Воробьев E.A. Теория ультразвуковых колебаний как основа построения и применения технических средств получения информации

Подождите немного. Документ загружается.

3. СОБСТВЕННЫЕ ИНФОРМАТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ

Последующие выводы сделаны в предположении, что поршень фи-

зической модели рис. 1 возвратно перемещается вдоль оси трубы по

гармоническому закону. Найдем частное решение уравнения (1) для па-

раметра а

sin ,



=ω−





(13)

где а – смещение частиц среды относительно среднего положения; А – ампли-

туда смещения частиц; ω – угловая частота; t – время; с – скорость

звука; x – линейная координата по оси трубы.

Величина а – не скорость движения частиц среды, а скорость рас-

пространения их состояния. Ее называют фазовой скоростью.

Выражение (13) описывает плоскую гармоническую волну часто-

ты f = (ω/2π), распространяющуюся в положительном направлении оси x

(рис. 1).

Нетрудно увидеть, что выражение (13) описывает процесс гармони-

ческий, как во времени, так и в пространстве.

Например, если считать пространственную координату неизменной

(т. е. x = const), то выражение (13) примет вид

()

sin ,

At=ω−

(14)

где ϕ = x/c – фазовая постоянная.

Иначе говоря, выражение (14) определяет колебание частиц среды в

сечении трубы, соответствующем постоянной координате x.

Два последующих состояния частиц, например, в сечениях x

и x

характеризуемых одинаковой фазой колебаний, образуют период коле-

баний Т.

Поэтому

() ()

tT t

ω+−

−ω −

=π





(15)

где f – частота звуковых колебаний;

Теперь представим, что в выражении (13) время t – постоянно. Тогда

это выражение примет вид

sin ,



′′

=ωϕ−





(17)

уже определяющий периодический процесс относительно направления

распространения x.

Две соседние точки звуковой гармонической волны на оси x, харак-

теризуемые одинаковой фазой колебаний, связаны соотношением

+λ



′′ ′′

−−ω

−=π





(18)

Отсюда находим

λ=

(19)

где λ – длина волны звуковых (или ультразвуковых) колебаний.

Длина звуковой волны λ и связанная с ней скорость распростране-

ния звуковой волны с – есть информативные параметры, которые по-

зволяют получать объективную измерительную информацию об объек-

те контроля (ОК). Действительно, имея ультразвуковую измеритель-

ную систему, работающую, например, на “прохождение” ОК на час-

тоте f = const, и измеряя, или λ, или с звуковой волны, зависящие от

физических свойств ОК, экспериментально можно определить интере-

сующие нас характеристики материала.

Далее, используя полученные соотношения, исходное выражение (13)

можно записать

()

sin2 sin .

aA A ctx



=π−= −



λλ



(20)

Если колебания частиц среды происходят в направлении распрост-

ранения волны, то говорят об основном типе колебаний, т. е. продоль-

ных колебаниях.

Для продольных колебаний, которые рассматриваются, звуковые вол-

ны состоят из чередующихся с периодичностью Т сжатий и разряжений,

где частицы среды возвратно колеблются вдоль оси x.

Общее выражение для скорости движения частиц среды получим,

дифференцируя по t (13) или (14)

cos cos2 .

xtx

At A

cT T

  

=ω ω − = π −

  

  

(21)

Согласно этому выражению, скорость частиц колеблется от нуля до

некоторой максимальной величины.

Отсюда максимальная амплитуда колебательной скорости будет

=ω

(22)

т. е. чем больше частота колебаний, тем больше амплитуда колебатель-

ной скорости частиц.

Физически это объясняется просто: чем больше частота колебаний,

тем быстрей частицы среды должны перемещаться.

Ускорение частиц среды найдем, дифференцируя еще раз по t выра-

жение (21), и тогда получим

sin sin2 .

xtx

At A

  

=−ω ω − =− π −

  

  

(23)

Таким образом, максимальная амплитуда ускорения частиц:

BAU

=−ω =−ω

(24)

Следовательно, в звуковой или в ультразвуковой волне:

– скорость перемещения частиц среды возрастает пропорционально

частоте;

– ускорение частиц растет пропорционально квадрату частоты коле-

баний (при условии, что амплитуда А смещения частиц остается неиз-

менной).

Последние два вывода полностью совпадают с определением скоро-

сти и ускорения в механике и это не удивительно: в звуковой волне

также имеем дело с механическим движением материальных частиц.

Энергия звуковой волны

Отличительная особенность волнового движения звуковой волны –пе-

ренос энергии в положительном направлении координаты x (рис. 1). При-

чем, в процессе колебаний энергия периодически – с периодом T/2 – пе-

реходит из потенциальной (из области сжатия) в кинематическую (при

движении частиц и образовании зоны разряжения).

Поскольку каждая частица среды колеблется относительно своего

среднего положения (или положения равновесия), то в классическом

волновом процессе имеет место передача энергии без переноса веще-

ства (т. е. частиц среды). Элементарной физической моделью такого

процесса может быть система шаров, расположенных на прямой линии,

которые соединены между собою пружинами. При ударе по первому

шару все шары от второго до последнего будут колебаться относитель-

но своих средних положений, возвратно-поступательное движение от-

носительно среднего положения последнего шара с конечной массой

определит перенос энергии удара от первого шара к последнему. Здесь

следует отметить еще два важных момента в отношении физики пере-

носа энергии звуковой волной.

Во-первых, при очень больших удельных потоках звуковой энергии

возможно поступательное движение материальных частиц газа или жид-

кости в направлении распространения (как при взрыве). Возвращаясь к

физической модели с шарами и соединяющими их пружинами, можно

представить следующую ситуацию: при очень сильном ударе по перво-

му шару вся система шаров и пружин будет смещаться в направлении

распространения. Этот сложный и “нестандартный” процесс переноса

энергии звука в акустике называют явлением “звукового ветра”. Его

называют сложным и “нестандартным” потому, что перенос энергии

звука осуществляется как за счет колебания частиц среды относительно

своих средних положений, так и за счет смещения всей массы вещества

среды в направлении распространения. В технологии эффект “звуково-

го ветра” с успехом применяют для бесконтактного смешивания или

разделения агрессивных жидкостей и слабо-текущих композиций.

Во-вторых, рассматривая физическую сущность переноса энергии

звуковой волной (это продольное колебание материальных частиц от-

носительно средних своих положений) и физический перенос энергии

электромагнитным полем (поперечное к направлению распространения

колебания двух векторов E и B, образующих вектор Умова–Пойнтинга),

видим принципиальное отличие первого процесса от второго.

В первом случае, фактически имеем дело с механическим колеба-

тельным процессом, параметры которого описываются законом механики.

Во втором случае, имеем непрерывный поток электромагнитной энер-

гии, который может быть описан только законами электродинамики.

Из-за этого отличия физической сущности переноса энергии звуко-

вой волной от переноса энергии электромагнитным полем принципи-

ально различными оказываются контрольно-измерительные устройства

получения информации, построенные на их основе. Вернемся к опре-

делению энергии звуковой волны.

Если плотность среды, в которой распространяется волна, обозна-

чить через ρ, то кинетическая энергия в единице объема будет

2222

Эcos.

UAt



=ρ =ρω ω−





(25)

Средняя кинетическая энергия в единице объема, учитывая среднее

значение квадрата косинуса, равным 1/2, будет

Э.

=ρω

(26)

Среднее значение потенциальной энергии

в единице объема вы-

ражается той же величиной. Поэтому полная средняя энергия звуковой

волны в единице объема:

кп

Э=Э+Э.

(27)

Величину

еще называют полной средней энергией звуковой вол-

ны в единице объема, и аналитически она может быть записана

22 22 2

Э2 .

AfAU

∑

=ρω =πρ =ρ

(28)

Таким образом, средняя плотность энергии в “бегущей”, упругой

звуковой волне пропорциональна плотности среды ρ, квадрату ампли-

туды колебаний А

и квадрату частоты f

Здесь имеется полная аналогия с процессами движения в механике:

действительно, полная энергия, например качающегося маятника, оп-

ределяется подобным образом.

Средняя плотность энергии звуковой волны

измеряется в Дж/м

или в Вт·с/м

, так как 1Дж=1Вт·с (и эта размерность вытекает из фор-

мулы (28)).

В плоской звуковой волне средняя плотность энергии

остается

постоянной, ибо поверхность волнового фронта, соединяющая точки с

одинаковой фазой, через которую проходит энергия, не меняется.

Амплитуда А плоской волны остается постоянной. Этому идеально-

му случаю соответствуют простейшая физическая модель рис. 1 и при-

водимые формулы, в которых A = const. На практике этому случаю с

некоторой натяжкой можно отнести: корабельные переговорные трубы

и медицинские фонендоскопы.

В действительности, в воздухе, в различных средах, в материалах

первоначально сформированный звуковой пучок не может сохранять

фронт своей волны плоским. Реально звуковой пучок расширяется и

при этом отклоняется от плоскости его фронт, и энергия звуковой вол-

ны распределяется в большем телесном углу.

Так, в сферических звуковых волнах, излучаемых точечным источ-

ником, энергия, проходящая через единицу поверхности волнового фрон-

та, убывает пропорционально квадрату расстояния от источника.

Центром возмущения, так называемых цилиндрических волн, явля-

ется прямая линия и здесь плотность энергии звуковой волны уменьша-

ется пропорционально первой степени расстояния от источника звука.

В бытовой акустической технике и акустических системах измере-

ния, контроля и дефектоскопии качества материалов и изделий имеем

дело со сложными звуковыми потоками.

Формирование требуемого волнового фронта ультразвукового излу-

чателя и ультразвукового датчика (преобразователя) – это конкретные

задачи проектирования технических средств получения информации,

что и будет сделано в завершающем разделе курса ФОПИ.

Сила (интенсивность) звука

С плотностью энергии в звуковой волне простым образом связана

сила или интенсивность звука F. Под силой звука F понимают энергию,

проходящую в единицу времени через единичную поверхность, ориен-

тированную перпендикулярно к направлению распространения волны.

В плоской волне сила звука равна энергии, заключенной в паралле-

лепипеде, площадь основания которого равна единице площади (напри-

мер, 1 м

!), а высота определяется скоростью звука с в м/с в данной среде.

Объем такого условного параллелепипеда будет измеряться в м

, а энер-

гия, заключенная в 1 м

Э,



(29)

Отсюда для силы звука получим

22 2 2

111

Э.

222

FccA B cU

==ρω= =ρ



(30)

Причем, как это видно из формулы (30), сила звука зависит от плот-

ности среды ρ, скорости распространения звука с и квадрата амплитуды

колебательной скорости U. Сила звука измеряется в Вт/м

, и эта раз-

мерность следует из формулы (30).

В акустической технике, в быту и при определении уровня силы

шума в помещениях, на улице, на аэродромах и т. п. уровень силы звука

измеряется в дБ.

Уровень силы звука определяется по следующей формуле:

()

пор

дБ 10lg ,

(31)

где P

– уровень силы звука в в определенном месте, Вт/м

; P

пор

– “по-

роговая сила звука”, Вт/м

В качестве “пороговой силы звука” принимают величину, равную

–12

, Вт/м

, или 10

–16

, Вт/см

. Сила звука лежит на уровне чувстви-

тельности человеческого уха, поэтому она называется “пороговой”. Ло-

гарифмический масштаб очень удобен и всегда применяется для оцен-

ки силы звука при контроле среды обитания человека. В частности,

устанавливаются предельно допустимые уровни силы звука для жилых

и цеховых помещений, для территорий аэродромов и т. п. в дБ.

Если интегрировать силу звука F в Вт/м

по замкнутой поверхности

S, охватывающей источник звука или ультразвука, то определим общую

акустическую энергию Э

ист∑

, излучаемую источником звука в единицу

времени

ист

Эd,

∑

∫



(32)

т. е. в результате интегрирования получим полную акустическую мощ-

ность источника звука Э

истΣ

, которая измеряется в Вт.

Сила звука F является информативным параметром, по которому,

например, зная размеры апертуры в м

акустического приемника и

его чувствительность в Вт, можно установить энергетический диа-

пазон его работы. Сила звука также оказывается одной из основных

характеристик гидроакустических станций и бытовых и измеритель-

ных акустических систем, предопределяющих эффективность их при-

менения.

Переменное давление звуковой волны

Как видно из формулы (30), сила звука при всех прочих равных ус-

ловиях зависит от плотности среды ρ, где звуковая (ультразвуковая) волна

распространяется.

Это означает, что, например, на апертуру механического датчика-пре-

образователя, будет оказываться не одинаковое давление при размеще-

нии последнего в разных по своим плотностям средах.

При выводе выражения для давления в звуковой волне D использу-

ется ньютоново уравнение движения. Согласно ему, произведение плот-

ности ρ единицы объема на ускорение b должно быть равно силе, дей-

ствующей на единичный объем, в качестве которого в звуковой волне

принимается перепад давления в направлении ее распространения, т. е.

величина dD/dx. Поэтому понятие давления звуковой волны, как пра-

вило, применяют к “подвижным” средам, таким как газы и жидкости.

Итак, уравнение движения применительно к звуковой волне в газе

ρ=−

(33)

или с учетом выражения (23)

sin .



−ρω ω − =−





  

(34)

Интегрируя выражение (34) по x, непосредственно находим иско-

мую зависимость звукового давления D от координаты и времени

cos ,

DD Ac t



=+ρωω−





(35)

где D

– нормальное атмосферное давление в отсутствии звукового поля.

Величину

DcAcU

=ω

(36)

называют амплитудой звукового давления, которое при данной силе зву-

ка

()

FcU

=ρ

не зависит от частоты звуковых колебаний.

Избыточное давление, создаваемое звуковым полем, измеряется в

атмосферах так же, как давление воздушной среды или воды на опреде-

ленной глубине. (Напомним, что 1 атм =1 кг/см

Отметим, что по величине амплитуды звукового давления можно

определить силу звука (что особенно важно для приборов, измеряющих

силу звука по давлению).

Для этого применяют простое соотношение

DDU

(37)

Если учесть, что максимум и минимум давления лежат на протяже-

нии одной длины волны в направлении ее распространения, то станет

очевидным, что в звуковом поле имеют место градиенты давления. Вы-

ражение для этих градиентов легко найти, дифференцируя выражение

(35) по x,

sin sin .

dD x D x

At t

dx c c c

 

=ρω ω − = ω −

 

 

(38)

Средний градиент давления

∆

на участке звуковой волны между

точками максимума и минимума звукового давления будет

атм

см

∆=

(39)

где B – амплитуда ускорения частиц среды.

При всех прочих равных характеристиках звуковой волны перепад

звукового давления пропорционален плотности среды. Этот факт хоро-

шо нам известен: один и тот же по силе источник звука в воздухе чело-

веческим ухом воспринимается легко, а в воде очень болезненно.

Акустическая жесткость и волновое (акустическое)

сопротивление среды

Как видно, из приведенных выше рассуждений все параметры зву-

ковой волны в значительной степени предопределяются свойствами

среды, где волна распространяется. Понятно, что удельная плотность,

“вязкость”, “упругость” среды (и это чисто механические ее характери-

стики), конечно, препятствуют, “сопротивляются” распространению

звуковой волны. Для оценки “сопротивляемости” среды волновому рас-

пространению звука введены две константы.

Первая константа – это акустическая жесткость среды; она рас-

считывается

А.ж

=ρ ω=

(40)

Здесь показана зависимость звукового давления D от амплитуды сме-

щения частиц среды A.

Константа Q

А.ж

в практике акустических измерений имеет ограни-

ченное применение, так как прямо связана с частотой ω, что и ограни-

чивает общность оценки “сопротивляемости” среды распространению

звуковых волн.

Вторая константа – это волновое (или акустическое) сопротивле-

ние среды. Эта константа среды более наглядно и обобщенно показыва-

ет ее “сопротивляемость” распространению звуковых волн. По анало-

гии с элетрорадиотехникой в акустике, как правило, используют тер-

мин акустического сопротивления R

, которое рассчитывается

кг м

,, ,

=ρ ⋅ =

(41)

в которой R

связано только с двумя параметрами: ρ – плотностью сре-

ды и скоростью распространения звуковых волн в этой среде – с. В этой

связи оказывается своеобразной и необычной для термина “сопротив-

ление” – размерность акустического сопротивления R

Как видно из формулы (41), акустическое сопротивление R

в дей-

ствующей системе единиц измеряется в кг

–2

–1

Как показывают расчеты и подтверждающие их эксперименты, для

различных сред абсолютные значения R

оказываются резко отличающи-

мися друг от друга (например, R

воздуха в 10

меньше R

вольфрама).

Форма записи акустического сопротивления выглядит следующим

образом:

(42)

где D – амплитуда звукового давления; U – максимальная амплитуда

колебательной скорости.

Акустическое сопротивление внешне совпадает с электрическим за-

коном Ома. Поэтому последнее соотношение (42) считают акустичес-

ким аналогом закона Ома.

Но между электрическим законом Ома и его акустическим аналогом,

общность только внешняя, а существующие отличия принципиальны.