Яновский Л.П., Дементьев С.Н. Методичка по выполнению лабораторных работ в пакете MATHCAD
Подождите немного. Документ загружается.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В СИСТЕМЕ
MATHCAD
П р е д у п р е ж д е н и е. Во всех последующих файлах
MATHCAD у системной переменной ORIGIN установлено
значение 1 вместо значения 0 по умолчанию. Для осуществления
этой установки нужно последовательно обратиться к кнопкам
«Математика», «Опции» и в появившемся окне переустановить
значение переменной.
Описательные статистики
Пусть дана случайная выборка, состоящая из
100N
значений признака Х, в виде следующей таблицы:
52.2 54 41 42 58.2 59.3 84.8 45 76.5 58.3
21 55 45 21.5 46 44 42.5 49 48.7 75
15.3 55 23.8 46.5 53 62.8 78.5 67 34.5 49.9
49.7 63 30 32 42.4 22.4 52 70.4 57.2 50
23 47.8 47.4 50.8 78.3 27 56.6 51.3 58.6 28.4
51.7 50 48.8 49.4 57.5 47.4 33.5 27 39.7 57.5
18.4 35.6 28.4 37.6 49.5 26.7 54 68.6 29.3 62.7
43.8 44 69.1 46.3 76.7 37.1 69.2 39.3 30 43
85 63 30 43.8 64.8 22 38.8 42.3 64.8 41
30 10 63 48.8 71.2 54.4 47.8 31.2 46.1 17.8
Для удобства записи вычислений в системе MATHCAD
представим эту таблицу в пятью векторами с 20 элементами в
каждом:
N100
1
A(52.2 54 41 42 58.2 59.3 84.8 45 76.5 58.3 21 55 45 21.5 46 44
42.5 49 48.7 75)
B(15.3 55 23.8 46.5 53 62.8 78.5 67 34.5 49.9 49.7 63 30 32 42.4
22.4 52 70.4 57.2 50)
C(23 47.8 47.4 50.8 78.3 27 56.6 51.3 58.6 28.4 51.7 50 48.8 49.4
57.5 47.4 33.5 27 39.7 57.5)
D(18.4 35.6 28.4 37.6 49.5 26.7 54 68.6 29.3 62.7 43.8 44 69.1
46.3 76.7 37.1 69.2 39.3 30 43)
E(85 63 30 43.8 64.8 22 38.8 42.3 64.8 41 30 10 63 48.8 71.2 54.4
47.8 31.2 46.1 17.8)
Объединим эти векторы в единый массив данных:
M augment (A, B, C, D, E)
M =
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 30 10 63 48.8 71.2 54.4 47.8 31.2 46.1 17.8
Построим вариационный ряд возрастающих значений
данных:
M1
T
M
M2 sort(M1)
M2
T
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 10 15.3 17.8 18.4 21 21.5 22 22.4 23 23.8
Найдем размах выборки:
R max(M2) min(M2) R = 75
Воспользовавшись формулой Стерджеса, определим длину
частичных интервалов, округлив полученное значение до целого
числа:
L round
log(N)3.3221
R
L = 10
2
Число интервалов для построения гистограммы определяем
по формуле
k round
L
R
k = 8
Получим интервальное распределение частот исходной
выборки:
Frhistogram (8, M)
T
Fr
6713232412114
25.8175.7125.6275.5225.4375.3325.2475.14
В первой строке вектора
T
Fr
приведены середины частичных
интервалов, а во второй строке – частоты попадания элементов
таблицы в эти интервалы.
Построим полигон относительных частот выборки.
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Fr
2
N
Fr
Рис.2. Полигон относительных частот выборки.
Построим гистограмму относительных частот выборки:
3
Рис 3. Гистограмма относительных частот выборки.
Построим эмпирическую функцию распределения, используя
возможности программного модуля MATHCAD:
x 0 100
Fr2
Fr
2
N
SFr2 k( ) l 0
l l Fr2
i
i 1 kfor
F x( )
SFr2 i( ) Fr
i 1
x Fr
i 1 1
if
i 1 k 1for
0 0 x Fr
1 1
if
1 Fr
8 1
xif
4
0 20 40 60 80 100
0
0.5
1
F x( )
x
Рис.4. Эмпирическая функция распределения выборки.
Построим, наконец, кумулятивную кривую для нашей
выборки:
s 1 k
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.5
1
SFr2 s( )
Fr
s 1
Рис.5. Кумулята относительных частот выборки.
5
Для вычисления точечных и интервальных выборочных
оценок неизвестных числовых характеристик теоретического
распределения перепишем исходные данные рассматриваемого
примера в виде следующей матрицы:
A
52.2
21
15.3
49.7
23
51.7
18.4
43.8
85
30
54
55
55
63
47.8
50
35.6
44
63
10
41
45
23.8
30
47.4
48.8
28.4
69.1
30
63
42
21.5
46.5
32
50.8
49.4
37.6
46.3
43.8
48.8
58.2
46
53
42.4
78.3
57.5
49.5
76.7
64.8
71.2
59.3
44
62.8
22.4
27
47.4
26.7
37.1
22
54.4
84.8
42.5
78.5
52.
56.6
33.5
54
69.2
38.8
47.8
45
49
67
70.4
51.3
27
68.6
39.3
42.3
31.2
76.5
48.7
34.5
57.2
58.6
39.7
29.3
30
64.8
46.1
58.3
75
49.9
50
28.4
57.5
62.7
43
41
17.8
Найдем абсолютные частоты и середины частичных
интервалов:
Frhistogram (8, A)
T
Fr
6713232412114
25.8175.7125.6275.5225.4375.3325.2475.14
Вычислим выборочную среднюю распределения
T
Fr
,
взвешенную по объемам групп:
n rows(A) cols(A) meanFr
n
FrFr
21
meanFr 47.81
Вычислим выборочную дисперсию распределения
T
Fr
,
взвешенную по объемам групп:
DFr
2
2
2
1
meanFr
n
FrFr
DFr = 273.421
6
Вычислим выборочную дисперсию вторым способом:
DFr1
n
FrmeanFrFr
2
2
1
DFr1 = 273.421
Вычислим среднее квадратическое отклонение Fr,
исправленную выборочную дисперсию S2Fr и исправленное
среднее квадратическое отклонение SFr выборочного
распределения Fr:
Fr
DFr
Fr 16.535
S2Fr
1n
DFrn
S2Fr = 276.183
SFr
S2Fr
SFr = 16.619
Вычислим те же оценки, но используя несгруппированные
данные (матрицу данных А). Для этого сначала образуем из
матрицы А массив А1, поставив в один ряд строки матрицы А:
A1augment
,A
T
1
T
,A
T
2
T
,A
T
3
T
,A
T
4
T
,A
T
5
T
,A
T
6
T
,A
T
7
T
,A
T
8
T
,A
T
9
T
T
10
T
A
A1=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16
1 52.2 54 41 42 58.2 59.3 84.8 45 76.5 58.3 21 55 45 21.5 46 44
Затем используем формулы расчета числовых
характеристик по данным, которые не сгруппированы.
Выборочная средняя:
meanA1
n
A1
meanA1 = 47.312
Выборочные дисперсия и среднее квадратическое отклонение:
var(A1) = 263.136 stdev(A1) = 16.221
7
Исправленные выборочная дисперсия и среднее квадратическое
отклонение:
var(A1) = 265.794 stdev(A1) = 16.303
Рассчитаем доверительные интервалы, покрывающие с
надежностью = 0,95 неизвестные математическое ожидание и
дисперсию фактора А, заданного выборкой в виде матрицы А.
Имеем
0.05 1 = 0.95 1
Получаем
m mean(A1) m = 47.312
s stdev(A1) s = 16.303
Расчет доверительного интервала для математического
ожидания нормально распределенного признака А производится
по формуле
( L U )
n
s
1n,
2
qt m
n
s
1n,
2
qt m
Получаем
( L U ) = ( 44.077 50.547 )
8
i 1 n
0 20 40 60 80 100
0
50
100
Data points
Mean
Sample Mean and SD
m s
m s
Рис.6. Выборочные данные, среднее и с.к.о.
0 20 40 60 80 100
0
50
100
Data points
Mean
Confidence Interval on Mean
L
U
Рис.7. Выборочные данные и 95% доверительный интервал для
математического ожидания фактора А.
9
Построим доверительный интервал для дисперсии и
среднего квадратического отклонения фактора А. Для этого
используется критерий
2
и специальная встроенная в пакет
MATHCAD функция qchisq, вычисляющая критические значения
критерия для заданного уровня значимости.
Введем уровень значимости:
0.05
Отсюда следует, что уровень надежности, с которой
доверительный интервал будет покрывать неизвестную
генеральную дисперсию, равен 1 = 0,95.
Используем вычисленное ранее исправленное среднее
квадратическое отклонение (стандартное отклонение) s и объем
выборки n:
s Stdev(A1) s = 16.303
n length
T
A1
n = 100
Вычисляем критические значения двустороннего критерия
2
при заданном уровне значимости :
0
2
qchisq
1n ,
2
0
2
= 77.046
1
2
qchisq
1n ,
2
1
1
2
= 123.225
Вычисляем нижнюю и верхнюю границы доверительного
интервала для дисперсии:
L
1
2
2
s 1)(n
L = 213.541 U
0
2
2
s 1)(n
U = 341.53
Получаем искомый доверительный интервал:
[213.541; 341.53].
Вычислим границы доверительного интервала для среднего
квадратического отклонения генеральной совокупности,
выборкой из которой является матрица А:
10