Задача. Система Массового Обслуживания с неограниченной очередью. Служба доставки пиццы
Подождите немного. Документ загружается.
Задача. Система Массового Обслуживания с неограниченной очередью.
Служба доставки пиццы.
1. В круглосуточной службе доставки пиццы 7 доставщиков
2. В случае выезда всех доставщиков к клиентам заявки принимаются
неограниченно.
3. Доставщик выполняет заказ в среднем за 25 минут.
4. Служба доставки использует следующий рекламный ход. Стоимость
пиццы уменьшается в зависимости от времени её доставки t (минут) и
равна С пиццы=5*(60-t) рублей.
5. З/п доставщика равна 10000 рублей в месяц.
6. У службы доставки 10500 клиентов.
Задача 1. Известно 1), 2), 3), 4), 5), 6). Определить все параметры СМО и
прибыль компании.
Задача 2. Известно 2), 3), 4), 5), 6). Какое число доставщиков должно
быть в службе доставки, чтобы среднемесячная прибыль компании была
максимальной?
Задача 3. Известно 1), 2), 3), 4), 5). Сколько должно быть клиентов, чтобы
среднемесячная прибыль компании была максимальной?
1
1. Параметры СМО и прибыль компании
Формализуем задачу.
Данная задача относится к задачам СМО с неограниченной очередью (
m
). Интенсивность потока заявок равна λ= 10500 (заявок/мес).
Исходно имеется 7 каналов обслуживания (7 доставщиков работают
одновременно): n=7. Среднее время обслуживания одним каналом (среднее
время, которое тратит доставщик, чтобы доставить один заказ) t = 25 мин.
Стоимость пиццы уменьшается в зависимости от времени её доставки t
(минут) и равна С
пиццы
=5*(60- t) рублей.
Воспользуемся всеми заданными условиями
1. Число каналов обслуживания n = 7;
2. Заявки принимаются неограниченно, т.е.
m
;
3. Среднее время обслуживания одним доставщиком
t
= 25 мин.,
тогда количество обслуживаемых заявок в ед. времени
(интенсивность обслуживания):
=
)/(4,2
25
60
)/(
25
11
часзаявкиминзаявки
t
4. Средняя стоимость пиццы (при
.25минt
) равна
С
р
=5*(60-25)=175 руб.
5. З/п доставщика 10000 руб.
6. Интенсивность потока заявок:
)/(58,14
24
350
)/(350
30
10500
.)/(10500 часзаявоксуткизаявокмесзаявок
Найдем все основные параметры системы массового обслуживания.
075,6
4,2
58,14
868,0
n
Поскольку
1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить
о предельном стационарном режиме работы СМО.
2
Найдем вероятность состояний:
1
2
0
0
`
1
0
)*
!
...
!2!1
1(
,...),...,2,1(
!
),...,2,1(
!
nn
mi
nn
p
p
np
n
n
n
где p
0
– вероятность того, что все каналы свободны (не занят ни один из
доставщиков);
p
1
– вероятность того, что один из каналов занят (один из
доставщиков имеет заказ);
p
k
- вероятность того, что заняты k каналов, остальные свободны;
p
n+ί
– вероятность того, что заняты все n каналов, ί заявок, находятся в
очереди.
Находим:
!6
075,6
!5
075,6
!4
075,6
!3
075,6
!2
075,6
!1
075,6
1(
65432
0
p
1
7
)
075,67
075,6
!7
075,6
005,0299,656)887,397814,69952,68751,56367,37453,18075,7(
)
925,0
075,6
*
5040
075,6
720
075,6
120
075,6
24
075,6
6
075,6
2
075,6
075,61(
11
1
765432
;075,0002,0*
!3
075,6
;037,0002,0*
!2
075,6
;009,0002,0*
!1
075,6
3
3
2
2
1
1
p
p
p
121,0002,0*
!7
075,6
;139,0002,0*
!6
075,6
;138,0002,0*
!5
075,6
;114,0002,0*
!4
075,6
7
7
6
6
5
5
4
4
p
p
p
p
и т.д.
Так как заявки принимаются неограниченно (m
), то вероятность
отказа равна 0:
3
P
отк
=0
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа
до единицы:
q=1-P
отк
=1
Абсолютная пропускная способность СМО:
)/(58,14 часзаявокqA
Обозначим среднее число занятых каналов
z
. Каждый занятый канал
обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом
обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на
другое, получим:
075,6
A
z
Вероятность отсутствия очереди будет:
635,0121,0139,0138,0114,0075,0037,0009,0002,0
76543210
Среднее число заявок в очереди:
795,0576,7*105,0
)868,01(
1
!7*7
002,0*075,6
)1(
1
*
!
2
8
2
0
1
nn
pp
r
n
.
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее
число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под
обслуживанием (среднее число занятых каналов):
4
87,6075,6795,0 zr
Среднее время ожидания в очереди:
.3,3055,0
58,14
795,0
мин
r
t
ож
Среднее время ожидания заказчиком заказа (среднее время пребывания
заявки в СМО):
.3,28253,3 минttt
ожсмо
Найдем при данных условиях прибыль компании . Так как средняя
стоимость пиццы равна
.175рубС
ср
, у службы доставки в среднем заказов
в месяц, в службе работает
7n
доставщиков с з/п 10000 руб., то прибыль
компании при данных условиях составит:
.17675007*1000010500*17510000* рубnCZ
ср
5
2. Определение при данных условиях количества доставщиков
Определим, сколько при данных условиях должно работать
доставщиков, чтобы среднемесячная прибыль компании была бы
максимальной. Анализ проведем в MS Excel. В таблице 1 показаны
проведенные расчеты.
В строках 1-6 записаны исходные данные задачи. В столбце А с 9-й по
22-ю строку введены количество доставщиков.
Столбец В (средний ежемесячный доход с продажи пиццы), начиная с 9-
й строки по 22-ю строку содержит формулы, распространенные на нижние
строки: =$B$6*$B3$.
Так как средняя стоимость пиццы одинакова и количество заказов
постоянно, то все значения в столбце B одинаковы.
Столбец C (Заработная плата всех доставщиков): =$B$5*A9
Столбец D (Среднемесячная прибыль компании): =B9-C9
Таблица 1
ρ 6,075
m ∞
λ 10500
α 0-1
зарплата 10000
С ср,
руб 175
n С пиццы*λ Зарплата Z α
6
1 1837500 10000 1827500 6,075
2 1837500 20000 1817500 3,0375
3 1837500 30000 1807500 2,025
4 1837500 40000 1797500 1,51875
5 1837500 50000 1787500 1,215
6 1837500 60000 1777500 1,0125
7 1837500 70000 1767500 0,867857
8 1837500 80000 1757500 0,759375
9 1837500 90000 1747500 0,675
10 1837500 100000 1737500 0,6075
11 1837500 110000 1727500 0,552273
12 1837500 120000 1717500 0,50625
13 1837500 130000 1707500 0,467308
14 1837500 140000 1697500 0,433929
В столбце D получена среднемесячная прибыль компании в зависимости
от количества доставщиков. Построим график этой величины от числа
доставщиков (рис.1).
Зависимость прибыли от числа доставщиков
1697500
1707500
1717500
1727500
1737500
1747500
1757500
1767500
1777500
1787500
1797500
1807500
1817500
1827500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Рис.1
Как видно из графика рис.1, чем меньше число доставщиков, тем больше
прибыль компании.
Но очевидно, что при недостаточном количестве доставщиков, все
заказы не смогут своевременно выполняться, то есть очередь будет
7
неограниченно расти. Чтобы очередь не росла, должно выполняться
ограничение:
1
n
Поэтому в столбце E найдем величину α в зависимости от количества
доставщиков: =$B$1/A9
Построим график зависимости α от количества доставщиков (рис.2)
Зависимость a от числа доставщиков
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Рис.2
Как видно из рис.2, при числе доставщиков менее 6 1 , а это означает,
что очередь будет неограниченно расти. Следовательно, компании нужно
иметь не менее 6 доставщиков. Учитывая график зависимости прибыли от
числа доставщиков (рис.1) приходим к выводу, что наиболее оптимальным
для фирмы при данных условиях будет иметь 6 одновременно работающих
доставщиков. Среднемесячная прибыль при этом составит:
Вывод: При прочих постоянных параметрах, компании выгоднее всего
иметь 6 одновременно работающих доставщиков. Тогда среднемесячная
прибыль будет оптимальной и составит 1777500 руб.
8
3.Определение при данных условиях количества необходимых
клиентов
9
Определим, сколько при данных условиях должно быть клиентов, чтобы
среднемесячная прибыль компании была бы максимальной. Анализ также
проведем в MS Excel. В таблице 2 показаны проведенные расчеты.
В строках 1-6 записаны исходные данные задачи. В столбце А с 9-й по
33-ю строку введены количество необходимых клиентов (количество заявок
в час).
Столбец В (средний ежемесячный доход с продажи пиццы), начиная с 9-
й строки по 33-ю строку содержит формулы, распространенные на нижние
строки: =$B$6*A9*24*30
Столбец C (Заработная плата всех доставщиков): =$B$5*$B$2
Столбец D (Среднемесячная прибыль компании): =B9-C9
Таблица 2
m ∞
n 7
μ
(заявок/час) 2,4
α 0-1
зарплата 10000
С ср, руб 175
λ
(заявок/час) пр Зарплата Z ρ α
1 126000 70000 56000 0,416667 0,059524
2 252000 70000 182000 0,833333 0,119048
3 378000 70000 308000 1,25 0,178571
10