Абраменко И.Г., Кузнецов А.И. Компьютерные технологии в АСУ электроснабжения (MATLAB)

чения ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и доста-

точно, чтобы при достижении ФЧХ разомкнутой системы значения

− , ЛАЧХ этой же системы была отрицательной.

В случае применения для анализа устойчивости логарифмиче-

ских частотных характеристик запасу устойчивости системы по моду-

лю соответствует отрезок

20lglh

при том значении частоты, при

котором фазовая характеристика

()

ωπ

−

Запасу устойчивости системы по фазе соответствует зна-

чение угла

, представляющее превышение фазовой характеристики

уровня

−

при частоте среза

. Рекомендуется, чтобы

612l дБ

30 45

Δ= ÷

Для получения значений запасов устойчивости

конкретной

САУ

служит функция Control System Toolbox – margin.

Например,

для з САУ с передаточной функцией разомкнутого контура (1.18) c

помощью этой функции можно получить диаграмму Боде с указанием

запасов устойчивости, которая приведена на рис. 2.21.

Рис. 2.21 - Диаграмма Боде

при использовании функции margin

Запасы устойчивости на рис. 2.21 составили:

11,1l дБ=

при

ω 5, 06 c

63jD=

при

ω 2, 45 c

. Рассчитанные значе-

ния свидетельствуют о достаточной степени устойчивости системы в

замкнутом состоянии.

Применяя частотные критерии, характеристические кривые

можно строить постепенно с учетом влияния каждого звена, что при-

дает этим критериям наглядность и позволяет успешно решать задачу

выбора параметров системы из условий устойчивости.

2.8.

Определение показателей качества

Целью функционирования любой САУ является изменение вы-

ходной величины

)(ty

в определенном соответствии с законом изме-

нения задающего воздействия

)(ty

, которое, чаще всего, определяет-

ся соотношением

)()( tyty

Кроме обеспечения требования устойчивости САУ должна об-

ладать определенным качеством, под которым понимается точность

процесса управления. Количественной оценкой точности служит вели-

чина ошибки

)(t

, определяемая разностью между заданным и факти-

ческим значениями управляемой величины:

)()()( tytyt

−

. (2.19)

Чем меньше мгновенные значения ошибки

()t

, тем лучше

точность САУ.

При этом различают две функции САУ:

- воспроизведение задающего воздействия;

- подавление (компенсация) возмущений.

Из-за инерционностей системы обе перечисленные функции

всегда выполняются с некоторой погрешностью, т.е. обычно

0)( ≠t

Мгновенные значения ошибки не могут быть определены априори на

стадии проектирования, так как во время работы САУ возмущающие, а

иногда и задающие воздействия, изменяются случайным, неизвестным

заранее образом. Поэтому качество работы САУ приходится оценивать

с помощью определенных показателей (критериев качества), которые

характеризуют точность процесса управления раздельно в установив-

шихся и

переходных типовых режимах и имеют количественную меру.

Рассмотрим обобщенную структурную схему одноконтурной

САУ, которая приведена на рис. 2.22.

Рис. 2.22 - Исходный вид обобщеной структуры одноконтурной САУ

Преобразуем ее к виду с единичной обратной связью (рис.

2.23).

Рис. 2.23 - Структура одноконтурной САУ с единичной обратной свя-

зью

В реальных системах с целью согласования сигналов

)(sU

ос

передаточные функции

)(sW

БЗ

)(sW

БИ

подбираются одина-

ковыми, т.е.

)()( sWsW

БИБЗ

. Тогда структурная схема системы при-

нимает вид, приведенный на рис. 2.24:

Рис. 2.24 - Структура одноконтурной САУ с выделением ошибки

В полученной схеме непосредственно фигурирует ошибка сис-

темы

)(t

, которая измеряется в тех же единицах, что и величины

)(ty

Отметим, что в соответствии с последней структурной схемой

изображение ошибки

)(sΔ

связано с изображением сигнала рассогла-

сования

)(sU

простым соотношением вида:

)()()( sWssU

БИ

⋅

Величина

)(t

, исходя из принципа суперпозиции, может рас-

сматриваться в виде суммы двух составляющих, обусловленных дей-

ствием задающего и возмущающего воздействий, т.е.:

)()()( ttt

Определим соответствующие передаточные функции:

рк

()

() 1 () () () 1 ()

зБИБУОУ

Ys W sW sW s W s

== =

+⋅⋅ +

;

рк

() () () ()

()

() 1 () () () 1 ()

F ОУ F ОУ

БИ БУ ОУ

WsW s WsW s

s W sW sW s W s

⋅

== =

+⋅⋅ +

где

рк

() () () ()

БИ БУ ОУ

Ws W sW sW s=⋅⋅

- передаточная функция разомкну-

того контура.

Тогда можем записать:

рк рк

() ()

() () ()

1() 1()

F ОУ

WsW s

sYs Fs

Ws Ws

⋅

Δ= ⋅ + ⋅

. (2.20)

Таким образом, величина ошибки

)(s

определяется как свой-

ствами системы, так и видом входных воздействий и ее значения и в

статике и в динамике обратно пропорциональны выражению

рк

1()Ws+

Оценку ошибки в установившихся статических режимах САУ

производят при постоянстве задающего и возмущающего воздействий,

т.е. при

constty

=)(

consttf

)(

Воспользовавшись теоремой о конечном значении оригинала

операционного исчисления при

constyty

)(

constftf

)(

из (2.20) получим:

(

)

рк

lim ( ) ( )

lim ( ) lim( ( ))

1 lim ( ) 1 lim ( )

F ОУ

WsW s

tssy f

Ws Ws

→

→∞ →

→→

⋅

=⋅Δ=⋅ +⋅

. (2.21)

При наличии обеих составляющих (1.21) для устойчивых САУ

принимает вид:

оу

рк рк

()

Ґ = Ч + Ч

. (2.22)

Поскольку величина

)(

∞

при определенных значениях вход-

ных воздействий является величиной постоянной, ее принято называть

статической ошибкой.

Графически зависимость (2.22) можно изобразить статической

характеристикой

)()(

ff=∞

при

constyty

)(

. Если

k >

то она имеет вид, приведенный на рис. 2.25:

Рис. 2.25 - Статическая зависимость

)()(

∞

Мгновенные значения ошибок (в том числе и статических)

можно получить и средствами

MATLAB. В качестве примера опреде-

лим значения составляющих ошибки для САУ, структурная схема ко-

торой приведена на рис. 2.26 при

2,5k

;

0, 25Tc

;

0,9k =

;

0, 42Tc=

;

() 1()

tt=

;

() 1()

Рис. 2.26 - Структурная схема САУ

Воспользовавшись возможностями функций структурирования

Control System Toolbox составим файл-сценарий следующего вида

k1=2.5;T1=0.25;k2=0.9;T2=0.42;

W1=tf(k1,[T1 1]);

W2=tf(k2,[T2 1]);

W3=tf(1,[1 0]);

Wrk=W1*W2*W3

Wou=minreal(1/(1+Wrk))

Wof=minreal(W2*W3/(1+Wrk))

[Yu,t]=step(Wou);

[Yf,t]=step(Wof);

plot(t,Yu,'--r',t,Yf,'-.b',t,Yu+Yf,'k')

xlabel('t, c')

grid on

В результате вызова этого файла на выполнение получаем гра-

фическое изображение поведения составляющих и суммарной ошибки

в функции времени, которое приведено на рис. 2.27.

Рис. 2.27 - Временные зависимости ошибок САУ

Анализ графиков на рис. 2.27 показывает, что система является

астатической по задающему воздействию (

() 0

∞

) и статической

по возмущающему (

() 0,4

∞

Simulink тоже позволяет получить аналогичные результаты, од-

нако при этом существенно проясняя физическую сущность решаемой

задачи. Соответствующая блок-схема приведена на рис. 2. 28.

Рис. 2.28 - Блок-схема

Simulink определения временных зависимостей

ошибки САУ

Анализ точности работы САУ в более сложных режимах в

классической ТАУ проводится только в установившихся состояниях

на основе т.н. метода коэффициентов ошибок. Этот метод основыва-

ется на приближенной замене передаточной функции по ошибке, вы-

званной входным воздействием

()

, в окрестностях точки

0=s

что в области оригиналов соответствует

∞

, рядом Маклорена (ча-

стного случая ряда Тейлора при

), т.е.:

)(

)()( s

sWd

sdW

sWsW

ΔΔ

+++≈

Обозначим:

,0,

()

Ws C

;

()

dW s

;

()

dW s

= ;

()

dW s

= .

Тогда изображение составляющей ошибки

()

можно пред-

ставить в виде:

,0,1,2,3,

() () () () ...

2! 3!

Y з Y з yy y y

sYsWsYsC Cs C C

⎛⎞

Δ= ⋅ = + + + +

⎜⎟

⎝⎠

или, перейдя к оригиналам, в виде:

0, 1, 2, 3,

() 1 () 1 ()

() () ...

2! 3!

Yyy y y

dy t d y t d y t

Cyt C C C

dt dt dt

∞= + + + +

(2.23)

Использование соотношения (2.23) часто связано со значитель-

ными вычислительными затратами. В то же время

Simulink позволяет

решить аналогичную задачу значительно проще, полнее и физически

понятнее. В качестве примера на рис. 2.29 приведена блок-схема опре-

деления суммарной и скоростной составляющей ошибок для САУ на

рис. 2.26 при подаче на вход линейно изменяющегося задания

taty

⋅=)(

consttf =)(

Рис. 2.29 - Блок-схема

Simulink определения временных зависимостей

ошибки в следящей САУ

Соответствующие зависимости ошибок и управляемой коорди-

наты представлены на рис. 2. 30 и 2.31.

Рис. 2.30 - Временные зависимости ошибок в следящей САУ

Рис. 2.31 - Изменения задающего и управляемого сигналов

Качество работы в переходных режимах определяется по пере-

ходным характеристикам по каналу задания

)(th

и каналу возмуще-

ния

)(th

при подаче на соответствующие входы типовых сигналов

вида 1

()t

, которые характеризуют динамику изменения координат

системы.

В этом случае показатели качества, в зависимости от способа их

определения, разделяются на прямые и косвенные. В начале рассмот-

рим прямые показатели, которые определяются непосредственно по

временным характеристикам.

При самой общей оценке качества, прежде всего, обращают

внимание на форму переходного процесса. Различают следующие ти-

пы переходных процессов (см. рис. 2.32):

- колебательные (1);

- апериодические (2);

- монотонные (3).

Рис. 2.32 - Типы переходных процессов

Наибольшее число количественных показателей введено для ха-

рактеристики качества колебательного процесса по каналу задания.

К основным показателям характеристики

)(th

относятся пере-

регулирование

и время регулирования

(см. рис. 2.33).

Рис. 2.33 - Числовые характеристики качества колебательного процес-

са.

Перерегулирование

определяется максимальным отклоне-

нием управляемой величины от ее установившегося значения

)(∞h

выраженном в % к

)(∞h

%100

)(

max

⋅

∞

∞−

Обычно,

3010

%, иногда

%, а иногда недопус-

тимо совсем.

Время регулирования

определяется интервалом времени от

момента приложения воздействия до момента, после которого имеет

место неравенство:

)()()( ∞≤∞− hhth

где

- заданная постоянная величина (обычно

05,0

), представ-

ляющая собой допустимую погрешность расчета.

Кроме основных существует и ряд дополнительных показате-

лей качества. К таким показателям относят:

- частоту колебаний

T/2

, где

- период колебаний;

- число колебаний

за время регулирования

(обычно

Абраменко И.Г., Кузнецов А.И. Компьютерные технологии в АСУ электроснабжения (MATLAB)

Подождите немного. Документ загружается.