Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений
Подождите немного. Документ загружается.
161
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÔÓˆÂÒÒ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ ÒÎÓËÒÚÓ„Ó
Ô·ÒÚ‡. ÑÎfl Û‰Ó·ÒÚ‚‡ ÒÎÓÊËÏ Ï˚ÒÎÂÌÌÓ ‚Ò ÔÓÔ·ÒÚÍË ˝ÚÓ„Ó
Ô·ÒÚ‡ ‚ Ó‰ËÌ “¯Ú‡·Âθ”, Ô˘ÂÏ Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ˜ÚÓ·˚ ‡·ÒÓ-
βÚ̇fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ÔÓÔ·ÒÚÍÓ‚ ËÁÏÂÌfl·Ҹ ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθ-
ÌÓ, ̇˜Ë̇fl Ò Ì‡ËÏÂ̸¯ÂÈ Ë ÍÓ̘‡fl Ò‡ÏÓÈ ‚˚ÒÓÍÓÈ.
èÛÒÚ¸, ̇ÔËÏÂ, ‚ ÌËÊÌÂÈ ˜‡ÒÚË ˝ÚÓ„Ó “¯Ú‡·ÂÎfl” ‡ÒÔÓÎÓ-
ÊÂÌ ÔÓÔ·ÒÚÓÍ Ò Ò‡ÏÓÈ ·Óθ¯ÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛, ‡ ‚‚ÂıÛ – Ò
̇ËÏÂ̸¯ÂÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛. ëӄ·ÒÌÓ ‚ÂÓflÚÌÓÒÚÌÓ-ÒÚ‡ÚËÒÚË-
˜ÂÒÍÓÈ ÏÓ‰ÂÎË ÒÎÓËÒÚÓ-ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰ÌÓ„Ó Ô·ÒÚ‡, ÒÛÏχÌÛ˛ ÚÓ΢Ë-
ÌÛ
h ÔÓÔ·ÒÚÍÓ‚, ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ Ò‡ÏÓ„Ó ÔÓÌˈ‡ÂÏÓ„Ó ËÁ ÍÓÚÓ-
˚ı Ì ÌËÊÂ, ˜ÂÏ ÌÂÍÓÚÓÓ Á̇˜ÂÌËÂ, ‡‚ÌÓ k, ÏÓÊÌÓ ÛÒÚ‡ÌÓ-
‚ËÚ¸ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÙÓÏÛÎÓÈ Á‡ÍÓ̇ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl Ô ÓÌË-
ˆ‡ÂÏÓÒÚË ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:
h
/h = F(k), (IV.20)
„‰Â h – Ó·˘‡fl ÚÓ΢Ë̇ ‚ÒÂı ÔÓÔ·ÒÚÍÓ‚ ‚ “¯Ú‡·ÂΔ.
îÓÏÛÎÛ (IV.20) ÏÓÊÌÓ Ô‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌÓÏ
‚ˉÂ, Ú.Â. ˜ÂÂÁ ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl, ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:
dh
h
F k dk f k dk=
′
=() () . (IV.21)
á‰ÂÒ¸ f(k) – ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ ‚ÂÓflÚÌÓÒÚÌÓ-ÒÚ‡ÚËÒÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡ÒÔÂ-
‰ÂÎÂÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË.
Ç˚ÚÂÒÌÂÌË ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ ÒÎÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ‚ ˆÂÎÓÏ ÏÓÊÌÓ
‡ÒÒχÚË‚‡Ú¸ Ë ËÌ˚Ï Ó·‡ÁÓÏ, Ò˜ËÚ‡fl, ˜ÚÓ ‚ ÌÂÍÓÚÓ˚ ÒÎÓË
ÚÓ΢ËÌÓÈ ∆h Ë ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ k ÔÓÒÚÛÔ‡ÂÚ ‚Ó‰‡ Ò ‡ÒıÓ‰ÓÏ
∆q. íÓ„‰‡ ËÁ ÙÓÏÛÎ (IV.15) Ë (IV.18)
∆
∆∆
q
bk pk h
tkt
=
−
Ì
Ì
µ ϕ1
.
(IV.22)
ë Û˜ÂÚÓÏ (IV.21) ËÁ (IV.22), Á‡ÏÂÌflfl ÍÓ̘Ì˚ Ôˇ˘ÂÌËfl
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı ‚Â΢ËÌ Ëı ‰ËÙÙÂÂ̈ˇ·ÏË Ë ÓÔÛÒ͇fl
Ë̉ÂÍÒ i, ̇ȉÂÏ
dq
bk phkf k dk
lkt
=
−
Ì
Ì
∆ ()
.
µ ϕ1
(IV.23)
ëӄ·ÒÌÓ ÏÓ‰ÂÎË ÔÓ¯ÌÂ‚Ó„Ó ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl, ËÁ Ó·‚Ó‰ÌË‚¯ËıÒfl
ÔÓÔ·ÒÚÍÓ‚ ÌÂÙÚ¸ Ì ËÁ‚ÎÂ͇ÂÚÒfl – ËÁ ÌËı ÔÓÒÚÛÔ‡ÂÚ ÚÓθÍÓ
‚Ó‰‡. é·‚Ó‰Ìfl˛ÚÒfl, ÍÓ̘ÌÓ, ‚ ÔÂ‚Û˛ Ә‰¸ ‚˚ÒÓÍÓÔÓÌˈ‡Â-
Ï˚ ÔÓÔ·ÒÚÍË. Ç ËÒÔÓθÁÛÂÏ˚ı ‚ ÚÂÓËË ‡Á‡·ÓÚÍË ÌÂÙÚfl-
Ì˚ı ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ ÏÓ‰ÂÎflı Ô·ÒÚÓ‚ ÛÒÎÓ‚ÌÓ ÔËÌËχ˛Ú, ˜ÚÓ ‚
ÒÎÓËÒÚÓ-ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰Ì˚ı Ô·ÒÚ‡ı ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸ ÒÎÓË Ò ·ÂÒÍÓ̘ÌÓ
·Óθ¯ÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Í ÏÓÏÂÌÚÛ ‚ÂÏÂÌË
162
t = t
∗
, ÍÓ„‰‡ Ó·‚Ó‰ÌflÚÒfl ‚Ò ÒÎÓË Ò ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ k
≥
k
∗
, ÏÓÊ-
ÌÓ ‰Ó·˚‚‡Ú¸ ÌÂÙÚ¸ Î˯¸ ËÁ ÒÎÓ‚ Ò ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ k
≤
k
∗
. Ç
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË ÒÓ Ò͇Á‡ÌÌ˚Ï ‰Îfl ‰Â·ËÚ‡ ÌÂÙÚË ËÁ ‡ÒÒχÚË‚‡Â-
ÏÓ„Ó ÒÎÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ̇ ÓÒÌÓ‚Â (IV.23) ÔÓÎÛ˜ËÏ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÂ
‚˚‡ÊÂÌËÂ:
qt
bk h p
l
kf k dk
kt
k
Ì
Ì
Ì
()
()
.
=
−
∗
∫
∆
µ
φ1
0
(IV.24)
Ñ·ËÚ ‚Ó‰˚ q
‚
(t) ÏÓÊÌÓ ÓÔ‰ÂÎËÚ¸ Ú‡ÍÊÂ Ò Û˜ÂÚÓÏ Û͇Á‡Ì-
Ì˚ı ÒÓÓ·‡ÊÂÌËÈ ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ
q t kf k dk
bk h p
l
k
‚
‚
‚
() () .=
∗
∞
∫
∆
µ
(IV.25)
ë ÔÓÏÓ˘¸˛ Ô˂‰ÂÌÌ˚ı ÙÓ ÏÛÎ ÏÓÊÌÓ, Á‡‰‡‚‡flÒ¸ ÔÓÒΉÓ-
‚‡ÚÂθÌÓ Á̇˜ÂÌËflÏË ‚ÂÏÂÌË t = t
∗
, ÔÓ (IV.19), ÓÔ‰ÂÎflÚ¸ k
∗
.
á‡ÚÂÏ, Ô‰ÔÓ·„‡fl, ˜ÚÓ ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ ‚ÂÓflÚÌÓÒÚÌÓ-ÒÚ‡ÚËÒÚ˘ÂÒÍÓ-
„Ó ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË ËÁ‚ÂÒÚ̇, ÏÓÊÌÓ
ÓÔ‰ÂÎËÚ¸, ÔÓËÌÚ„ËÓ‚‡‚ (IV.24) Ë (IV.25), q
Ì
, q
‚
Ë q =
= q
Ê
= q
Ì
+ q
‚
.
è˂‰ÂÌÌ˚ ‚˚Í·‰ÍË Ë ÙÓÏÛÎ˚ ÔË„Ó‰Ì˚, Í‡Í ÛÊ ·˚ÎÓ
Û͇Á‡ÌÓ, ‰Îfl ÒÎÛ˜‡Â‚, ÍÓ„‰‡ ‚ Ú˜ÂÌË ‚ÒÂ„Ó ÔÓˆÂÒÒ‡ ‚˚ÚÂÒÌÂ-
ÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ ÒÎÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ÔÂÂÔ‡‰ ‰‡‚ÎÂÌËfl Ì ËÁ-
ÏÂÌflÂÚÒfl. äÓ„‰‡ Ê Á‡‰‡ÌÓ ÛÒÎÓ‚Ë ÔÓÒÚÓflÌÒÚ‚‡ ‡ÒıÓ‰‡ q
‚Á
Á‡Í‡˜Ë‚‡ÂÏÓÈ ‚ ÒÎÓËÒÚ˚È Ô·ÒÚ ‚Ó‰˚, ÔÓÎÛ˜‡˛Ú ÌÂÒÍÓθÍÓ ËÌ˚Â
ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ‰Îfl ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl ‰Â·ËÚÓ‚ ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚, ‡ Ú‡ÍÊÂ
ÔÂÂÔ‡‰‡ ‰‡‚ÎÂÌËfl, ÍÓÚÓ˚È ‚ ‰‡ÌÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ·Û‰ÂÚ ËÁÏÂÌflÚ¸Òfl
Ò Ú˜ÂÌËÂÏ ‚ÂÏÂÌË. ÖÒÎË q
‚Á
= const, ÒÔ‡‚‰ÎË‚˚ ÙÓÏÛÎ˚
(IV.15) Ë (IV.16), ÔË ˝ÚÓÏ ÒΉÛÂÚ Û˜ËÚ˚‚‡Ú¸, ˜ÚÓ ÔÂÂÔ‡‰
‰‡‚ÎÂÌËfl
∆p – ÙÛÌ͈Ëfl ‚ÂÏÂÌË, Ú.Â.
∆p =
∆p (t).
ǂ‰ÂÏ ÙÛÌÍˆË˛ ψ:
ΨΛ∆ Λ=
∫
−
−
−
ptdt
ss
t
kkk
ml
() ;
)
(/ /)
(
.
0
2
22
2
1
=
ÌÌ ‚‚Ì
Ì ÓÒÚ Ò‚ Ì
µµ
µ
(IV.26)
àÁ ÙÓÏÛÎ˚ (IV.15), ÂÒÎË Â Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ‰ËÙÙÂ-
Â̈ˇÎÓ‚ ‡ÒıÓ‰‡ q Ë ÚÓ΢ËÌ˚ Ô·ÒÚ‡ h, Ò Û˜ÂÚÓÏ (IV.26) ÔÓ-
ÎÛ˜ËÏ
dq
bk p t kdh
lk
‚Á
Ì
Ì
=
−
∆ ()
.
µ ϕ1
(IV.27)
ä‡Í Ë ‚ ÒÎÛ˜‡Â ÔÓÒÚÓflÌÌÓ„Ó ÔÂÂÔ‡‰‡ ‰‡‚ÎÂÌËfl, ÔË ÔÓÒÚÓflÌ-
ÌÓÏ ‡Òı Ӊ Á‡Í‡˜Ë‚‡ÂÏÓÈ ‚ ÒÎÓËÒÚ˚È Ô·ÒÚ ‚Ó‰˚ Í ÌÂÍÓÚÓÓÏÛ
ÏÓÏÂÌÚÛ ‚ÂÏÂÌË t = t
∗
˜‡ÒÚ¸ ÒÎÓ‚ Ó͇ÊÂÚÒfl ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ Ó·‚Ó‰-
163
ÌÂÌÌÓÈ Ë ËÁ ÌËı ·Û‰ÂÚ ‰Ó·˚‚‡Ú¸Òfl ÚÓθÍÓ ‚Ó‰‡, ËÁ ‰Û„ÓÈ Ê ˜‡-
ÒÚË ·Û‰ÛÚ ‰Ó·˚‚‡Ú¸ ·ÂÁ‚Ó‰ÌÛ˛ ÌÂÙÚ¸. èÓ˝ÚÓÏÛ ÔÓÎÌ˚È ‡ÒıÓ‰
Á‡Í‡˜Ë‚‡ÂÏÓÈ ‚Ó ‚Ò˛ ÚÓÎ˘Û ÒÎÓËÒÚÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ‚Ó‰˚ q
‚Á
ÏÓÊÌÓ ÓÔ-
‰ÂÎËÚ¸ ‚ ÂÁÛθڇÚ ËÌÚ„ËÓ‚‡ÌËfl ‚˚‡ÊÂÌËfl (IV.27) Ë
ÔË·‡‚ÎÂÌËfl Í Ô‡‚ÓÈ Â„Ó ˜‡ÒÚË ËÌÚ„‡Î‡, Û˜ËÚ˚‚‡˛˘Â„Ó ÔË-
ÚÓÍ ‚Ó‰˚ ËÁ Ó·‚Ó‰ÌË‚¯ËıÒfl ÒÎÓ‚. àÏÂÂÏ
qkfkdk
bkpt
l
kf k dk
k
bk p t
l
k
k
‚Á
Ì
Ì
‚
‚
=
−
+
∗
∗
∞
∫∫
∆∆()
()
()
.
()
µ
ψ
µ
1
0
(IV.28)
é·Û˜‡˛˘ÂÏÛÒfl Ô‰·„‡ÂÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘‡fl Ôӈ‰ۇ ÔÓÒΉÓ-
‚‡ÚÂθÌÓ„Ó ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl
∆
p(t). Ç̇˜‡Î Á‡‰‡˛ÚÒfl Á̇˜ÂÌËÂÏ
ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË k
∗
, ÔÓ ÙÓÏÛΠ(IV.19) ÓÔ‰ÂÎfl˛Ú ‚ÂÏfl Ó·‚Ó‰-
ÌÂÌËfl ÒÎÓfl t = t
∗
, ÔÓÒΠ˜Â„Ó ‰Îfl ‰‡ÌÌÓ„Ó t
∗
‚˚˜ËÒÎfl˛Ú ψ. á‡ÚÂÏ
ÓÔ‰ÂÎfl˛Ú ËÌÚ„‡Î˚, ‚ıÓ‰fl˘Ë ‚ ÙÓÏÛÎÛ (IV.28), Ë
∆p (t)
ÔË Á‡‰‡ÌÌÓÏ q
‚Á
. Ç˚˜ËÒÎËÚÂθÌ˚ ÓÔ‡ˆËË ÔÓ‚ÚÓfl˛Ú ÔË
‰Û„Ëı ÏÂ̸¯Ëı Á̇˜ÂÌËflı k
∗
‰Îfl ÔÓÎÛ˜ÂÌËfl Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË
∆p (t).
Ñ·ËÚ ÌÂÙÚË Ì‡ıÓ‰flÚ ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ
qt
bk p t
l
kf k dk
k
k
Ì
Ì
Ì
()
()
()
,
=
−
∗
∫
∆
µ
ψ1
0
(IV.29)
‡ ‰Â·ËÚ ‚Ó‰˚ – ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ
q t kf k dk
bk p t
l
k
‚
‚
‚
() ( )
()
.
=
∗
∞
∫
∆
µ
(IV.30)
Ç ‡‰Ë‡Î¸ÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÔË Ôӯ̂ÓÏ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËË ÌÂÙÚË ‚Ó-
‰ÓÈ ËÁ ÓÚ‰ÂθÌÓ„Ó ÒÎÓfl ‚ÏÂÒÚÓ Û‡‚ÌÂÌËfl (IV.12) ·Û‰ÂÏ ËÏÂÚ¸
qhr
i
i
i
kk p
r
‚Á
‚
‚
=
µ
∂
∂
π2 . (IV.31)
èÛÒÚ¸ ‚ ÌÂÍÓÚÓ˚È ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË ÙÓÌÚ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË
‚Ó‰ÓÈ ‚ i-Ï ÒÎÓ ‰Ó¯ÂÎ ‰Ó ‡‰ËÛÒ‡ r = r
‚i
, „‰Â Ô·ÒÚÓ‚Ó ‰‡‚ÎÂ-
ÌË ‡‚ÌÓ p
‚
i. íÓ„‰‡, ËÌÚ„ËÛfl (IV.31) ÓÚ ‡‰ËÛÒ‡ ÒÍ‚‡ÊËÌ˚
‰Ó ‡‰ËÛÒ‡ r
‚i
, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
qhpp
i
ii
i
i
r
r
kk
‚Á
‚
c
‚
‚
c‚
ln ( ).= −
µ
π2 (IV.32)
Ç Ó·Î‡ÒÚË r
‚i
≤ r ≤ R, Ú.Â. ‚ÔÂÂ‰Ë ÙÓÌÚ‡ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl, ‰‚Ë-
ÊÂÚÒfl ÌÂÙÚ¸ Ò ÚÂÏ ÊÂ ‡ÒıÓ‰ÓÏ q
‚i
= q
Ìi
, Ú‡Í ˜ÚÓ ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ
(IV.32) ËÏÂÂÏ
qhpp
i
i
i
i
i
R
r
kk
Ì
Ì
Ì
Ì
‚Í
ln ( ).= −
µ
π2 (IV.33)
164
àÁ (IV.32) Ë (IV.33)
qq ppp
ii
ii
i
i
kph
k
r
rk
R
r
‚Ì
c
‚
‚
‚
c
Ì
Ì‚
ÒÒÍ
2
==
+
= −
π
µµ
∆
∆
ln ln
;
. (IV.34)
Ä̇Îӄ˘ÌÓ (IV.12) ‰Îfl i-„Ó ÔÓÔ·ÒÚ͇
q
‚i
= m(1 – s
Ì ÓÒÚ
– s
Ò‚
)2
π
r
‚i
∂
∂
r
t
i‚
. (IV.35)
èˇ‚ÌË‚‡fl Ô‡‚˚ ˜‡ÒÚË (IV.34) Ë (IV.35) Ë ÓÔÛÒ͇fl
Ë̉ÂÍÒ i, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
µµ
‚
‚
‚
c
Ì
Ì‚
‚
‚c
Ì ÓÒÚ c‚
k
r
rk
R
r
dr
dt
kp
ms s
rln ln .
()
+=
−−
∆
1
(IV.36)
é·ÓÁ̇˜ËÏ ρ = r
‚
/r
Ò
Ë ÔÓËÌÚ„ËÛÂÏ (IV.36) ÔË ∆p
Ò
=
= const. íÓ„‰‡
µµ µ
ρρ ρ
‚
‚
Ì
Ì
Ì
Ìc
kk k
R
r
−−++ − =
22
1
2
1
2
1ln ln ( )
=
−−
2
1
2
kpt
ms sr
∆
c
Ì ÓÒÚ c‚ c
()
. (IV.37)
íÂÔ¸ ÏÓÊÌÓ Ì‡ÈÚË ‚ÂÏfl t = t
∗
, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Â ̇˜‡ÎÛ
Ó·‚Ó‰ÌÂÌËfl ÔÓÔ·ÒÚ͇ Ò ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ k = k
∗
.
èÓ·„‡fl ρ = ρ
Í
= R/r
Ò
, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
t
∗
∗
=
−− −
()
−
)
+
(
→
ms sr k k
pk
( ) / / ln /112
2
22
Ì ÓÒÚ c‚ c ‚ ‚ Ì Ì Í Í
c
µµρρ
∆
→
+
]
+ −
∗
12 1
2
2
/ln
.
µ
ρρ
Ì
Ì
ÍÍ
k
pk
c
∆
(IV.38)
àÁ ÙÓÏÛÎ˚ (IV.34)
dq
p kdh
k
r
rk
R
r
c
Ì
‚
‚
‚
c
Ì
Ì‚
=
+
2π
µµ
∆
ln ln
. (IV.39)
àÌÚ„ËÛfl (IV.39), Í‡Í Ë ‰Îfl ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ÒÎÛ˜‡fl, ÔË
∆p
Ò
= const ËÏÂÂÏ
qt hp
kf k dk
k
r
rk
R
r
k
Ìc
‚
‚
‚
c
Ì
Ì‚
() ;
()
ln ln
=
+
∗
∫
2
0
π
µµ
∆ (IV.40)
165
q t kf k dk
hpk
R
r
k
‚
c‚
‚
c
() ()
ln
=
∫
∗
∞
2π
µ
∆
(IV.41)
ÑÎfl ‚˚˜ËÒÎÂÌËfl ËÌÚ„‡Î‡ (IV.40) ‚ ÔÓ‰˚ÌÚ„‡Î¸ÌÓ ‚˚‡-
ÊÂÌË ÒΉÛÂÚ ÔÓ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ r
‚
ËÁ ÙÓÏÛÎ˚ (IV.37). èÓ˝ÚÓÏÛ ‚ Ó·-
˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â q
Ì
(t) ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÓÔ‰ÂÎflÚ¸, ÔÓ-‚ˉËÏÓÏÛ, ˜ËÒÎÂÌ-
Ì˚Ï ÔÛÚÂÏ Ò ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËÂÏ ÍÓÏÔ¸˛Ú‡. é‰Ì‡ÍÓ, Í‡Í Ë ‚ Ôfl-
ÏÓÎËÌÂÈÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÔË
µ
‚
/k
‚
=
µ
Ì
/k
Ì
‚˚˜ËÒÎÂÌËfl ÛÔÓ˘‡˛ÚÒfl.
Ç˚‡ÊÂÌË (IV.40) Ô‚‡˘‡ÂÚÒfl ‚ ÒÎÂ‰Û˛˘Û˛ ÙÓÏÛÎÛ:
q t kf k dk
kh p
R
r
k
Ì
Ìc
Ì
c
() () .
ln
=
∗
∫
2
0
π
µ
∆
(IV.42)
çÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Á‡‰‡‚‡Ú¸Òfl ‚Â΢ËÌÓÈ k
∗
, ÓÔ‰ÂÎflÚ¸ ÏÓÏÂÌÚ Ó·-
‚Ó‰ÌÂÌËfl ÒÎÓfl Ò ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ k = k
∗
ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ (IV.38) Ë ‚
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ËÁ‚ÂÒÚÌ˚Ï ‚ ÓflÚÌÓÒÚÌÓ-ÒÚ‡ÚËÒÚ˘ÂÒÍËÏ Á‡ÍÓÌÓÏ
‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË q
Ì
(t) Ë q
‚
(t).
è Ë Ï Â IV.1. çÂÙÚflÌÓÈ Ô·ÒÚ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ ӉÌÓfl‰ÌÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚ ‡Á‡·ÓÚ-
ÍË ‰ÎËÌÓÈ l = 500 Ï, ¯ËËÌÓÈ b = 500 Ï Ë ÚÓ΢ËÌÓÈ h = 10 Ï ‡Á‡·‡Ú˚‚‡ÂÚÒfl
Ò ÔËÏÂÌÂÌËÂÏ Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl. èÓËÒÚÓÒÚ¸ Ô·ÒÚ‡ m = 0,25, ‚flÁÍÓÒÚ¸ ÌÂÙÚË ‚ Ô·-
ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı µ
Ì
= 2 ⋅ 10
-3
è‡ ⋅ Ò, ‚flÁÍÓÒÚ¸ ‚Ó‰˚ µ
‚
= 10
3
è‡ ⋅ Ò. è·ÒÚ ÌÂÓ‰-
ÌÓÓ‰ÂÌ ÔÓ ÚÓ΢ËÌÂ Ë ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Ô Â‰ÒÚ‡‚ÎÂÌ ÏÓ‰Âθ˛ ÒÎÓËÒÚÓ-ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰ÌÓ„Ó
Ô·ÒÚ‡ Ò „‡Ïχ-‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËÂÏ ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË. èÎÓÚÌÓÒÚ¸ ‡ÒÔÂ-
‰ÂÎÂÌËfl ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ α = 2. èÓ˝ÚÓÏÛ
fk k k
kk
() / .=
−
e
/2
ë‰Ìflfl ‡·ÒÓβÚ̇fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ (χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ ÓÊˉ‡ÌË ‡·ÒÓβÚÌÓÈ
ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË) M(k) = 2
k
= 0,4 ÏÍÏ
2
.
ëÓ‰ÂʇÌË ҂flÁ‡ÌÌÓÈ ‚Ó‰˚ ‚ Ô·ÒÚ s
Ò‚
= 0,05, ÔË Ôӯ̂ÓÏ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËË
ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ Í‡Ê‰Ó„Ó ÓÚ‰ÂθÌÓ„Ó ÒÎÓfl ÓÒÚ‡ÚӘ̇fl ÌÂÙÚÂ̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ‚ ÒÎÓÂ
s
Ì$ÓÒÚ
= 0,4. è·ÒÚ ‡Á‡·‡Ú˚‚‡ÂÚÒfl ÔË ÔÓÒÚÓflÌÌÓÏ ÔÂÂÔ‡‰Â ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ ˝ÎÂ-
ÏÂÌÚ ӉÌÓfl‰ÌÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚
∆p = 0,2 åè‡. éÚÌÓÒËÚÂθ̇fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ‰Îfl
ÌÂÙÚË ‚ ÌÂÁ‡‚Ó‰ÌÂÌÌ˚ı ӷ·ÒÚflı k
Ì
= 1, ‡ ÓÚÌÓÒËÚÂθ̇fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ‰Îfl
‚Ó‰˚ ‚ Á‡‚Ó‰ÌÂÌÌ˚ı ÁÓ̇ı k
‚
= 0,5.
éÔ‰ÂÎËÏ ËÁÏÂÌÂÌË ‚Ó ‚ÂÏÂÌË ‰Â·ËÚ‡ ÌÂÙÚË q
Ì
(t) Ë ‚Ó‰˚ q
‚
(t), ÔÓÎÛ-
˜‡ÂÏÓ ËÁ ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÏÓ„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ Ó‰ÌÓfl‰ÌÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚ ‡Á‡·ÓÚÍË.
èÂʉ ˜ÂÏ ÔËÒÚÛÔËÚ¸ Í Â¯ÂÌ˲ ‰‡ÌÌÓ„Ó ÔËχ, ÓÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÔÓ ÛÒÎÓ-
‚˲ µ
Ì
/k
Ì
= µ
‚
/k
‚
. Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, Òӄ·ÒÌÓ ÙÓÏÛÎ‡Ï (IV.24) Ë (IV.25), ËÏÂÂÏ
qt
bk h p
l
kf k dk
k
Ì
Ì
‚
() ( ) ;=
∗
∫
∆
µ
0
qt
bk h p
kf k dk
k
‚
‚
‚
() () .=
∗
∞
∫
∆
µ
èÓ ÙÓÏÛÎÂ (IV.19)
tt
ms s k kl
pk
==
−− +
∗
∗
()(//)
.
1
2
2
Ì ÓÒÚ c‚ Ì Ì ‚ ‚
µµ
∆
166
èÓ‰ÒÚ‡‚Îflfl ‚ Ô˂‰ÂÌÌ˚ ÙÓÏÛÎ˚
‰Îfl q
Ì
(t) Ë q
‚
(t) ‰‡ÌÌÛ˛ ‚ ÛÒÎÓ‚ËË
ÔËχ ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ „‡Ïχ-‡ÒÔ‰ÂÎÂ-
ÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË, ÔÓÎÛ-
˜‡ÂÏ
pt
bk h p
l
kdk
k
kk
k
Ì
Ì
Ì
-/
()==
∗
∫
∆
µ
2
2
0
e
= −−
∗
∗
∗
∗
∗
bk h p
l
kkk
kk
kkk kk
Ì
Ì
-/
-/ -/
)-
∆
µ
[( ].
/
21 2
2
eee
ëÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‰Îfl ‰Â·ËÚ‡ ‚Ó‰˚
qt
bk h p
l
k
k
dk
bk h p
l
kk k
kk
k
kk k
‚
‚
‚
/
‚
‚
/
() ().
/
=
−
∗
∞
−
∗∗
=++
∫
∆∆
µµ
2
2
2
22
e
e
èÓfl‰ÓÍ ‡Ò˜ÂÚ‡ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ: Ò̇˜‡Î‡ Á‡‰‡ÂÏÒfl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ k
∗
Ó·-
‚Ó‰ÌË‚¯Â„ÓÒfl ÔÓÔ·ÒÚ͇, Á‡ÚÂÏ ÓÔ‰ÂÎflÂÏ ÔÓ Ô˂‰ÂÌÌÓÈ ÙÓÏÛΠ‚ÂÏfl t
∗
Ó·‚Ó‰ÌÂÌËfl ˝ÚÓ„Ó ÔÓÔ·ÒÚ͇, ÔÓÒΠ˜Â„Ó ‚˚˜ËÒÎflÂÏ ‰Â·ËÚ˚ ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚ ‰Îfl
‰‡ÌÌÓ„Ó ‚ÂÏÂÌË. ê‡Ò˜ÂÚ˚ ÔÓ‚ÚÓflÂÏ ‡Ì‡Îӄ˘Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ‰Îfl ‰Û„Ëı
Á̇˜ÂÌËÈ k
∗
Ë t.
ç‡ ËÒ. 76 ÔÓ͇Á‡Ì „‡ÙËÍ ËÁÏÂÌÂÌËfl ‚Ó ‚ÂÏÂÌË ‰Â·ËÚÓ‚ ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚, ËÁ
ÍÓÚÓÓ„Ó ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÔËÌflÚÓ„Ó ‚ˉ‡ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl ‡·ÒÓβÚÌÓÈ
ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË Ó·‚Ó‰ÌÂÌË Ô·ÒÚ‡ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ ÒËÒÚÂÏ˚ ‡Á‡·ÓÚÍË Ì‡‡ÒÚ‡ÂÚ
Ó˜Â̸ ·˚ÒÚÓ, Ë ÛÊ ˜ÂÂÁ 400 ÒÛÚ q
Ì
= 15,7 Ï
3
/ÒÛÚ, ‡ ‰Â·ËÚ ‚Ó‰˚ q
‚
=
= 19 Ï
3
/ÒÛÚ.
§ 18. êÄëóÖí èéäÄáÄíÖãÖâ
êÄáêÄÅéíäà éÑçéêéÑçéÉé èãÄëíÄ
çÄ éëçéÇÖ åéÑÖãà
ÑÇìïîÄáçéâ îàãúíêÄñàà
ÇÒ ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ ÏÂÚÓ‰ËÍË ‡Ò˜ÂÚ‡ ÔÓˆÂÒÒ‡ ‡Á-
‡·ÓÚÍË ÌÂÙÚflÌ˚ı ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ Ò Û˜ÂÚÓÏ ÌÂÔÓ¯ÌÂ‚Ó„Ó ı‡-
‡ÍÚ‡ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ÓÒÌÓ‚‡Ì˚ ̇ ÚÂÓËË ÒÓ‚ÏÂÒÚ-
ÌÓÈ ÙËθڇˆËË ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰Ì˚ı ÊˉÍÓÒÚÂÈ. í‡ÍÓÈ ‚ˉ ÙËθڇ-
ˆËË ÌÂÙÚflÌËÍË ÛÒÎÓ‚ÌÓ Ì‡Á˚‚‡˛Ú “‰‚ÛıÙ‡ÁÌÓÈ ÙËθڇˆËÂÈ”.
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÚÂÓ˲ ‰‚ÛıÙ‡ÁÌÓÈ ÙËθڇˆËË ‚̇˜‡Î ̇ ÔËÏÂ-
 ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó Ó‰ÌÓÓ‰ÌÓ„Ó
Ô·ÒÚ‡. ùÚÓÚ ÔËÏ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÒÎÛ˜‡˛ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË
‚Ó‰ÓÈ ËÁ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ Ó‰ÌÓfl‰ÌÓÈ ÒıÂÏ˚ ‡ÒÔÓÎÓÊÂÌËfl ÒÍ‚‡ÊËÌ,
êËÒ. 76. ɇÙËÍ ËÁÏÂÌÂÌËfl ‚Ó ‚ÂÏÂÌË
‰Â·ËÚÓ‚ ÌÂÙÚË (1) Ë ‚Ó‰˚ (2), ÔÓÎÛ˜‡Â-
Ï˚ı Ëı ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ Ó‰ÌÓfl‰ÌÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚
‡Á‡·ÓÚÍË
167
ÔÓËÒıÓ‰fl˘ÂÏÛ ‚ Ò˜ÂÌËflı
˝ÎÂÏÂÌÚ‡, ̇ıÓ‰fl˘ËıÒfl ̇
Á̇˜ËÚÂθÌÓÏ Û‰‡ÎÂÌËË ÓÚ
Ò‡ÏËı ÒÍ‚‡ÊËÌ, „‰Â ı‡‡Í-
Ú ‰‚ËÊÂÌËfl ‚˚ÚÂÒÌflÂÏÓÈ
Ë ‚˚ÚÂÒÌfl˛˘ÂÈ ÊˉÍÓÒÚÂÈ
·ÎËÁÓÍ Í ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓÏÛ.
ê‡ÒÒχÚË‚‡fl ‰‚ÛıÙ‡ÁÌÛ˛ ÙËθڇˆË˛ (ÌÂÔӯ̂Ӡ‚˚ÚÂÒ-
ÌÂÌË ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ) ‚ ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓÏ Ô·ÒÚÂ, ‚˚‰ÂÎËÏ ˝ÎÂÏÂÌÚ
‰ÎËÌÓÈ ∆x, ‚˚ÒÓÚÓÈ h Ë ¯ËËÌÓÈ b ‚ ̇ԇ‚ÎÂÌËË, Ô ÔẨËÍÛ-
ÎflÌÓÏ Í ÔÎÓÒÍÓÒÚË (ËÒ. 77). Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Ò΂‡ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ
Ô·ÒÚ‡ ÔÓÒÚÛÔ‡˛Ú, ‡ ÒÔ‡‚‡ ‚˚ÚÂ͇˛Ú ÌÂÙÚ¸ Ë ‚Ó‰‡. èË ˝ÚÓÏ
‡ÒıÓ‰ ‚Ó‰˚ Ò΂‡ ‡‚ÂÌ bhv
‚
, ‡ ÒÔ‡‚‡ – bh(v
‚
+
∂
∂
v
‚
x
∆x).
äÓ΢ÂÒÚ‚Ó Ì‡ÍÓÔÎÂÌÌÓÈ ‚Ó‰˚ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ Ô·ÒÚ‡ ÒÓÒÚ‡‚ÎflÂÚ
bhm
∂
∂
s
t
∆x (v – ÒÍÓÓÒÚ¸ ÙËθڇˆËË ‚Ó‰˚; s – ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌ-
ÌÓÒÚ¸ Ô·ÒÚ‡; t – ‚ÂÏfl). ëӄ·ÒÌÓ Á‡ÍÓÌÛ ÒÓı‡ÌÂÌËfl ‚¢ ÂÒÚ‚‡
‡ÁÌÓÒÚ¸ ÏÂÊ‰Û ÒÍÓÓÒÚflÏË ‚ıÓ‰fl˘ÂÈ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ Ô·ÒÚ‡ ‚Ó‰˚ Ë
‚˚ıÓ‰fl˘ÂÈ ËÁ ÌÂ„Ó ‡‚̇ ÒÍÓÓÒÚË Ì‡ÍÓÔÎÂÌËfl ‚Ó‰˚ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚÂ
Ô·ÒÚ‡. Ç˚‡Ê‡fl Ò͇Á‡ÌÌÓ ‚ χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓÈ ÙÓÏÂ, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
− +=
bh v x bhv bhm x
vs
t
‚
‚
‚
x
∂
∂
∂
∂
∆∆.
èÓÒΠÒÓ͇˘ÂÌËfl ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı ˜ÎÂÌÓ‚ ÔË ÛÒÚÂÏÎÂ-
ÌËË ∆x → 0 ËÏÂÂÏ
∂
∂
∂
∂
v
s
t
m
‚
x
+ = 0. (IV.43)
èÓÒÍÓθÍÛ ‚ ÔÓËÒÚÓÈ Ò‰ ÒÓ‰ÂʇÚÒfl ÚÓθÍÓ ÌÂÙÚ¸ Ë
‚Ó‰‡, ÚÓ Ì‡Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ÔÓËÒÚÓÈ Ò‰˚ ÌÂÙÚ¸˛ s
Ì
= 1 – s.
ê‡ÒÒχÚË‚‡fl ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ Ô‰˚‰Û˘ ÂÏÛ ÒÍÓÓÒÚË ÔÓÌËÍÌÓ‚ÂÌËfl
ÌÂÙÚË ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ Ô·ÒÚ‡ Ë ‚˚ıÓ‰‡ ËÁ Ì„Ó, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
∂
∂
∂
∂
v
s
t
m
‚Ì
x
− = 0. (IV.44)
ëÍ·‰˚‚‡fl Û‡‚ÌÂÌËfl (IV.43) Ë (IV.44), ËÏÂÂÏ
∂
∂x
Ì‚ Ì‚
(); ().vv vvvt+= +=0 (IV.45)
êËÒ. 77. CıÂχ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ Ô·ÒÚ‡
ÔË ÌÂÔӯ̂ÓÏ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËË ÌÂÙ-
ÚË ‚Ó‰ÓÈ
168
í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÒÛÏχ̇fl ÒÍÓÓÒÚ¸ ÙËθڇˆËË ÌÂÙÚË Ë ‚Ó-
‰˚ Ì ËÁÏÂÌflÂÚÒfl ÔÓ ÍÓÓ‰Ë̇Ú x, ˜ÚÓ Ë ÒΉӂ‡ÎÓ ÓÊˉ‡Ú¸,
Ú‡Í Í‡Í ÌÂÙÚ¸ Ë ‚Ó‰Û ÔËÌËχ˛Ú Á‡ ÌÂÒÊËχÂÏ˚ ÊˉÍÓÒÚË.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÂÊËÏ Ô·ÒÚ‡ ÊÂÒÚÍËÈ ‚Ó‰Ó̇ÔÓÌ˚È.
ëÍÓÓÒÚË ÙËθڇˆËË ‚Ó‰˚ Ë ÌÂÙÚË ÔÓ‰˜ËÌfl˛ÚÒfl Ó·Ó·˘ÂÌ-
ÌÓÏÛ Á‡ÍÓÌÛ Ñ‡ÒË, Ú‡Í ˜ÚÓ
vv
kk s p
x
kk s p
x
‚
‚
‚
Ì
Ì
Ì
= − = −
()
;
()
,
µ
∂
∂ µ
∂
∂
(IV.46)
„‰Â k
‚
Ë k
Ì
,
µ
‚
Ë
µ
Ì
– ÓÚÌÓÒËÚÂθÌ˚ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË, Á‡‚ËÒfl˘ËÂ
ÓÚ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË s Ë ‚flÁÍÓÒÚË ‚Ó‰˚ Ë ÌÂÙÚË.
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÙÛÌÍˆË˛ f(s), ̇Á˚‚‡ÂÏÛ˛ ÙÛÌ͈ËÂÈ Å‡ÍÎË –
ã‚ÂÂÚÚ‡. èË ˝ÚÓÏ
fs
v
vv
ks
ks ks
()
()
() ()
,
=
+
=
+
‚
‚Ì
‚
‚
‚
Ì
Ì
µ
µ
(IV.47)
ËÎË
fs v vt() / ().=
‚
(IV.48)
àÁ (IV.48), ‰ËÙÙÂÂ̈ËÛfl v
‚
ÔÓ x, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
∂
∂
∂
∂
v
s
x
vtf s
‚
x
=
′
() ()
. (IV.49)
èÓÒΠÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍË (IV.49) ‚ (IV.43) ÔÓÎÛ˜ËÏ Ó‰ÌÓ ‰ËÙÙÂ-
Â̈ˇθÌÓ ۇ‚ÌÂÌË ÔÂ‚Ó„Ó ÔÓfl‰Í‡ ‰Îfl ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl s, Ú.Â.
vtf s m
s
x
s
t
() () .
′
+=
∂
∂
∂
∂
0 (IV.50)
èÓ Ï ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó Ô·ÒÚ‡
ÙÓÌÚ ‚˚ÚÂÒÌfl˛˘ÂÈ ÌÂÙÚ¸ ‚Ó‰˚ ÔÓ‰‚Ë„‡ÂÚÒfl Í ÍÓÌˆÛ Ô·ÒÚ‡ Ë
‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ‚ ͇ʉÓÏ Ò˜ÂÌËË Á‡‚Ó‰ÌÂÌÌÓÈ Ó·Î‡ÒÚË ÌÂ-
ÔÂ˚‚ÌÓ Û‚Â΢˂‡ÂÚÒfl. èÓˆÂÒÒ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ
ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ÏÓÊÌÓ Ô‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ Ë ËÌ˚Ï Ó·‡ÁÓÏ,
ÒΉfl Á‡ ËÁÏÂÌÂÌËÂÏ ÔÓ Ô·ÒÚÛ ÌÂÍÓÚÓÓÈ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË.
ÖÒÎË, ̇ÔËÏÂ, ‚ ͇ÍÓÈ-ÚÓ ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË ‚ ÌÂÍÓÚÓÓÏ Ò˜Â-
ÌËË Ô·ÒÚ‡ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ cÓÒÚ‡‚Îfl· s = s
1
, ÚÓ ÒÔÛÒÚfl ÓÔÂ-
‰ÂÎÂÌÌÓ ‚ÂÏfl ˝Ú‡ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ·Û‰ÂÚ Ë ‚ ÍÓ̈ Ô·ÒÚ‡,
Ú‡Í Í‡Í ÌÂÙÚ¸ ÔÓÒÚÂÔÂÌÌÓ ËÁ‚ÎÂ͇ÂÚÒfl ËÁ ÌÂ„Ó Ë Â ÏÂÒÚÓ Á‡ÌË-
χÂÚ ‚Ó‰‡. ÑÎfl Û͇Á‡ÌÌÓ„Ó s = const ÏÓÊÌÓ ÔËÌflÚ¸
ds dx dt
s
x
s
t
=+=
∂
∂
∂
∂
0,
ËÎË
∂
∂
∂
∂
∂
∂
s
x
x
t
s
t
+
= 0. (IV.51)
169
뇂ÌËÏ (IV.50) Ë (IV.51). éÌË ·Û‰ÛÚ Ë‰ÂÌÚ˘Ì˚ÏË, ÂÒÎË
ÔÓÎÓÊËÚ¸
∂
∂
x
t
fsvt
m
=
′
()()
.
(IV.52)
ìÏÌÓÊËÏ Ë ‡Á‰ÂÎËÏ (IV.52) ̇ bh Ë ÔÓËÌÚ„ËÛÂÏ. èÓÎÛ-
˜ËÏ
bhmx = f
′
(s)Q
‚Á
(t); Q
‚Á
(t) =
bhv t dt
t
() .
0
∫
(IV.53)
é·ÓÁ̇˜ËÏ
ξ
= bhmx/Q
‚Á
(t), (IV.54)
ÚÓ„‰‡
ξ = f′(s). (IV.55)
ᇉ‡‚‡fl s ‚ ÙÓÏÛΠ(IV.55), ÏÓÊÌÓ ÓÔ‰ÂÎËÚ¸ ‡ÒÒÚÓflÌËÂ
ÓÚ ‚ıÓ‰‡ ‚ Ô·ÒÚ ‰Îfl ‰‡ÌÌÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË. é‰-
̇ÍÓ ‚ ÔÂËÓ‰ ·ÂÁ‚Ó‰ÌÓÈ ˝ÍÒÔÎÛ‡Ú‡ˆËË Á‡Í‡˜Ë‚‡Âχfl ‚Ó‰‡ ¢Â
Ì ‰ÓÒÚË„‡ÂÚ ÍÓ̈‡ Ô·ÒÚ‡. óÚÓ·˚ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ ÔÓÎÓÊÂÌË ÙÓÌ-
Ú‡ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ Ë ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ̇ ÙÓÌÚ ‚˚-
ÚÂÒÌÂÌËfl, ‡ÒÒÏÓÚËÏ Ï‡Ú¡θÌ˚È ·‡Î‡ÌÒ Á‡Í‡˜‡ÌÌÓÈ ‚ Ô·ÒÚ
‚Ó‰˚. ÖÒÎË Í ÏÓÏÂÌÚÛ ‚ÂÏÂÌË t ‚ Ô·ÒÚ Á‡Í‡˜‡Ì Ó·˙ÂÏ ‚Ó‰˚,
‡‚Ì˚È Q
‚Á
(t), ‡ÒÒÚÓflÌË ÓÚ x = 0 ‰Ó ÙÓÌÚ‡ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÒÓ-
ÒÚ‡‚ËÚ x
‚
, ̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ Ô·ÒÚ‡ Ò‚flÁ‡ÌÌÓÈ ‚Ó‰ÓÈ s = s
Ò‚
, ÚÓ
‚Á ‚ Ò‚
‚
Q t bhm s x dx bhmx s
x
() ( ) .= −
∫
0
(IV.56)
àÒÔÓθÁÛÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ӷÓÁ̇˜ÂÌËfl:
xx
Q
bhm
Q
bhm
==
‚Á
‚
‚Á
‚
ξξ;;
dx
Q
bhm
d
=
‚Á
ξ. (IV.57)
íÓ„‰‡, ÔÓ‰ÒÚ‡‚Îflfl (IV.57) ‚ (IV.56), ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
sds() .ξξ ξ
ξ
− =
∫
0
1
‚
c‚ ‚
(IV.58)
èÓÒÍÓθÍÛ ξ = f′(s), ÚÓ dξ = f′′(s)ds.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ËÁ (IV.58)
sf s ds s f s
s
s
′′
=+
′
∗
∫
() ( ).1
‚
c‚ ‚
(IV.59)
170
Ç ‚˚‡ÊÂÌËË (IV.59) ÔËÌflÚÓ, ˜ÚÓ ÔË x = 0 Ë
ξ
= 0, Ú.Â. ̇
‚ıӉ ‚ Ô·ÒÚ, Ï„ÌÓ‚ÂÌÌÓ ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡ÂÚÒfl ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ s
∗
,
ÔË ÍÓÚÓÓÈ k
Ì
= 0 (ÒÏ. ËÒ. 40), ‡ ̇ ÙÓÌÚ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl Á̇-
˜ÂÌˠ ‚ Ú˜ÂÌË ‚ÒÂ„Ó ÔÓˆÂÒÒ‡ ÒÓÒÚ‡‚ËÚ s
‚
.
Ç˚ÔÓÎÌËÏ ËÌÚ„ËÓ‚‡ÌË ‚ ΂ÓÈ ˜‡ÒÚË (IV.59) ÔÓ ˜‡ÒÚflÏ.
àÏÂÂÏ
sf sds sfs fsds
s
s
s
s
s
s
′′
=
′
−
′
=
∗
∗∗
∫∫
()
|
() ()
‚
‚‚
= s
‚
f
′
(s
‚
) – s
∗
f
′
(s
∗
) – f(s
‚
) + f(s
∗
). (IV.60)
Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË ÒÓ Ò͇Á‡ÌÌ˚Ï ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ s
∗
ÛÒڇ̇‚-
ÎË‚‡ÂÚÒfl ‚ Ò˜ÂÌËË ξ = 0. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, f′(s
∗
) = 0, ÔÓ˝ÚÓÏÛ Ë
‚ÚÓÓÈ ˜ÎÂÌ ‚ ÙÓÏÛΠ(IV.60) ‡‚ÂÌ ÌÛβ. чÎÂÂ, ÔÓÒÍÓθÍÛ
k
Ì
(s
∗
) = 0, ÚÓ, Òӄ·ÒÌÓ ÙÓÏÛΠ(IV.47), f(s
∗
) = 1. í‡ÍËÏ Ó·‡-
ÁÓÏ, ËÁ (IV.59) Ë (IV.60) ÔÓÎÛ˜ËÏ
s
‚
f′(s
‚
) – f(s
‚
) = s
Ò‚
f′(s
‚
),
ÓÚÍÛ‰‡
f′(s
‚
) =
fs
ss
()
.
‚
‚Ò‚
−
(IV.61)
ç‡ ËÒ. 78 Ô˂‰ÂÌ „‡ÙËÍ, ÔÓÒÚÓÂÌÌ˚È Ò Û˜ÂÚÓÏ ÍË‚˚ı
ÓÚÌÓÒËÚÂθÌ˚ı ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚÂÈ, ‰‡ÌÌ˚ı ̇ ËÒ. 40, ÔË
µ
‚
/µ
Ì
= 0,5.
èÓ ÍË‚ÓÈ f(s) ÏÓÊÌÓ Ì‡ÈÚË Á̇˜ÂÌË s
‚
„‡Ù˘ÂÒÍËÏ ÔÛÚÂÏ.
Ç Ò‡ÏÓÏ ‰ÂÎÂ, Òӄ·ÒÌÓ ËÒ. 78,
f′(s
‚
) = tgα =
fs
ss
()
.
‚
‚Ò‚
−
èӂ‰fl ͇҇ÚÂθÌÛ˛ Í ÍË‚ÓÈ f(s) ËÁ ÚÓ˜ÍË s = s
Ò‚
, ÔÓ ÚÓ˜ÍÂ
͇ڇÌËfl (ÒÏ. ËÒ. 78) ÓÔ‰ÂÎflÂÏ f(s
‚
) Ë s
‚
.
ÑÎfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ̇ÈÚË ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË ÔÓ
‰ÎËÌ Ô·ÒÚ‡, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÔÓÒÚÓËÚ¸ ÍË‚Û˛ f′(s) (ËÒ. 79).
ùÚÓ ÏÓÊÌÓ Ò‰Â·ڸ ÏÂÚÓ‰ÓÏ „‡Ù˘ÂÒÍÓ„Ó ‰ËÙÙÂÂ̈ËÓ‚‡ÌËfl
ÍË‚ÓÈ f(s) ËÎË, Ô‰ÒÚ‡‚Ë‚ ÍË‚˚ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌ˚ı ÔÓÌˈ‡Â-
ÏÓÒÚÂÈ ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍË, ‚˚ÔÓÎÌËÚ¸ ‰ËÙÙÂÂ̈ËÓ‚‡ÌË ‡Ì‡ÎËÚË-
˜ÂÒÍËÏ ÔÛÚÂÏ, ҉·‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Â ÔÓÒÚÓÂÌËÂ.
éÔ‰ÂÎËÏ ‰ÎËÚÂθÌÓÒÚ¸ ·ÂÁ‚Ó‰ÌÓ„Ó ÔÂËÓ‰‡ ‰Ó·˚˜Ë ÌÂÙÚË,
Ú.Â. ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË t = t
∗
, ÍÓ„‰‡ ÙÓÌÚ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ‰ÓÒÚË„ÌÂÚ
ÍÓ̈‡ Ô·ÒÚ‡ Ë, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ, x
‚
·Û‰ÂÚ ‡‚ÂÌ l. ÅÛ‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸,
˜ÚÓ Í ˝ÚÓÏÛ ÏÓÏÂÌÚÛ ‚ÂÏÂÌË ‚ Ô·ÒÚ Á‡Í‡˜‡ÌÓ Q
‚Á
= Q
∗
(t
∗
)
‚Ó‰˚. àÁ (IV.57) ËÏÂÂÏ