Задачи по кинематике с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
v = v
o
− at.
Здесь время t — это 1.06 + 2.2 = 3.26 c. Проведя вычисления, получим v = 2.44 м/с.
Для определения общего пути S
общ
до остановки воспользуемся формулой:
S
общ
=
v
кон
2
− v
o
2
=
−v
o
2
=
v
o
2
.
−2a −2a
7
2a
7
Здесь конечная скорость v
кон
= 0, поскольку тело в конце пути остановилось. Ускорение и
начальную скорость мы определили чуть выше.
Получим S
общ
= 40.33 м.
Уравнение пути: S = 22t −
3t
2
,
скорости: v = 22 − 6t,
ускорения: a = −6 м/с
2
.
Ответ: v
o
= 22 м/с, a = −6 м/с
2
, S
общ
= 40.33 м.
3. Свободное падение .
3.1.Задача 1: в последние 2 сек тело проходит вдвое больший путь
Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с, в последние 2 с падения
прошло путь вдвое больший, чем в две предыдущие 2 с. Определить время падения и
высоту, с которой тело было брошено. Построить график зависимости пройденного пути,
ускорения и скорости от времени.
Решение:
Сделаем рисунок к задаче и введем следующие обозначения:
h
1
— расстояние пройденное телом в две предыдущие секунды, тогда
2h
1
— расстояние пройденное телом за последние две секунды,
t — время падения с высоты H.
Высота падения тела H равна:
H =
7
v
o
t +
gt
2
7 7 (1),
2
7
а высота h (без четырех секунд) равна:
h =
7
v
o
(t − 4) +
g(t − 4)
2
7 7 (2).
2
7
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:
3h
1
= 4v
o
+
gt
2
−
g(t − 4)
2
.
2 2
7
То есть:
h
1
=
4
v
o
+
gt
2
−
g(t − 4)
2
7 7 (3).
3 6 6
7
Составим еще одно уравнение высоты:
h + h
1
= v
o
(t − 2) +
g(t − 2)
2
7 7 (4).
2
7
Вычитая из уравнения (1) уравнение высоты (4), получим в конце (формула исправлена):
h
1
= v
o
+
gt
2
−
g(t − 2)
2
7 7 (5).
4 4
7
Приравнивая правые части уравнений (3) и (5), имеем (после преобразований) t = 4,5 c,
тогда высоту, с которой падало тело, можно рассчитать по формуле (1). Высота равна
123,75 м.
Для построения графиков составим уравнения пути H(t), g(t) и v(t):
H = 5t +5t
2
, 7 g = 10 м/с
2
= const, 7 v = 5 + 10t.
Примечание: начало отсчета выбиралось в точке бросания тела, и ось направлялась
вертикально вниз (по вектору начальной скорости и ускорения), что видно из графиков.
4. Криволинейное движение :
4.1.Задача 1: скорость падения камня, брошенного под углом к горизонту
Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой
скоростью он упал на землю?
Решение:
Если камень был в полете 2 с, то в силу симметрии 1 с он
летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы
пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную
составляющую V
x
скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с
камень приобретет вертикальную скорость V
y
, равную:
V
y
= gt
Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной
составляющей в момент падения:
V =
v
y
=
gt
sin α sin α
Искомая скорость равна V = 20 м/с.
Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.
4.2.Задача 2: тело бросают горизонтально с вершины наклонной плоскости
С вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°, бросают тело в
горизонтальном направлении. Если через 3,5 с тело ударилось о плоскость, то с какой
начальной скоростью оно было брошено?
Решение:
Высоту полета тела H определим по формуле:
H = gt
2
.
2
7
Дальность полета по горизонтали S будет равна:
S = v
o
t.
Отношение высоты полета тела H к дальности полета по горизонтали S равно:
gt
2
•
1
= tg α.
2 v
o
t
Находим v
o
:
gt
7
= tg α.
2v
o
gt
7
= tg α.
2v
o
7
v
o
=
gt
.
2tg α
Если принять g = 10 м/с
2
, то v
o
= 10.1 м/с.
Ответ: начальная скорость тела равна 10.1 м/с.
4.3.Задача 3: найти радиус кривизны траектории брошенного тела
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после
начала движения.
Решение:
Радиус кривизны траектории — это радиус окружности R, по которой в этот момент
движется тело.
Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая
равна v
y
= gt:
v = √(v
x
2
+ v
y
2
) = √(v
x
2
+ (gt)
2
). 7 7 (1)
Нормальное ускорение тела a
n
:
a
n
=
v
2
,
R
7
откуда радиус окружности R равен:
R =
v
2
. 7 7 (2)
a
n
Нормальное ускорение a
n
связано соотношением:
a
n
= g•cos α,
где
cos α =
v
x
,
v
тогда:
a
n
=
gv
x
. 7 7 (3)
v
7
Подставляя (3) и (1) в (2), получим:
R =
vv
2
=
√(v
x
2
+ (gt)
2
)
• (v
x
2
+ (gt)
2
).
gv
x
gv
x
После вычислений R = 104,2 м.
Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.
5. Движение по окружности
5.1.Задача 1: колесо вращается равнозамедленно
Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 минуту частоту
вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2 кг•м
2
. Найти:
1) угловое ускорение колеса;
2) тормозящий момент;
3) работу сил торможения;
4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.
Решение:
При равнозамедленном вращении колеса имеем изменение угловой скорости:
Δw = w
2
− w
1
= 2πn
2
− 2πn
1
= 2π(n
2
− n
1
).
Угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости ко времени
ε =
Δw
=
2π(n
2
− n
1
)
.
t
7
t
Момент торможения (тормозящий момент) будет равен:
M = Jε = J
2π(n
2
− n
1
)
.
t
7
Работа сил торможения равна изменению кинетической энергии:
−A = W
2
− W
1
=
Jw
1
2
−
Jw
1
2
=
J(2πn
2
)
2
−
J(2πn
1
)
2
= 2π
2
J(n
2
2
− n
1
2
).
2 2 2
7
2
7
То есть:
A = 2π
2
J(n
1
2
− n
2
2
).
Наконец, число оборотов можно определить так (поскольку движение равнозамедленное):
N =
t(n
1
+ n
2
)
.
2
7
Проведем расчеты:
ε = −0.21 рад/с
2
; 7 М = −0.42 Н•м; 7 A = 631 Дж; 7 N = 240 оборотов.
5.2.Задача 2: человек переходит в центр вращающейся платформы
На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг. Платформа представляет
собой круглый однородный диск массой 160 кг, вращающийся вокруг вертикальной оси,
проходящий через ее центр, с частотой 6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать
платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Момент инерции
рассчитывать как для материальной точки.
Решение:
Система «человек–платформа» замкнута в проекции на ось
Y, т. к. моменты сил M
m1g
= 0 и M
m2g
= 0 на эту ось. Следовательно, можно
воспользоваться законом сохранения момента импульса. В проекции на ось Y:
J
1
w
1
= J
2
w
2
, 7 7 (1)
где J
1
— момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J
2
— момент
инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w
1
и w
2
— угловые скорости
платформы в обоих случаях. Здесь
J
1
=
m
2
R
2
+ m
1
R
2
,
7
2
7
J
2
= m
2
R
2
, 7 7 (2)
7
2
7
где m
1
, m
2
— массы человека и платформы соответственно, R — радиус платформы.
Подставляя (2) в (1) и учитывая, что w = 2πn, где n — частота вращения платформы,
получим:
(
m
2
R
2
+ m
1
R
2
)2πn
1
=
m
2
R
2
2πn
2
.
7
2
7
7
2
7
Решаем последнее уравнение относительно неизвестной частоты вращения "платформы-
человек" n
2
:
n
2
=
m
2
+ 2m
1
n
1
.
m
2
После вычислений: n
2
= 0.2 (об/с) = 12 об/мин. Задача это ВУЗовская и решена здесь по
просьбе посетителей в виде исключения.
5.3.Задача 3: найти линейную и угловую скорости точек экватора Земли
Экваториальный радиус Земли равен 6370 км. Определить линейную и угловую скорости
движения точек экватора при вращении Земли вокруг оси.
Решение:
Линейная скорость вращения ν точек земного экватора:
ν =
2πR
,
T
а угловая скорость вращения w всех точек Земли равна:
w =
2π
.
T
После вычислений будем иметь: ν = 463 м/с, w = 7,3×10
−5
рад/с.