.
Рис. 3.1. Структура дерева решений.
Выбор из
альтернатив
класса А
Фактор
Т
Фактор
Т