Зинкевич В.П. Вычислительная техника и программирование
Подождите немного. Документ загружается.
имеются в любой циклической программе, а потому рассмотрение типовых
программ удобно начинать именно с простейших.
1). Линейные программы.
Пусть необходимо определить значение переменной y по следующей
формуле
y = ax
5
+ bx +c ,
где а=7,8 ; x= 14,9 ; b=0,3 ; c=6,2.
Структурная схема алогритма (блок-схема) решения этой задачи
выглядит следующим образом (рис.12.2)
1
2
3
Рис. 12.2. Структурная схема линейного алгоритма
Программа для решения этой задачи и само решение на языке Бейсик может
выглядеть следующим образом:
10 REM Линейная программа
20 A=7.8
30 X=14.9
40 B=0.3
50 C=6.2
60 Y=A*X^5+B*X+C
70 PRINT “Y=”; Y
80 END
ok
RUN
Y=5728312
ok
Программа состоит из операторов, каждый из которых определяет конкретное
действие компьютера на данном шаге. Операторы нумеруются метками.
51
А=7,8; В=0,3
С=6,2;Х=14,9
Y=AX
5
+BX+C
Y
Конец
Начало
Удобно в небольших программах нумерацию осуществлять десятками с тем,
чтобы при отладке программы можно было бы легко вставлять по
необходимости новые операторы не меняя метки у других операторов.
Первый оператор REM (от английского слова remark – комментарий)
позволяет включать в текст программы дополнительные сообщения. Никакого
участия в работе программы эта информация не принимает. Метка этого
оператора (как и всех остальных операторов) –10 - отделена от его обозначения
– REM – пробелом. Заметим, что в окончании оператора не ставится никакой
знак.
Операторы 20, 30, 40, 50 являются операторами присвоения. В них
исходным переменным правой части решаемого выражения присваиваются
заданные значения. Таким образом, с помощью этих операторов вводятся
исходные данные для решения задачи. В дальнейшем мы рассмотрим и другие
способы ввода исходных данных.
Оператор 60 также является оператором присвоения, однако, в нем
переменной y присваивается значение вычисленного выражения по заданной
формуле
A*X
5
+ B*X + C .
Оператор 70 PRINT выводит на печать результат вычисления переменной
y. После наименования оператора ставится пробел, а знаки в кавычках
дословно печатаются в заключительной части программы. Само же значение
печатаемой переменной Y определяется в операторе 60.
Последний оператор 80 END обозначает конец программы.
Нажатием функциональной клавиши F2 запускается выполнение программы
(RUN) и печатается результат Y= 5728312.
Заметим также, что ввод исходных данных можно осуществить под одной
меткой 20 как
20 A=7.8:X=14.9:B=0.3:C=6.2
Здесь разные операторы под одной меткой разделены двоеточием.
2). Разветвленные программы.
Рассмотрим следующую задачу
x
¾
+ lnx + 1 для х>5
y = {
x
6
+ tgx – 2 для x<=5
В соответствии с заданием переменная у определяется или по верхней
формуле или по нижней в зависимости от значения аргумента х. Если х > 5,
переменная у определяется по верхней формуле. Если же х <= 5, то
вычисление переменной у идет по нижней формуле.
Структурная схема алгоритма для этой задачи выглядит следующим
образом
52
Да
Рис.12.3 Структурная схема разветвленного алгоритма.
ПРОГРАММА 1
Программа на языке GWBASIC в соответствии с алгоритмом рис.12.3
выглядит следующим образом
10 REM Разветвленная программа. Иванов В.И.
20 INPUT X
30 IF X>5 THEN Y= X^(3/4) + LOG(X) +1
40 IF X<=5 THEN Y=X^6 + TAN(X) – 2
50 PRINT “Y=”; Y, “X=”; X
60 END
ok
RUN
? 7
Y=7.249428 X=7
ok
RUN
? 4
Y=4095.158 X=4
ok
53
Начало
х
Х>5
у=х
¾
+lnx+1 y=x
6
+tgx-2
y, x
Конец
В этой программе оператор 20 INPUT (ввод, ввести) позволяет в отличии
от предыдущей программы по новому организовать ввод переменной х. В
этом операторе указывается только имя вводимой переменной, а ее
количественное значение указывается в конце программы после нажатия
функциональной клавиши F2 (RUN) и появления на экране знака “?”. После
знака вопроса вводится значение переменной х. В нашем случае это 7 и 4.
Опрератор 30 (как и оператор 40) является условным. По русски он
читается как “ЕСЛИ Х>5, то У=Х^(3/4)+LOG(X)+1”. Необходимо обратить
внимание на то, что дробный показатель степени при переменной Х берется в
скобки. Оператор 40 читается аналогичным образом.
Оператор 50, как и в линейной программе, обеспечивает вывод на экран
монитора результат вычислений. В данном случае выводятся переменные У и
Х.
ПРОГРАММА 2
Другой вариант задачи с разветвлением может выглядеть так
х
3
+ е
-х
+3,1 для х > 6
у ={ х
2
+ сtgx +0,7 для 6 >= x >=5
x
¼
+ arctgx – 0,35 для x < 5
Здесь второе условие задается в виде отрезка аргумента х.
Структурная схема алгоритма для этого случая будет выглядеть
следующим образом (фиг. 12.4.). А программа записывается как
10 REM Программа с тремя разветвлениями
20 INPUT X
30 IF X>6 THEN Y = X^3+EXP(-X)+3.1
40 IF X<=6 AND X >=5 THEN Y=X^2+COS(X)/SIN(X) +0.7
50 IF X<5 THEN Y=X^(1/4)+ATN(X)-0.35
60 PRINT “Y=”;Y, “X=”;X
70 END
Ok
RUN
?8
Y=515.1003 X=8
Ok
RUN
?5.5
Y=29.94557 X=5.5
Ok
RUN
?4
Y=2.390031 X=4
Ok
54
Отметим некоторые особенности этой программы. Оператор 40 позволяет
достаточно просто записать условие и решение второй формулы задачи,
используя союз AND (по-русски «И»). При вводе исходных значений для
переменной x используются три значения для каждого из трех условий
задачи.
Рис.12.5. Структурная схема алгоритма с тремя разветвлениями.
3). Циклические программы
Циклический вычислительный процесс – это процесс, в котором
многократно выполняются вычисления по одним и тем же математическим
зависимостям при различных значениях входящих в них переменных.
Рассмотрим три типа программ, содержащих циклы : программы с
вложенными циклами, итерационные программы и программы по обработке
массивов.
Программы с вложенными циклами.
Предположим, необходимо построить таблицу функции по следующей
формуле
X
5
+ Z
3
+ 0,4
Y = ---------------- ,
X
3
+ Z +0,15
55
x<
5
x
>
6
y=x
3
+e
-x
+3,1
y=x
¼
+arctgx-0,35
y=x
2
+ctgx+0<7
y,x
Начало
х
Конец
причем, Х = 0,8; 1,3; 1,8,…,3,3. Z = 6,2.
Как видно из условия, вычислительный процесс будет содержать только
одну изменяемую переменную – Х. Вторая переменная Z является
константой. Следовательно, в программе для данной задачи будет
реализовываться только один цикл. Рассмотрим два варианта программы.
ПРОГРАММА 3
Вариант 1
10 REM Программа с одним циклом
20 Z=6.2
30 X=0.8
40 Y=(X^5+Z^3+0.4)/(X^3+Z+0.15)
50 PRINT “X=”;X, “Y=”;Y
60 X=X+0.5
70 IF X<=3.3 GOTO 40
80 END
Ok
RUN
X=0.8 Y=34.83761
X=1.3 Y=28.36562
X=1.8 Y=21.1479
X=2.3 Y=16.36828
X=2.8 Y=14.51599
X=3.3 Y=14.90013
Ok
Здесь в оператора 20 и 30 задаются исходные значения переменных Z и Х. В
операторе 40 вычисляется первое значение переменной Y. Следует обратить
внимание на то, что в этом операторе числитель и знаменатель заключаются
в скобки. Оператор 50 обеспечивает вывод на печать вычисленных значений
переменных Y и Х. В операторе 60 производится определение следующего
значения переменной Х по заданию. Слагаемое 0.5 здесь представляет шаг
изменения, т.е. разность между соседними значениями Х. С точки зрения
традиционной математики запись такого оператора не имеет смысла. Но
здесь такая запись читается как : новому значению переменной Х
присваивается старое значение переменной Х плюс шаг изменения. Т.е. знак
“=” здесь является знаком присвоения, а не равенства. В операторе 70
проверяется условие достижения переменной Х максимально заданного
значения. Если таковое не произошло, происходит возвращение к оператору
40.
ПРОГРАММА 4
Эта же программа с использованием оператора цикла (FOR…TO…
STEP…) записывается как
56
10 REM Циклическая программа с оператором цикла
20 Z=6.2
30 FOR X=0.8 TO 3.3 STEP 0.5
40 Y=(X^5+Z^3+0.4)/(X^3+Z+0.15)
50 PRINT “X=”;X, “Y=”;Y
60 NEXT X
70 END
Здесь в операторе 30 задается начальное значение Х=0.8, конечное значение
Х=3.3 и шаг приращения Х=0.5. Тело цикла включает в себя операторы 40 и
50. Оператор 60 является конечным оператором цикла (слово NEXT
переводится как «следующий»).
Рассмотрим теперь задачу, в которой изменяются две переменные X и Z.
Это программа с одним вложенным циклом.
X
5
+ Z
3
+ 0,4
Y = ────────── ,
X
3
+ Z + 0,15
где X=0,8; 1,3; …,2,3, а Z=6,2; 6,5;…,7,1.
ПРОГРАММА 5
Программа с одним вложенным циклом будет выглядеть следующим
образом.
10 REM Программа с одним вложенным циклами
20 FOR Z=6.2 TO 7.1 STEP 0.3
30 FOR X=0.8 TO 2.3 STEP 0.5
40 Y=(X^5+Z^3+0.4)/(X^3+Z+0.15)
50 PRINT “X=”;X, “Z=”;Z, “Y=”;Y
60 NEXT X
70 NEXT Z
80 END
Ok
RUN
X=0.8 Z=6.2 Y=34.83761
X=1.3 Z=6.2 Y=28.36562
X=1.8 Z=6.2 Y=21.1479
X=2.3 Z=6.2 Y=16.36828
X=0.8 Z=6.5 Y=38.44634
X=1.3 Z=6.5 Y=31.50649
X=1.8 Z=6.5 Y=23.54757
X=2.3 Z=6.5 Y=18.03627
X=0.8 Z=6.8 Y=42.23528
X=1.3 Z=6.8 Y=34.82507
57
X=1.8 Z=6.8 Y=26.10919
X=2.3 Z=6.8 Y=19.83551
Ok
В этой программе необходимо обратить внимание на последовательность
операторов 60 и 70. Вначале закрывается внутренний цикл по переменной Х,
а затем закрывается внешний цикл по переменной Z. Компьютер выдаст
сообщение об ошибке, если переменные в операторах 60 и 70 поменяются
местами.
Итерационные программы
Решение конкретной задачи часто сводится к нахождению корней
уравнения вида
f(x) = 0 (1),
где функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если
функция f(x) представляет собой многочлен, то уравнение (1) называется
алгебраическим; если же в функцию f(x) входят трансцендентные
(тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то
уравнение (1) называется трансцендентным. Решение уравнения (1)
разбивается на две части
1) отыскание малых областей (отделение корней), в
каждой из которых заключен один и только один
корень уравнения;
2) вычисление корня с заданной точностью.
Проблема отыскания малых областей представляет более сложную задачу,
относится к математическим методам и здесь рассматриваться не будет.
Для вычисления выделенного корня существует много методов, из которых
наиболее используемыми являются метод итераций, метод половинного
деления и метод Ньютона (метод касательных).
Рассмотрим здесь только первый из этих методов – метод итераций.
Уравнение (1) представим в форме
x = φ(x) (2),
что всегда можно сделать разными способами. Например, прибавить к левой
и правой частям уравнения (1) х , т.е. представить уравнение (1) в виде
x = x + f(x) = φ(x).
В условии задачи обязательно задается начальное значение х = х
0
и
погрешность, с которой необходимо найти корень. Программа дает результат
если выполняется условие сходимости.
В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим пример нахождения
корня следующего трансцендентного уравнения
tg(x) - e
-x
= 0 (3)
для x
0
= 1, 2 , а погрешность Δ = 0,01.
В соответствии с уравнением (2) уравнение (3) представим в виде
58
x = tg(x) - e
-x
+ x (4).
Полученное уравнение (4) можно представить как состоящее из двух
y = x (5)
y = tg(x) - e
-x
+ x (6).
Уравнение (6) мы затем будем использовать в итерационной программе по
определению корня уравнения (3).
ПРОГРАММА 6
Программа для решения данной задачи выглядит следующим образом
10 REM Итерационная программа
20 INPUT X,D
30 Y=TAN(X)-EXP(-X) +X: A=ABS(X-Y): X=Y
40 IF A>D THEN 30
50 PRINT “X=”;X
60 END
Ok
RUN
?1.2,0.01
X=1.701412E+38
Ok
В операторе 20 вводятся начальное значение х
0
и погрешность Δ (Х и D
соответственно). В строке с меткой 30 находятся три оператора, разделенные
двоеточием. В первом из этих операторов записано выражение (6). Во втором
определяется текущее значение погрешности А по абсолютному значению
разности X и Y. В третьем - переменной Х присваивается вычисленное
значение Y. В операторе 40 сравнивается текущее значение погрешности
вычисления разности X-Y с заданной погрешностью D. Если A>D -
процесс итераций продолжается. В противном случае осуществляется
переход к оператору печати результата вычислений 50. Здесь следует
обратить внимание на то, что выведенная на печать в показательной форме
переменная Х= 1.701412*10
+38
.
Как отмечалось выше итерационный процесс может плохо сходится или
даже расходится. В этом случае процесс вычислений может затянуться во
времени или стать недостижимым. В этом случае можно ограничится
определенным количеством циклов, после достижения которого оборвать
итерационный процесс.
ПРОГРАММА 7
Такая программа будет выглядеть следующим образом
59
10 REM Итерационная программа
20 INPUT X,D,I
30 Y=TAN(X)-EXP(-X)+X: A=ABS(X-Y): X=Y:I=I+1
40 IF I=100 THEN 60
50 IF A>D THEN 30
60 PRINT “X=”;X, “I=”;I
70 END
Ok
RUN
?1.2,0.01,0
X=1.701412E+38 I=22
Ok
Здесь в операторе 20 участвует переменная I, в которой накапливается
число, определяющее количество циклов (итераций). В строке 30 последний
оператор I=I+1 обеспечивает подсчет количества циклов. Оператор 40
ограничивает количество циклов величиной равной 100. Эта величина может
быть увеличена до 1000 или 10000, если за 100 циклов корень не будет
найден. В операторе 60 на печать выводится также переменная I, которая
определяет количество циклов, за которое найден корень. После нажатия
функциональной клавиши F2 (RUN) вводятся исходные данные х
0
=1,2;
Δ=0,01; I=0. Строкой ниже печатается результат вычислений. Здесь нужно
обратить внимание на то, что I=22. Это означает, что корень исходного
уравнения найден. Если же I=100 (или величине, обозначенной в операторе
40) - корень не найден, а итерационный процесс или плохо сходится или
является расходящимся. Решить такую задачу можно с помощью
специальных математических методов, которые здесь не рассматриваются.
Обработка массива.
Под массивом понимается набор переменных, упорядоченных покакому-
либо признаку. Например, набор Х1, Х2, Х3,…,ХN упорядочен по номерам.
Рассмотрим следующую задачу: определить среднее значение элементов
массива Х1=2,3; Х2=1,8; Х3=4,7; Х4=3,6; Х5=3,1. Эта задача записывается
как
i=5
S = (1/5) ΣX
i
(7),
i=1
где Σ знак суммы.
ПРОГРАММА 8
Программа для рассчета по выражению (7) выглядит следующим образом.
60