Яновский Л.П., Дементьев С.Н. Методичка по выполнению лабораторных работ в пакете MATHCAD

Подождите немного. Документ загружается.

L 

s1)n(





L = 14.613 U 

s1)n(





U = 18.481

Таким образом, искомый доверительный интервал имеет

вид

[14.613; 18.481].

Проверка гипотезы о нормальном распределении признака

с помощью критерия Пирсона

Проведем проверку на нормальность признака X,

выборочное распределение которого задано следующей

матрицей:















8.171.462.318.474.542.718.48631030

418.643.428.38228.648.43306385

43303.392.691.377.763.461.69448.43

7.623.296.68547.265.496.374.286.354.18

5.577.39275.334.475.574.498.48507.51

4.286.583.516.56273.788.504.478.4723

502.574.70524.224.423230637.49

9.495.34675.788.62535.468.23553.15

757.48495.4244465.21455521

3.585.76458.843.592.5842415452.2

Образуем из матрицы А массив А1 поставив в один ряд

строки матрицы А:

A1augment

 







 







A1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 52.2 54 41 42 58.2 59.3 84.8 45 76.5 58.3 21 55 45 21.5 46 44

Вычислим размер выборки N, выборочную среднюю m и

исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s

массива А1:

N length

 

N = 100

m mean(A1) m = 47.312

s Stdev(A1) s = 16.303

Найдем абсолютные эмпирические частоты и середины

частичных интервалов:

Frhistogram (8, A)















6713232412114

25.8175.7125.6275.5225.4375.3325.2475.14

Найдем размах выборки, левые и правые концы частичных

интервалов:

R max(A1)  min(A1) R = 75

Fright

Fright

= (19.438 28.938 38.438 47.938 57.438 66.938 76.438 85.938)

i 2..8

i,1

Frleft



1,1i

Frleft



1,1

Frleft

 100000

Frleft

= (

101

19.438 28.938 38.438 47.938 57.438 66.938 76.438)

8,1

Fright

 100000

Fright

= (19.438 28.938 38.438 47.938 57.438 66.938 76.438

101

)

Найдем вероятности попадания в частичные интервалы

значений признака при условии, что он имеет нормальное

распределение, в котором в качестве числовых характеристик

взяты выборочное среднее и исправленное выборочное среднее

квадратическое отклонение:

)s ;m(~ NX

(учтем, что в конечном

итоге сумма вероятностей должна быть равна 1):

Pteor  pnorm(Fright, m, s)  pnorm(Frleft, m, s)

Pteor

= (0.044 0.086 0.163 0.222 0.217 0.153 0.077 0.037)



1Pteor

Сравним наблюдаемые и теоретические частоты:

obs

exp Pteor  N

obs

= (4 11 12 24 23 13 7 6)

exp

= (4.366 8.621 16.324 22.22 21.742 15.294 7.733 3.701)



100obs



100exp

Для принятия гипотезы введем уровень значимости:

0

Вычислим число степеней свободы критерия



 length(obs)  1   7

Вычислим наблюдаемое значение



2



 



exp

exp) obs(

2 = 3.89

Вычислим критическое значение критерия при выбранном

уровне значимости:

2 qchisp (1 ,  ) 2 = 14.067

Гипотеза о нормальности распределения признака не

отвергается, если выполняется утверждение

2 > 2 = 1

Так как 1 в правой части выражения означает

справедливость неравенства, принимаем гипотезу о

нормальности признака X на выбранном уровне значимости 

0.

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть на уровне значимости 0.05 требуется оценить степень

влияния фактора А на признак Y, используя данные из

следующей таблицы:

Уровни фактора А

Результаты опытов

a1 a2 a3

13.4 10.2 8.1

5.8 9.5 7.3

7.9 11.1 8.4

9.7 7.6

8.1

Составляем векторы-столбцы:

а1 













0.7

8.5

2.11

4.13

а2 













1.8

7.9

1.11

5.9

9.8

2.10

а3 













6.7

4.8

3.7

2.5

1.8

Вводим необходимые постоянные:

общее число наблюдений  N;

число наблюдений на уровнях а1, а2, а3  n1; n2; n3

соответственно;

число уровней фактора А  k.

N  length (a1) + length (a2) + length (a3)

n1  length (a1) n2  length (a2) n3  length (a3)

N = 15 n1 = 4 n2 = 6 n3 = 5

1. Вычисляем групповые средние значений по столбцам и

общую среднюю:













575.9A



583.9A



32.7A



Asr 

a3a2a1

000

















Asr = 8.827

2. Вычисляем факторную и остаточную суммы квадратов:

Sfact 

 



nAsrA

 



nAsrA

 

nAsrA 

Sfact = 17.025

Sostat 

 





Aa1

 





Aa2

 





Aa3

Sostat = 46.044

3. Вычисляем исправленные выборочные факторную и

остаточную дисперсии:

S2F 

Sfact



S2OST 

Sostat



S2F = 8.513 S2OST = 3.837

4. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера:

F1 

S2OST

S2F

F1 = 2.219

5. Вычисляем вероятность того, что значение критерия

Фишера с числом степеней свободы числителя k1 и знаменателя

 Nk превысит F1. Если полученная вероятность окажется

меньше заданного уровня значимости =0,05, то принимается

гипотеза о значимости влияния фактора А. В противном случае

считается, что значимость фактора осталась недоказанной. В

нашем случае имеем

Fkr  1 pF(F1,k1,Nk) Fkr = 0.151

Таким образом, в рассматриваемом примере нам не удалось

подтвердить значимость влияния фактора А на 5% и даже на 10%

и 15% уровнях значимости.

Простая парная регрессия

Имеются следующие данные об урожайности y

сельскохозяйственной культуры в зависимости от дозы

удобрений x:

x(0 20 60 90{ 120 {150)

y(27.4 34.9 38.5 46.6 55.5 67.1)

Введем постоянные

k n6

где k – число объясняющих факторов, а n – число наблюдений в

выборке.

1. Рассчитаем коэффициент корреляции между

предсказывающим фактором х и результирующим фактором y, а

также параметры a, b уравнения регрессии y=a + bx, получаемые

по методу наименьших квадратов. Имеем:

corr

 

y,x

= 0.982

a intercept

 

y,x

a = 26.914

b slope

 

y,x

b = 0.247

Итак, коэффициент корреляции 0,982 весьма высокий, что

свидетельствует о наличии тесной связи между фактором x и

откликом y.

Уравнение простой парной регрессии имеет вид

y= 26.914 + 0.247*x.

2. Проведем дисперсионный анализ качества модели и

проверим гипотезу о значимости уравнения регрессии. Для этого

получим расчетные значения модели y1 и вектор остатков e:

y1 a + b  x y1 = (26.914 31.846 41.712 49.111 56.51 63.909)

e y  y1 e = (0.486 3.054 3.212 2.511 1.01 3.191)

Вычислим сумму квадратов модели S2mod и остаточную

сумму квадратов S2ost:

S2mod (y1  mean(y)) 

mean(y))y1( 

S2mod = (1017.856)

S2ost e 

S2ost = (37.384)

Для проверки значимости модели составим дисперсии

модели и ее остатков, разделив суммы квадратов на

соответствующие степени свободы этих сумм:

Smod

S2mod

Smod = (1017.856)

Sost

1kn

S2ost



Sost = (9.346)

Наблюдаемое значение критерия Фишера равно отношению

полученных дисперсий:

F

Sost

Smod

1,1

F = (108.909)

Выберем некоторый стандартный уровень значимости,

например 0.05.

Если мы считаем гипотезу о незначимости уравнения

регрессии нулевой, а альтернативной является гипотеза о

значимости этого уравнения, то вероятность превышения

наблюдаемого значения критерия Фишера не должна быть

меньше 0.05. В противном случае нулевую гипотезу отвергают и

принимают гипотезу о значимости уравнения регрессии.

Вычисляем:

1 pF(F, k, nk1) =

 

10763.4





Полученная вероятность меньше 0.05, следовательно, мы

признаем уравнение регрессии значимым.

3. Проведем процедуру проверки значимости

коэффициентов регрессии а и b. Для этого вычислим средние

квадратические отклонения коэффициентов:

sb

var(x)n

Sost



sb = (0.072) sa sb

 



sa = (6.529)

Затем вычисляем наблюдаемые значения критерия

Стьюдента для коэффициентов а и b и вероятности их

превышения при использовании двустороннего критерия:

ta

ta = (4.122) tb

tb = (3.414)

10337.8

))pt(4.122,81(







10292.2

))pt(3.414,81(







Как видим, оба коэффициента уравнения значимы на 95%

уровне значимости. Это можно было бы доказать и другим

способом, вычислив критическое значение двустороннего

критерия Стьюдента при 95% уровне значимости:

 0.95  1   qt













 210,



= 2.306

Так как наблюдаемые значения ta=4.122 и tb=3.414 больше

критического значения 2.306, следует признать, что

коэффициенты уравнения значимы.

4. Построим доверительные интервалы для прогноза по

уравнению простой парной регрессии.

Сначала вычисляем среднеквадратическую ошибку

расчетных значений результирующего признака y1 в некоторой

точке х1:

Sy1(x1)Sost

var(x)n

mean(x))x1(







Выберем некоторый уровень надежности , например,

равный 0.95. Тогда доверительный интервал для расчета прогноза

Y1(x1) вычисляется в соответствии с формулами

Y1(x1)a + b  x1

Y1left(x1) Y1(x1)  qt













 2n,



Sy1(x1)

Y1right(x1) Y1(x1) + qt













 2n,



Sy1(x1)

Получаем:

Y1left(50) = (27.664) Y1right(50) = (50.827)

Y1left(100) = (39.71) Y1right(100) = (63.444)

Y1left(150) = (45.234) Y1right(150) = (82.583)

Изобразим прямую Y1=26.914+0.247*x1 и доверительный

интервал для этой прямой:

0 50 100 150 200

100

150

Y1left x1( )

1 1

Y1 x1( )

Y1right x1( )

1 1

Для индивидуальных значений результирующего признака

Y доверительный интервал прогнозируемых значений

рассчитывается по формулам

Syind(x1)Sost



















var(x)n

mean(x))(x1

Y1left(x1) Y1(x1)  qt













 2n,



Syind(x1)

Y1right(x1) Y1(x1) + qt













 2n,



Syind(x1)

Получаем:

Y1left(50) = (10.83) Y1right(50) = (67.661)

Y1left(100) = (23.043) Y1right(100) = (80.11)

Y1left(150) = (31.939) Y1right(150) = (95.878)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ