Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование

Подождите немного. Документ загружается.

Логически ясно (это видно из графика, рис. 7.2), что точно такова же, как

вероятность неурожая больше, чем на 2S(t) от тренда вниз, так и вероятность

высокого урожая больше, чем на 2S(t) от тренда вверх. И с таким

«сверхурожаем» тоже может быть связан коммерческий риск - риск сильного

падения цены на товар.

Если же распределение колебаний по их величине далеко от

нормального, а закон распределения вообще неизвестен, приближенную оценку

вероятностей риска возникновения больших отклонений от тренда можно

получить на основе эмпирических частостей таких отклонений. Для этого,

конечно, необходим достаточно длинный временной ряд. Нельзя на основе

данных за 5-6 лет предсказывать вероятность отклонения, случающегося в

среднем раз в 20-25 лет. Методику эмпирической оценки возможности крупных

отклонений покажем на условном примере, приведенном в табл. 7.6.

Таблица 7.6

Оценка вероятности отклонений от тренда при неизвестном законе их

распределения

Отклонения от

тренда, %

Частота

Частость

∑

Трехкратная

ошибка

Предельная

частость

Ниже

более чем на 20 3 0,06 0,10 0,16

от 20 до 10 7 0,14 0,15 0,29

от 0 до 10 12 0,24 0,18 0,42

Выше

от 0 до 10 5 0,10 0,13 0,23

от 10 до 20 14 0,28 0,19 0,47

от 20 до 30 7 0,14 0,15 0,29

более чем на 30 2 0,04 0,08 0,12

Итого 50 1,00 - -

Средняя ошибка репрезентативности выборочной доли (частости), как

известно, равна:

Вычислив средние ошибки всех частостей, умножаем их на 2 и получаем

вероятные ошибки приблизительно с вероятностью 0,95 или на 3 и тогда

получаем приблизительно с вероятностью 0,995. Так как распределение не

является нормальным, лучше для гарантии взять трехкратную среднюю ошибку

частости и сделать вывод о возможной частости отклонения от тренда на

указанный процент по величине этой частости плюс трехкратная средняя

ошибка.

Таким образом, крайне маловероятно, что отклонение вниз от тренда

более чем на 20% встретится чаще, чем 16 раз за 100 рассматриваемых

периодов (это могут быть и годы, и месяцы, и другие отрезки времени в

исходном ряду). Вероятность отклонения от тренда вверх более чем на 30%,

наверняка, не превысит 0,12, или 12 раз за 100 интервалов времени. Напомним,

что расчет этот сделан с большим запасом осторожности ввиду неизвестности

закона распределения и не очень большого объема выборки (числа уровней в

исходном ряду).

В заключение рассмотрим задачу о сравнении двух значений показателей

колеблемости, которая тоже требует вероятностной оценки. Задача связана с

мониторингом колебаний; при этом весьма важно следить за тем, чтобы

прогресс агротехники приводил к уменьшению величины колебаний хотя бы

той же урожайности. Для того чтобы определить, надежно ли изменение

величины S(t) в сравнении с прошлым периодом (например, десятилетием),

нужно проверить нулевую гипотезу о случайном различии величин S(t)

базисного периода и S(t)

-текущего периода. Для решения задачи о различии

двух или более дисперсий (т.е. S(t)

) применяется критерий Бартлетта. Он

основан на том, что если сравниваемые величины равны, то их арифметическая

средняя (взвешенная или простая) равна их геометрической средней, а если

величины различаются, то чем больше они различаются, тем больше и различие

между арифметической и геометрической средними.

Взвешенная арифметическая средняя дисперсия равна:

где k - число дисперсий;

- их веса, число уровней в подпериодах.

Взвешенная геометрическая средняя:

Критерий Бартлетта имеет вид:

его средняя ошибка:

Отношение М/С имеет распределение

(хи-квадрат) с числом степеней

свободы k - 1.

При сравнении двух дисперсий и равном числе уровней в каждом

подпериоде (средние будут невзвешенные) формулы упрощаются:

Например, сравним силу колебаний урожайности зерновых культур во

Франции (см. гл. 5 и 6) за первые 11 лет (1970-1980 гг.) и за последние 11 лет

(1985-1995 гг.):

М/С = 4,57. Табличное значение критерия

при одной степени свободы

и значимости 0,05 составляет 3,84. Фактическое значение 4,57 больше

табличного, следовательно, можно считать, что колеблемость в последние 11

лет ниже, чем в первые 11 лет изучавшегося периода, т.е. колеблемость

урожайности зерновых во Франции уменьшилась.

ЛАВА

МЕТОДЫ

ИЗУЧЕНИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ

УРОВНЕЙ

РЯДА

ТРЕНДА

Устойчивость временного ряда - понятие многоплановое. Его следует

рассматривать с двух позиций:

• устойчивости уровней временного ряда;

• устойчивости тенденции (тренда).

Вопрос определения понятия устойчивости невозможно решить без

статистической теории динамического ряда, разработанной известными

статистиками A.M. Обуховым, Н.С. Четвериковым, Альб. Л. Вайнштейном, С.П.

Бобровым, Б.С. Ястремским. Согласно этой теории статистический показатель

содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость

проявляется в форме тенденции динамического ряда, случайность - в форме

колебаний уровней относительно кривой, выражающей тенденцию. Тенденцией

характеризуется процесс эволюции. В явном виде невозможно видеть все

причины, порождающие тенденцию (тренд). Полное разделение элементов

случайного и необходимого существует только в виде научной абстракции.

Расчленение динамического ряда на составляющие элементы - условный

описательный прием. Тем не менее, несмотря на взаимозависимость тенденции и

колеблемости, решающим фактором, обусловливающим тенденцию, является

целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости -

изменение условий жизнедеятельности. Исходя из вышеизложенного можно

отметить следующее. Устойчивость не означает обязательное повторение

одинакового уровня из года в год; такое понимание устойчивости приравнивало

бы ее к застойному состоянию изучаемого явления. Слишком узким и жестким

было бы понятие устойчивости ряда - как полное отсутствие в динамическом ряду

всяких колебаний, так как полностью устранить влияние случайных факторов на

показатель невозможно. Сокращение колебаний уровней ряда -одна из главных

задач при повышении устойчивости, но этим она не исчерпывается, необходимо

развитие явления. Отсюда и следует, что устойчивость временного ряда - понятие

не простое, а многоплановое.

Устойчивость временного ряда - это наличие необходимой тенденции

изучаемого статистического показателя с минимальным влиянием на него

неблагоприятных условий.

Из этого вытекают основные требования устойчивости:

• минимизация колебаний уровней временного ряда;

• наличие определенной, необходимой для общества тенденции изменения.

Устойчивость временного ряда можно оценивать на различных явлениях.

При этом в зависимости от явления будут меняться показатели, которые

используются в качестве форм выражения существа исследуемого процесса, но

содержание понятия устойчивость будет оставаться неизменным.

8.1. Методы измерения устойчивости уровней ряда

Наиболее простым, аналогичным размаху вариации при измерении

устойчивости уровней временного ряда, является размах колеблемости средних

уровней за благоприятные и неблагоприятные, в отношении к изучаемому

явлению, периоды времени:

неблагблаг

€

yyR −=

(8.1)

Причем к благоприятным периодам времени относятся все периоды с

уровнями выше тренда, к неблагоприятным - ниже тренда (однако, например, при

изучении динамики производительности труда если это трудоемкость, то все

должно быть наоборот).

Отношение средних уровней за благоприятные периоды времени к средним

уровням за неблагоприятные

благ

неблаг

также может служить показателем

устойчивости уровней. Чем ближе отношение к единице, тем меньше

колеблемость и соответственно выше устойчивость. Назовем это отношение

индексом устойчивости уровней динамических рядов и обозначим:

(8.2)

- отношение средней уровней выше тренда к средней уровней ниже тренда

(при тенденции роста).

Например, по данным табл. 5.7 индекс устойчивости уровней валового

сбора чая в Китае за 1978-1994 гг. составил 1,02.

При измерении колеблемости уровней исчисляются обобщающие

показатели отклонений уровней от тренда за исследуемый период.

Основными абсолютными показателями являются среднее линейное и

среднее квадратическое отклонения (см. гл. 6, формулы 6.4; 6.5):

среднее линейное отклонение

(8.3)

среднее квадратическое отклонение

(8.4)

где

y - фактический уровень;

- выровненный уровень;

п — число уровней;

р - число параметров тренда;

t - номера лет (знак отклонения от тренда).

Эти показатели выражаются в единицах измерения анализируемых уровней

и не могут служить для сравнения колебаний различных динамических рядов.

Сравнение средних линейных и квадратических отклонений по базам скольжения

при многократном аналитическом выравнивании дает информацию о снижении

или о повышении устойчивости уровней за период исследования. Аналитическое

выравнивание a(t) и S

(t) и расчет параметров уравнения их трендов позволяют

определить количественные характеристики изменения абсолютной колеблемости

во времени: среднегодовое изменение, темп изменения. Снижение колеблемости

во времени будет равнозначно повышению устойчивости уровней (см. разд. 6.4).

Для характеристики устойчивости (неустойчивости) Д. Бланфорд и С.

Оффат рекомендуют следующие показатели [23]:

1. Процентный размах (Percentage Range) - PR:

(8.5)

PR оценивает разность между максимальным и минимальным

относительными приростами в процентах.

2. Показатель скользящие средние (Moving Average) - МА, который

оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних:

(8.6)

3. Среднее процентное изменение (Average Percentage Change) - АРС,

которое оценивает среднее значение абсолютных величин относительных

приростов и квадратов относительных приростов:

(8.7)

Бланфорд и Оффат, анализируя вышеперечисленные коэффициенты,

отмечают их хорошую согласованность относительно коэффициента Спирмена.

Относительные показатели колеблемости, чаще всего используемые в

статистике, вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень

за весь изучаемый период (см. разд. 6.2.2):

коэффициент линейной колеблемости

(8.8)

(8.9)

Эти показатели отражают величину колеблемости в сравнении со средним

уровнем ряда. Они необходимы для сравнения колеблемости двух различных

явлений и чаще всего выражаются в процентах. Если

)t(V

- коэффициент

колеблемости, то величину

(8.10)

называют коэффициентом, устойчивости. Такое определение

коэффициента устойчивости интерпретируется как обеспечение устойчивости

уровней ряда относительно тренда лишь в (100 -

)t(V

) случаях. Если Ку

составил 0,9, это означает, что среднее колебание составляет 10% среднего

уровня. Однако вероятность того, что отдельное колебание (т.е. отклонение от

тренда в отдельном периоде) не превзойдет средней величины колебаний S

(t),

составляет лишь 0,68, если распределение колебаний по их величине близко к

нормальному.

Например (см. гл. 6, разд. 6.2.2), коэффициент колеблемости урожайности

зерновых культур во Франции за 1970-1995 гг. составил 6,9%, следовательно,

коэффициент устойчивости уровней равен 93,1%.

8.2. Методы измерения устойчивости тенденции динамики

Наиболее простым показателем устойчивости тенденции временного ряда

является коэффициент Спирмена Кр [3, с. 39]:

(8.11)

где d - разность рангов уровней изучаемого ряда (Р

) и рангов номеров

периодов или моментов времени в ряду (Р

);

п - число таких периодов или моментов.

Для определения коэффициента Спирмена величины уровней изучаемого

явления у^ нумеруются в порядке возрастания, а при наличии одинаковых

уровней им присваивается определенный ранг, равный частному от деления

суммы рангов, приходящихся на эти значения, на число этих равных значений.

При наличии дробных рангов необходима поправка к формуле Спирмена:

(8.12)

j - номера связок по порядку (см. нижнюю формулу);

- число одинаковых рангов в j -й связке (число одинаковых уровней).

При малой вероятности совпадения уровней и достаточном их числе эта

поправка несущественна.

Коэффициент рангов периодов времени и уровней динамического ряда

может принимать значения в пределах от 0 до ±1.

Интерпретация этого коэффициента такова: если каждый уровень ряда

исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера

лет совпадают, Кр = +1. Это означает полную устойчивость самого факта роста

уровней ряда, непрерывность роста.

Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, выше

устойчивость роста. При Кр = 0 рост совершенно неустойчив. При отрицательных

значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее снижение изучаемого показателя. В

рассмотренном ранее ряду динамики урожайности зерновых во Франции за 1970-