Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов

Подождите немного. Документ загружается.

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 51

кN

== (3.5)

где

– отношение напряжений обмотки высшего и низшего напряже-

ний (коэффициент трансформации), или иначе

0.10.2

ЕкЕ

(3.6)

Связь между э.д.с.

1.0

первичной обмотки и магнитным пото-

ком определяется соотношением

,22

01010.1 СТ

SBNfФNЕ ⋅⋅π=ω= (3.7)

где

СТ

- активное сечение стержня магнитопровода.

Поскольку обычно задается максимальная индукция в магни-

топроводе при номинальном напряжении

ТлB 7,1

≈

могут варьиро-

ваться величины

и S

cТ

, причем таким образом, что их произведение

сохраняется неизменным

0.1

const

СТ

= (3.8)

При заданном (известном) числе витков

сечение магнито-

провода равно

СТ

(3.9)

При выводе формулы (3.4) предполагалось, что магнитопро-

вод однороден с магнитной проницаемостью μ. В действительности

стержни и ярма магнитопровода собираются из пакетов листов элек-

тротехнической стали, которые состыковываются в так называемых

«углах» (см. выше). При состыковке этих элементов неизбежны зазоры

с диэлектрической постоянной μ

. Для учета этого обстоятельства пе-

репишем формулу (3.4) в виде

0010.1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

lll

cmмcm

СТ

СТм

BВ

SВRФNI

(3.10)

где

– магнитное сопротивление магнитному потоку, S

СТ

– активное

сечение стали сердечника, ℓ

– средняя длина магнитного потока в

магнитопроводе (без стыков), ℓ

– длина стыков.

Суммарная длина стыков на пути магнитного потока может

достигать 1 мм. При длине пути магнитного потока в магнитопроводе

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 52

порядка нескольких метров добавочный член в (скобках) в формуле

(3.10) имеет порядок

ст

101

4000

⋅

≈⋅

−

Следовательно, магнитное сопротивление стыков сравнимо с магнит-

ным сопротивлением всего магнитопровода и им нельзя пренебрегать.

Из (3.10) определяем индуктивную составляющую тока холо-

стого хода трансформатора

0.1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(3.11)

откуда следует, что ток холостого хода трансформатора пропорциона-

лен средней длине пути магнитного потока и магнитной индукции в

магнитопроводе и обратно - пропорционален числу витков магнито-

провода. Что касается учета влияния стыков, то оно может быть наи-

более точно определено в опыте холостого хода трансформатора по

измеренному значению тока I

1.0

и известным величинам BB

, ℓ

, μ, μ

Совместное решение двух уравнений (3.7) и (3.10) позволяет

определить связь между током и напряжением в режиме холостого

хода трансформатора.

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

0.1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅μ⋅π

СТ

SNf

(3.12)

где х

1.0

– индуктивное сопротивление трансформатора на холостом

ходу. Поскольку при заданном напряжении произведение N

СТ

=const

(см. формулу (3.7)), индуктивное сопротивление трансформатора про-

порционально числу витков N

и обратно – пропорционально длине

пути магнитного потока в магнитопроводе.

Активная составляющая тока холостого хода определяется

потерями в стали и меди.

Активное сопротивление трансформатора в режиме холостого

хода определяется в основном потерями в стали ΔР

, поскольку потери

на нагрев проводов при малом токе холостого хода пренебрежимо ма-

лы,

0.1

(3.13)

Следовательно, отношение активного и индуктивного сопро-

тивлений трансформатора на холостом ходу равно

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 53

)14.3(,2,0

105,0

101,0

101,0101,0

0.1

0.10.1

.10.1

0.10.1

0.1

⋅

≈

⋅

≈

⋅

≤

−

−−

ЕI

ном

номном

поскольку для мощных трансформаторов (Р

ном

101,0

−

⋅≤Δ

ном

0.1

105,0

−

⋅≈

0101 ..

UE ≈

ном

–

номинальная мощность трансформатора) и

( - номинальный ток первичной обмотки трансформатора) и

. Следовательно, полное сопротивление трансформатора в

режиме холостого хода

ном.

0.1

0.10.1

02,12,01 xxrxz ≈+=+=

,arctg

802090

≈−=ϕ

мало отличается от его индуктивного сопротивления. Однако из-за

активного сопротивления цепи ток холостого хода отстает по фазе от

напряжения не на 90°, а на меньший угол (см. рис.3.2)

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

0.1

-E

E =

ис. 3.2. Эквивалентная схема (а) и векторная

диаграмма (б) двухобмоточного повышающего

трансформатора на холостом ходу (I

=0)

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 54

Таким образом, сдвиг по фазе э.д.с. Е

и напряжения на пер-

вичной обмотке составляет 170°, а абсолютные величины Е

и U

1.0

практически одинаковы

,,E

xIrxIzIU

.......

0211

0101

0101010101

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=+==

т.е. различие находится в пределах точности измерений.

Энергия магнитного поля трансформатора в режиме холостого

хода с учетом непрерывности магнитного потока в магнитопроводе

равна

()

)15.3(11

10.1

000

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈+=

μμμ

СТ

cmссcmcmcmм

NISS

VНВVHBW

где - объем магнитопровода,

⋅= l

СТм

cmСТcm

SV l

⋅

- объем

стыков, причем в последнем выражении В

подставлено из (3.2).

Соответственно мощность магнитного поля трансформатора в

режиме холостого хода (на одну фазу) равна

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

()

)16.3(.1

10.1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

μ⋅ω

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=ω=

μμ

СТ

NIS

()

номзк

.1...1

15,010,0 ÷=

Из формулы (3.16) следует, что мощность магнитного поля

трансформатора в магнитопроводе (его реактивная мощность в режиме

холостого хода) пропорциональна объему магнитопровода и квадрату

индукции в нем, а также возрастает при увеличении объема стыков.

В опыте короткого замыкания к первичной обмотке транс-

форматора прикладывается такое напряжение, чтобы ток во вторичной

обмотке был равен номинальному току. Это напряжение называется

напряжением короткого замыкания трансформатора. Как правило, для

двухобмоточных силовых трансформаторов оно составляет от десяти

до пятнадцати процентов от номинального напряжения:

Поскольку в опыте короткого замыкания вторичной обмотки

трансформатора напряжение на ней равно нулю, магнитный поток,

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 55

охватывающий одновременно все витки обеих обмоток, отсутствует

(см. рис.3.3).

)

макс

)

ис. 3.3. Распределение магнитного потока двухобмо-

точного повышающего трансформатора в режиме опыта

короткого замыкания

Соответственно отсутствует и ток намагничивания. В первич-

ной и вторичной обмотках протекают токи противоположного направ-

ления, соотношение между которыми аналогично соотношению на-

пряжений в опыте холостого хода

,NINI

2211

−

(3.17)

поскольку создаваемые ими магнито-движущие силы равны по вели-

чине и противоположны по знаку.

Создаваемый м.д.с. вторичной (внешней) обмотки встречный

магнитный поток (по отношению к потоку, создаваемому первичной

обмоткой) ликвидирует поток в боковых ярмах и прилегающих к ним

участках основных ярем. В результате магнитный поток меняет путь и

замыкается по межобмоточному пространству в области, ограничен-

ной наружной поверхностью внешней обмотки ВН и внутренней по-

верхностью внутренней обмотки НН (см. рис. 3.3).

По выходе из области расположения обмоток в обычных кон-

струкциях трансформаторов часть (около половины) магнитного пото-

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 56

ка направляется в ярма (и замыкается по боковым ярмам), а другая

часть пронизывает конструктивные элементы трансформатора: стяж-

ные балки ярем, бак трансформатора и т.п. (см. рис. 2.11).

Это обстоятельство послужило основанием к введению термина, опре-

деляющего магнитный поток в опыте к.з., - поток рассеяния. Некото-

рые производители принимают меры для улавливания потока рассея-

ния по выходе из зоны расположения обмоток, особенно при изготов-

лении трансформаторов большой единичной мощности.

Для этой цели применяются специальные (приярменные) маг-

нитные шунты, направляющие большую часть магнитного потока в

ярма. Для упрощения анализа в дальнейшем будет использована имен-

но такая конструкция трансформатора.

В рассматриваемом случае опыта короткого замыкания на-

пряженность магнитного поля максимальна в межобмоточном про-

странстве, а в пределах расположения обмоток уменьшается от макси-

мального значения до нуля (см.рис.3.3). В межобмоточном простран-

стве напряженность магнитного поля равна

NIН

ном.мах 11

= ,

(3.18)

где ℓ

– высота окна магнитопровода.

Соответственно магнитная индукция в межобмоточном про-

странстве равна

NIНВ

ном.максмакс 11

=μ=

. (3.19)

Магнитный поток в межобмоточном пространстве

12123.

adВSВФ

максмаксобм

(3.20)

где а

– ширина зазора между обмотками, d

-его средний диаметр.

В зоне внутренней (первичной) обмотки магнитная индукция

изменяется согласно рис. 3.3

(

)

25,0

11212

aadr

ВВ

макс

−−−

(3.21)

где r – радиус окружности внутри обмотки, а

– ширина первичной

обмотки.

Магнитный поток во внутренней (первичной) обмотке равен

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 57

()

(

)

()

22.3.

25,0

11212

5,0

25,0

11212

1212

11212

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−π=

−−−

π=

∫

−

−−

aadB

rdr

aadr

ВФ

макс

aad

максоб

В зоне внешней (вторичной) обмотки магнитная индукция

уменьшается

(

)

25,0

21212

raad

ВВ

макс

−++

(3.23)

где а

– ширина вторичной обмотки.

Магнитный поток в этой зоне равен

(

)

()

24.3.

25,0

21212

25,0

5,0

21212

1212

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++π=

−++

π=

∫

aad

rdr

raad

ВФ

макс

аad

максоб

Суммарный поток во всех трех зонах согласно (3.17), (3.20),

(3.22), (3.24) равен

(

)

()

25.3,

1.1

1212

экном

макс

SNI

aaa

adВФ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+π=

где эквивалентное поперечное сечение магнитного потока равно

()

(

)

1212

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+π=

aaa

adS

эк

(3.26)

Это сечение S

эк

меньше реального сечения согласно рис.3.3,

поскольку согласно (3.25) оно предполагает одинаковую индукцию

макс

во всем сечении.

Энергия магнитного потока в межобмоточном пространстве

согласно (3.18), (3.19) равна

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

()

adNIVНВ

ном.об.ммаксмаксоб.м 1212

π .W

(3.27)

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 58

Энергия магнитного поля в зоне расположения внутренней

(первичной) обмотки с учетом (3.19) , (3.21) равна

() ()

()

(

)

()

[]

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

()

() ()

28.3,

25,0

12121

.11

5,0

25,0

11212

5,0

1.2.

1212

11212

1212

11212

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

πμ

−−−

=⋅=

∫

−

−−

−

−−

adаIN

rdr

aadr

dVrHrBW

ном

аd

aad

макс

аd

aad

обоб

где

drrdV

об 01.

2 l

⋅

⋅π= .

Энергия магнитного поля в зоне расположения внешней (вто-

ричной) обмотки равна

(

() ()

()

)

()

[]

()

() ()

29.3,

25,0

12122

.11

25,0

5,0

21212

25,0

5,0

2.1.

21212

1212

21212

1212

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πμ

−++

=⋅=

∫

adаIN

rdr

raad

dVrHrBW

ном

aаd

макс

aаd

обоб

где drrdV

об 02.

2 l

⋅

⋅π= .

Суммарная энергия магнитного потока трансформатора в ре-

жиме опыта к.з. равна

()

30.3,

.110

1212

.110

2.1.....

эф

ном

обобобмзкм

aaa

WWWW

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πμ

=++=

где эффективное сечение магнитного потока

() ()

31.3,

1212

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+π=

aaa

adS

эф

меньше эквивалентного его сечения согласно (3.26) поскольку магнит-

ный поток в зоне расположения обмоток неполностью сцепляется со

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 59

всеми витками обмоток. Иными словами часть магнитного потока не

участвует в индуктировании э.д.с. в обмотках трансформатора.

Мощность магнитного поля трансформатора в режиме опыта

к.з.

()

1212

.11

......

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πωμ

≈ω=

adINWQ

номзкмзкм

(3.32)

Отношение мощностей магнитного поля трансформатора в режиме

опыта его короткого замыкания и холостого хода согласно (3.16) и

(3.32) равно

0.1

1212

...

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+π

≈

ном

СТ

зкм

(3.33)

Для мощных трансформаторов ток холостого хода составляет

не более 0,5% от номинального тока, отношение

1212

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+π

СТ

; отношение

≈

; отношение

3000

≈μμ , отношение

60001

≈

. При этих данных отноше-

ние

0....

≈

мзкм

QQ .

В номинальном режиме работы трансформатора (при номи-

нальном напряжении и номинальном токе) ток намагничивания созда-

ет поток в магнитопроводе, охватывающий все витки обеих обмоток, а

номинальный ток нагрузки создает магнитный поток такой же по ве-

личине, как в опыте короткого замыкания, отличающийся лишь по

фазе, поскольку ток нагрузки никогда не бывает чисто-индуктивным,

как в опыте короткого замыкания. Следовательно, энергия магнитного

поля трансформатора сосредоточена в области расположения обмоток.

Это означает, что основную роль в передаче электроэнергии от одной

обмотки к другой играет магнитный поток вне магнитопровода. По-

этому магнитный поток, создаваемый током нагрузки следует назы-

вать рабочим магнитным потоком. И только часть этого потока, кото-

рую не удается уловить с помощью магнитных шунтов, проникающую

в конструктивные элементы трансформатора, можно называть потоком

рассеяния. Отсюда следует важный вывод о целесообразности канали-

зации рабочего магнитного потока, создания для него канала с мини-

мальными препятствиями, обеспечивающего минимальное добавочное

магнитное сопротивление после выхода из зоны расположения обмо-

ток.

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

Александров Г.Н. Режимы работы трансформаторов. 60

Связь между энергией магнитного поля трансформатора в ре-

жиме опыта короткого замыкания и номинальным током определяется

соотношением

1 ном..з.к.з.к.м

ILW =

. (3.34)

Приравнивая выражения (3.31) и (3.34) для энергии магнитно-

го поля трансформатора в режиме опыта короткого замыкания получа-

ем формулу для индуктивности трансформатора в режиме опыта к.з.

()

35.3.

1212

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πμ

≈

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πμ

≈

aaa

эф

зк

Соответственно индуктивное сопротивление трансформатора

в режиме опыта к.з. равно

НОУ “Центр подготовки кадров энергетики” www.cpk-energo.ru

Санкт-Петербург (812) 556-91-85

()

36.3.

1212

.....1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πωμ

≈

ωμ

=ω=

эфзкзк

Отношение индуктивных сопротивлений трансформатора в

режимах опытов холостого хода и к.з. согласно (3.12) и (3.36)

000

0.1

..1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

СТ

эф

зк

(3.37)

Поскольку

3; ll

≈

СТэф

отношение ≈

0.1

..1

зк

.105,1

−

⋅≈≈

Т.е. индуктивное сопротивление трансформатора на

холостом ходу на три порядка больше, чем в режиме опыта короткого

замыкания.

Для оценки активного сопротивления трансформатора в опыте

к.з. воспользуемся тем обстоятельством, что потери в трансформато-

рах в этом режиме не превышают 0,5% их номинальной мощности,

т.е.

,005,0

.1.1...1

.1 номномзкном

IUrI ⋅≤

откуда

()

,033,005,0005,0

005,0

...1...1

к.з.1

...1 зкзк

ном

зк

r ÷=≈≤

т.к. отношение

15010

,,UU

ном..з.к.

для мощных трансформаторов.