Глава 3. Аналитическая геометрия
92
y
T T
1
M
O
1
P
1
X
O K P x
Рис. 3.33
3.6. Преобразование системы координат.
3.6.1. Параллельный перенос осей
Задача преобразования системы координат состоит в том, чтобы, зная
координаты точки в одной системе координат, найти её координаты в дру-
гой системе.
Рассмотрим случай, когда новая система координат отличается от
прежней только местонахождением начала координат, направление же осей
остаётся неизменным.
Пусть имеем две прямоугольные системы
хОу
и ХО
1
Y, где О(0, 0), О
1
(х
0
, у
0
) (рис. 3.33). Возьмём
произвольную точку плоскости. Её координаты (
х,
у) – в старой системе координат, (Х, Y) – в новой
системе координат.
Найдём связь между этими числами, спроек-
тировав точку
М на каждую из осей:
ОР = х, ОK = x
0
, O
1
P
1
= X, x = x
0
+ X;
OT = y, O
1
T
1
= Y, KO
1
= y
0
, y = y
0
+ Y.
Итак, координаты точки М в новой системе координат выражаются че-
рез координаты старой системы по формулам
⎩
⎨
⎧
−=
−=
,
,
0
0
yyY
xxX
(3.30)
где
х
0
, у
0
– координаты начала новой системы,
х, у – координаты точки в старой системе координат.
3.6.2. Поворот системы координат
Пусть теперь две системы координат имеют общее начало О(0, 0), но
система
ХОY повёрнута на угол ϕ относительно системы хОу (рис. 3.34).
Найдём связь координат точки
М в системах хОу и
ХОY, если ОР = х, РМ = у, ОР
1
= Х, МР
1
= Y.
Рассмотрим подобные треугольники с взаимно
перпендикулярными сторонами (Δ
ОР
1
В ∼ ΔСМР
1
):
∠
СМР
1
=
∠
Р
1
ОВ =
ϕ
,
OP = OB – BP = OB
−
CP
1
= OP
1
cos
ϕ
–
−
MP
1
sin
ϕ
= Xcos
ϕ
– Ysin
ϕ
,
MP = PC + CM = P
1
B + CM = OP
1
sin
ϕ
+
y M
Y
ϕ
X
C P
1
ϕ
O P B x
Рис. 3.34