Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

Основы оценки сложных систем 131

мы по одному показателю ведет к понижению качества по дру-

гому, такая постановка бьша признана некорректной для боль-

шинства практически важных приложений.

самом деле, пусть

система передачи информации оценивается по двум показате-

лям:

пропускной способности

у^

достоверности передачи дан-

ных д'2- Известно, что повышение достоверности передачи

данных связано с использованием служебной информации (ал-

горитмы восстановления после сбоев, помехоустойчивое коди-

рование и т.д.), которая приводит к снижению пропускной спо-

собности системы передачи. Поэтому некорректно форму-

лировать задачу одновременного повышения качества по обоим

показателям.

Таким образом, наличие неоднородных связей между отдель-

ными показателями сложных систем приводит

к проблеме

коррек-

тности критерия превосходства

к необходимости идти на ком-

промисс и выбирать для каждой характеристики не оптимальное

значение, а меньшее, но такое, при котором и другие показатели

тоже будут иметь приемлемые значения.

Для решения

проблемы корректности критерия превосходства

были разработаны методы количественной оценки систем:

• методы теории полезности;

• методы векторной оптимизации;

• методы ситуационного управления, инженерии знаний.

Методы теории полезности

основаны на аксиоматическом

использовании отношения предпочтения множества векторных

оценок систем.

Методы векторной оптимизации

базируются на эвристичес-

ком использовании понятия векторного критерия качества сис-

тем

(многокритериальные задачи)

и включают методы главного

критерия, лексикографической оптимизации, последовательных

уступок,

скаляризации, человеко-машинные

и другие

методы.

При

решении задач векторной оптимизации векторный (многокомпо-

нентный) критерий эффективности, выраженный через показате-

ли исходов операции, заменяют скалярным на основе какой-либо

функции свертки.

Методы ситуационного

управления,

инженерии знаний

осно-

ваны на построении семиотических моделей оценки систем. В

таких моделях система предпочтений ЛПР формализуется в виде

132 Глава 2

набора логических правил, по которым может быть осуществлен

выбор альтернатив. При этом понятие векторного критерия в

явном виде не используется.

Рассмотрение указанных подходов в системном анализе ос-

новано на трех важных особенностях.

Во-первых, считается, что не существует системы, наилучшей

в независящем от ЛПР смысле. Всегда система может быть наи-

лучшей лишь для данного ЛПР. Другое ЛПР в данных условиях

может предпочесть альтернативную систему.

Во-вторых, считается, что не существует оптимальной систе-

мы для всех целей и воздействий внешней среды. Система может

быть эффективной только для конкретной цели и в конкретных

условиях. В других условиях и для других целей система может

быть неэффективной. Например, конверсия танков в интересах

сельского хозяйства показала, что эта техника по сравнению с

тракторами неэффективна по показателям ресурсоемкости.

В-третьих, методы исследования операций (линейное, нели-

нейное, динамическое программирование и др.) не удовлетворя-

ют требованиям, предъявляемым к задачам оценивания сложных

организационных систем, поскольку вид целевой функции или

неизвестен, или не задан аналитически, или для нее отсутствуют

средства решения.

Общность подходов состоит в том, что оценивание систем по

критериям производится с помощью шкал. Как и в случае исполь-

зования измерений, под А:-мерной шкалой понимается гомомор-

физм эмпирической системы с отношениями в числовую систему

R'^

отношениями, где R^ =(-», + оо) множество всех действи-

тельных чисел. Образы элементов эмпирической системы назы-

ваются шкальными значениями или для рассматриваемого слу-

чая оценками по критерию.

Пусть 5, множество оценок по /-му критерию, А системы,

рассматриваемые как альтернативы. Тогда множеством вектор-

ных оценок альтернатив называется множество

S = S, Sj ... S,,

а процесс присвоения векторных оценок альтернативам (оцени-

вание альтернатив) описывается отображением ф.' А

—^

Основы оценки сложных систем 133

2.5.1.

ОЦЕНКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ

При аксиоматическом подходе к оценке систем на основе те-

ории полезности используется метод свертывания векторного

критерия в скалярный. Отличие данного подхода от других со-

стоит в том, что свертывание производится на основе аксиома-

тизации предпочтений ЛПР. Естественные отношения порядка

на шкальных значениях критериев здесь не используются, так как

все компоненты векторного критерия на основе предпочтений

ЛПР преобразуются (в общем случае нелинейно) в функции по-

лезности компонентов

лишь затем осуществляется свертывание.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффек-

тивности предназначен для выявления порядка предпочтений на

альтернативах (исходах операции), что позволяет обеспечить

обоснованный выбор решения.

Выявить формально отношение предпочтения или безразли-

чия непосредственным сравнением альтернатив затруднительно:

показатели исходов операции многочисленны, имеют разный

физический смысл и разные шкалы измерений (стоимость изго-

товления, численность обслуживающего персонала, коэффици-

ент технической готовности, пропускная способность, вероят-

ность вскрытия направления связи при передаче сообщений

и т.п.).

Было бы очень удобно иметь для оценки исходов какую-то

единую меру что-то вроде денег. Однако деньги тоже не высту-

пают универсальной мерой ценности. С помощью их не все мож-

но оценивать (репутацию, настроение и т.д.). Кроме того, они

обеспечивают измерение по равномерной шкале (100 руб. в пять

раз ценнее, чем 20 руб.). Вместе с тем известно, что иногда цен-

ность денежной суммы возрастает непропорционально ее вели-

чине. Поскольку в нашей практике нет универсальной меры, об-

ладающей физическим смыслом и позволяющей соизмерить ис-

ходы операций по неравномерной шкале, а потребность в ней

существует, то остается одно ввести какую-то искусственную

меру. Такая мера определяется через полезность альтернатив (ис-

ходов). Большинство людей используют сравнительно простой

подход к оценке альтернатив упорядочение их по возрастанию

134

Глава 2

полезности от наименее полезных до наиболее полезных. Свое

отношение к альтернативам люди могут выразить и количествен-

но,

приписав каждому исходу некоторое

число,

определяющее его

относительную предпочтительность. Например, наименее полез-

ный исход может быть отражен числом 1, следующий числом 2

и т.д., до наиболее полезного исхода.

Таким образом, полезность исхода операции это действи-

тельное число, приписываемое исходу операции и характеризу-

ющее его предпочтительность по сравнению с другими альтер-

нативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезнос-

ти,

можно построить функцию полезности, которая дает основу

для сравнения и выбора рещений. Функция полезности представ-

ляет собой числовую ограниченную функцию

F(a),

определенную

на множестве альтернатив А - {о^}, fc = 1, 2, ... , /, так, что

Да,.) = Да.), когда альтернативы а,- и а неразличимы (а,. ~ а),

т.е.

нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому исходу, и

F(a^) > ¥{а^), когда альтернатива а, предпочтительнее альтерна-

тивы

o-Acii

>- а), как это, например, показано на рис. 2.8.

Д4)

Д2)=ДЗ)

1 2 3 4 5 а*

Рис.

2.8. Функция полезности

Основы оценки сложных систем 135

Возникает вопрос, можно ли с математической точки зрения

доказать существование функции полезности в виде отображе-

ния упорядоченного множества альтернатив А в множество дей-

ствительных чисел

(р:

А -* R^, обеспечив тем самым естественное

упорядочение всех альтернатив. В теории полезности доказыва-

ется, что при вполне естественных допущениях относительно

предпочтений ЛПР такая функция существует. Предпочтения

ЛПР формулируются в виде аксиом. Поскольку системы пред-

почтений у разных ЛПР могут различаться, то разные аксиома-

тики приводят к различным видам свертки и, следовательно, фун-

кция полезности не единственна. Причина заключается в том, что

отсутствуют определения нулевой полезности, единицы полезно-

сти и щкалы полезности (можно произвольно выбирать нуль, еди-

ницу и шкалы измерения полезности альтернатив).

Рассмотрим основные аксиомы теории полезности.

Аксиома 1. Измеримость. Каждому альтернативному ис-

ходу

может быть поставлено в соответствие неотрицательное

действительное число

/?,-,

рассматриваемое как мера относитель-

ной полезности исхода а,-, / = 1,..., и,

<Р;< 1.

Аксиома 2.

Сравнимость.

Любые два исхода (альтернати-

вы)

а-

и а- сравнимы: либо один исход предпочтительнее другого,

либо исходы одинаково предпочтительны (эквивалентны). Дру-

гими словами, при сравнении двух альтернатив

а^

и а- возможен

один из трех выводов: предпочтительнее альтернатива а,; между

альтернативами а,- и а нет предпочтительности; предпочтитель-

нее альтернатива а,. Аксиома основана на допущении: на мно-

жестве альтернатив существует совершенное, рефлексивное и

транзитивное отношение слабого предпочтения у . Рефлектив-

ность и транзитивность понимаются в обычном смысле, а совер-

шенным называется отношение, для которого истинно следую-

щее высказывание:

(Va,, fljs

{^})(ai

>- ог'^^г >- ^i)-

Заметим, что если одновременно истинны два высказывания:

^1 />~

<22

^ ^2

)>~

^1'

то между а, и aj имеет место отношение безразличия: а, ~

AJ-

Если же aj у

истинно, а ^2

^i ложно, то имеет место отно-

шение строгого предпочтения:

а^

Oj-

136 Глава 2

Аксиома 3.

Транзитивность.

Соотношения предпочтения

и эквивалентности исходов транзитивны. Если исход

предпоч-

тительнее исхода

, а исход

предпочтительнее исхода а^ , то

исход а,- тоже предпочтительнее исхода а^. Аналогично, если ис-

ход

а-

эквивалентен исходу а , а исход а эквивалентен исходу а^,

то исходы а, и а^ тоже эквивалентны.

Аксиома 4.

Коммутативность.

Предпочтение исхода

а^

ис-

ходу а

•

не зависит от порядка, в котором они названы и представ-

лены.

Аксиома 5. Независимость. Если исход

а-

предпочтитель-

нее исхода й и, кроме того, существует исход а^^, который не оце-

нивается относительно исходов

а^

и а , то смесь исходов а, и а^

предпочтительнее смеси исходов а

•

и а^. (Под смесью исходов а^

и а^ понимается исход, заключающийся в появлении одного из

них с некоторой вероятностью, например исхода а^ с вероятнос-

тью/?,

а исхода а^ с дополнительной вероятностью \-р.) Иначе

говоря, предполагается, что отношение безразличия (предпочте-

ния) между двумя альтернативами не нарушается наличием

третьего:

(VO],

а^ {(й, ~ flj) => {\f

а^){уp&{Q,

1))

[{р,

Й,;

{\-р). а^) ~

~(р,

а^: {\-р), а^]}.

Согласно теории полезности при выполнении в реальной за-

даче оценки систем всех пяти аксиом существует функция полез-

ности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив

с точностью до монотонного строго возрастающего линейного

преобразования, иначе полезность измеряется в шкале интерва-

лов.

Важно подчеркнуть, что функция полезности характеризует

лишь относительную, а не абсолютную предпочтительность аль-

тернатив. Так, если F{a^ = 2, а

F{a2)

= 1, отнюдь не следует, что

альтернатива

Й,

всегда в два раза или на единицу предпочтитель-

нее альтернативы

Й2.

Стоит произвести линейное преобразование

функции полезности, и эти значения оценок будут уже другими.

В зависимости от типа показателей исходов операции функ-

ция полезности может быть либо непрерывной, либо дискретной.

Функцию полезности называют прямой, если, чем больше значе-

ние показателя исхода операции, тем он полезнее, и обратной,

если, чем больше значение показателя исхода операции, тем ме-

нее он полезен.

Основы оценки сложных систем 137

Функция полезности является универсальным и весьма удоб-

ным средством математического выражения предпочтений на

множестве исходов операции.

Процедура определения функции полезности включает три

основных этапа: выявление показателей исходов операции, оп-

ределение множества допустимых исходов операции и определе-

ние показателей полезности исходов операции.

Определение полезности как меры оценки того или иного ис-

хода операции представляет сложную задачу, точные методы ре-

шения которой пока не найдены. Все известные способы опреде-

ления функции полезности носят приближенный характер и стро-

ятся на основе анализа влияния исходов исследуемой операции

на операцию более высокого уровня иерархии, экспертных оце-

нок и аппроксимации.

Анализ влияния исходов исследуемой операции на операцию

более высокого уровня иерархии основывается на моделирова-

нии и предполагает включение системы, с помощью которой

реализуется исследуемая операция, как элемента в систему на

один уровень выще и рассмотрение влияния на ее функциони-

рование исходов исследуемой операции. Показатель исхода ис-

следуемой операции будет выступать одним из управляемых

параметров, описывающих вышестоящую операцию. В резуль-

тате должна быть получена некоторая зависимость эффектив-

ности функционирования вышестоящей системы от интересу-

ющего нас показателя, которая и принимается в качестве фун-

кции полезности для исходов исследуемой операции. Так,

чтобы найти значения полезности на исходах операции по пе-

редаче команд в сети оповещения, необходимо рассмотреть всю

операцию перевода системы управления в повышенные степе-

ни боевой готовности. Если удастся определить, как влияет

время оповещения на вероятность приведения системы в тре-

буемую степень боевой готовности, то полученная функция

будет функцией полезности.

Достоинство способа относительно высокая объектив-

ность. Субъективные моменты в оценку полезности хотя и вно-

сятся, но не прямо, как при других способах, а косвенным обра-

зом (через построение модели операции, которую выполняет

вышестоящая

система).

Основной

же

недостаток состоит в труд-

ностях реализации.

138 Глава 2

Переход к системам и операциям более высокого уровня, ес-

тественно, сопровождается повышением сложности их анализа.

Поэтому для оценки рещений в условиях дефицита времени этот

способ вряд ли может быть рекомендован. К нему прибегают

преимущественно при предварительном исследовании операций,

особенно тех, которые имеют вспомогательное назначение.

Способы определения функции полезности с использовани-

ем методов экспертных оценок предполагают, что практический

опыт и знания людей трудно заменить дедуктивными построени-

ями формального характера. В силу этого способам на эксперт-

ной основе присущи известные преимущества по сравнению с

другими и они интенсивно развиваются.

При любом способе выполнения экспертизы в ней можно вы-

делить следующие основные этапы:

• упорядочение множества исходов операции по их предпоч-

тительности (flj

)>.

>-... >- а„);

• определение полезности каждого исхода F{a^), проверка

полученных оценок на непротиворечивость путем сравнения оце-

нок предпочтительности показателей полезности исходов;

• устранение противоречий в оценках путем корректировки

или варианта упорядочения исходов либо показателей полезнос-

ти,

либо того и другого вместе.

Определение функции полезности на основе аппроксимации

заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкрет-

ной операции отыскиваются характерные точки, соответствую-

щие,

например, экстремумам функции полезности, а неизвестные

значения между ними определяются некоторой известной зави-

симостью. Вид аппроксимации выбирается на основе имеющих-

ся сведений или качественных соображений о показателях полез-

ности исходов. На практике могут применяться многоступенча-

тая и другие сложные аппроксимации функций полезности.

Наиболее простыми аппроксимациями являются одноступенча-

тое,

косинусоидальное и треугольное представление функций по-

лезности (рис. 2.9).

Одноступенчатое представление функции полезности (ли-

ния 1) может быть приемлемым для операций, в которых показа-

телем исхода является срок выполнения работ, например подго-

товка презентации в ситуационном центре. В этом случае под

исходами А понимается фактическое время готовности компью-

Основы оценки сложных систем

139

F{au)

Рис.

2.9.

Представление аппроксимации полезности:

- одноступенчатое;

- косинусоидальное;

- треугольное

терной системы презентации к работе, время начала презента-

ции

OQ-

характерная точка. Очевидно, что полезность системы

при а,-<

равна

при

a^)^

она равна 0.

Косинусоидальное и треугольное представления функции

полезности (линии 2 и 3) могут быть приемлемы для операций, в

которых показателем исхода является интервал времени, напри-

мер подготовка системы телеконференции в локальной сети. Ус-

тановленное время готовности

а^.

Включение системы в работу

ранее установленного срока может привести к ограничению про-

пускной способности сети для других приложений. При задерж-

ке готовности растет вероятность того, что отдельные пользова-

тели откажутся от участия в телеконференции. Минимально и

максимально допустимые значения времени готовности равны

соответственно а^^ и

а^^^.

Совместно с

а^

( a^i„

а^< a^J эти

величины представляют характерные точки. В зависимости от

предпочтений ЛПР функция полезности может быть представле-

на либо отрезком косинусоиды, либо треугольником, построен-

ным по этим точкам.

140 Глава 2

2.5.2.

ОЦЕНКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Оценивание систем в условиях определенности производится

с использованием методов векторной оптимизации с помощью

шкал.

Пусть К={кр к2, •••, kj)~векторный критерий, представляю-

щий собой отображение

К:

—>

R'; К(а) - векторная оценка аль-

тернативы аеА; R' - шкала, числовая система при условии, что

- множество всех действительных чисел. Тогда общая задача

векторной оптимизации может быть сформулирована следующим

образом:

К{а) ^

opt

К(а)^ (2.3)

аеА

где opt - оператор оптимизации, определяющий семантику оптимальности.

Решением задачи (2.3) является множество

<aeA.a

opt К(а)

аеА

Вследствие того, что, как правило, множество D пусто, оцен-

ка сложных систем в условиях определенности на основе мето-

дов векторной оптимизации проводится в три этапа.

На первом этапе с использованием системного анализа опре-

деляются частные показатели и критерии эффективности. На вто-

ром этапе находится множество Парето формулируется задача

многокритериальной оптимизации в форме

(2.3).

На третьем этапе

задача (2.3) решается путем скаляризации критериев устране-.

ния многокритериальности.

Принцип Парето. Постановка задачи оптимизации как поиск

решения по критерию превосходства хотя и была признана не-

корректной, но помогла сформулировать понятие множества

Парето как подмножество А* множества альтернатив

v4.

Множе-

ство А* задается свойством его элементов

i\/а S А) (За*е А*)

(К(а*) >

К{а)).

(2.4)

Смысл выражения (2.4) определяет принцип Парето, который

состоит в следующем. Множество Парето А

(переговорное мно-