М.: Изд. ИЛ, 1949. - 505 с., пер. с англ. Шура-Бура М.Р., предисл.
Александрова П.С., Русский.
Предлагаемая вниманию читателя книга принадлежит перу одного из
крупных современных геометров, С. Лефшеца,- основные работы
которого относятся к алгебраической геометрии и к топологии. Обе
главнейшие специальности Лефшеца тесно переплетаются между собой: в
алгебраической геометрии Лефшец является основателем нового,
топологического направления; с другой стороны, предложенный им
метод „умножения и пересечения" в значительной степени явился
результатом перенесения в область топологии точек зрения и приемов,
взятых из алгебраической геометрии. Этот метод является фундаментом
гомологической теории непрерывных отображений многообразий,
основателем которой является тоже Лефшец; сила этой теории
продемонстрирована формулой, дающей алгебраическое число
неподвижных точек любого непрерывного отображения. Лефшец впервые
доказал эту формулу своим методом „умножения и пересечения" для
непрерывных отображений многообразий; впоследствии Хопф дал другое
элементарное доказательство для любых полиэдров, после чего Лефшец
обобщил свою формулу на общий случай локально-стягиваемых
компактов.
Значительное отражение в книге Лефшеца нашли работы советских топологов; так, например, исследование компактов и более общих топологических пространств методами комбинаторной топологии, являющееся одним из основных достижений московской топологической школы, подверглось Лефшецем дальнейшей разработке и заняло существенное место в его книге „Алгебраическая топология", к краткой характеристике которой я сейчас и перехожу.
Книга эта представляет собой построение комбинаторной топологии в самых общих предположениях. Она не является учебником топологии, ни, тем более, книгой для первого чтения по этой области математики: для этого предпосылки, выбранные автором для изложения различных теорий, чересчур общи, а принятый метод изложения чересчур абстрактен (все изложение, кстати, последовательно ведется „от общего к частному"). Но для читателя, уже знакомого с основами комбинаторной топологии по тому или иному из довольно многочисленных имеющихся в настоящее время изложений, в особенности же для сложившегося математика, желающего работать как собственно в комбинаторной топологии, так и в области больших общих проблем теоретико-множественной топологии, книга Лефшеца может быть очень полезна, так как в ней изложен весь ассортимент выработанных к настоящему моменту методов гомологической топологии, причем это изложение сделано с учетом различных возможностей обстановки, в которой эти методы придется применять.
Значительное отражение в книге Лефшеца нашли работы советских топологов; так, например, исследование компактов и более общих топологических пространств методами комбинаторной топологии, являющееся одним из основных достижений московской топологической школы, подверглось Лефшецем дальнейшей разработке и заняло существенное место в его книге „Алгебраическая топология", к краткой характеристике которой я сейчас и перехожу.
Книга эта представляет собой построение комбинаторной топологии в самых общих предположениях. Она не является учебником топологии, ни, тем более, книгой для первого чтения по этой области математики: для этого предпосылки, выбранные автором для изложения различных теорий, чересчур общи, а принятый метод изложения чересчур абстрактен (все изложение, кстати, последовательно ведется „от общего к частному"). Но для читателя, уже знакомого с основами комбинаторной топологии по тому или иному из довольно многочисленных имеющихся в настоящее время изложений, в особенности же для сложившегося математика, желающего работать как собственно в комбинаторной топологии, так и в области больших общих проблем теоретико-множественной топологии, книга Лефшеца может быть очень полезна, так как в ней изложен весь ассортимент выработанных к настоящему моменту методов гомологической топологии, причем это изложение сделано с учетом различных возможностей обстановки, в которой эти методы придется применять.