Водовозов А. Цифровые элементы систем автоматики. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
11
Для записи операции логического умножения используются много различных
форм:
2&1212121
XXXXXXXXY =∧=⋅==
(2.1)
Условные графические обозначения элементов по различным стандартам
показаны на рис. 2.1.
а) б) в)
Рис.2.1. Условные обозначения логического элемента И:
а) по ГОСТ и стандарту МЭК б) по стандарту DIN в) по стандарту milspec
Дизъюнкция
Дизъюнкция (логическое сложение, операция ИЛИ, OR):
функция принимает
единичное значение, если единице равна хотя бы одна из входных переменных (табл.
2.2).
Таблица 2.2.
Таблица истинности для дизъюнкции двух переменных :
X1 X2 Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Для аналитической записи функции также используется несколько
равноправных форм: 2121
XXXXY +=∨= ,
( 2.2)
однако использование символа “
+
” не всегда удобно из-за возможной
путаницы логического и арифметического сложения. Условные обозначения
элементов показаны на рис. 2.2.
а) б) в) г)
Рис. 2.2. Условные обозначения логического элемента ИЛИ:
а) по ГОСТ, б) по стандарту МЭК, в) по стандарту DIN, г) по стандарту milspec
Инверсия
Инверсия (отрицание, операция НЕ):
функция одной переменной, принимает
единичное значение, если входная переменная равна нулю (табл. 2.3).
12
Таблица 2.3.
Таблица истинности для инверсии переменной
X Y
0 1
1 0
Аналитическая запись функции возможна в нескольких видах:
XXY ¬== .
( 2.3)
Для функции НЕ используется несколько вариантов условных обозначений в
пределах каждого стандарта (рис. 2.3).
Изображение элемента НЕ в отечественном стандарте совпадает со
спецификацией МЭК.
а) б) в)
Рис. 2.3. Условные обозначения логического элемента НЕ:
а) по ГОСТ и стандарту МЭК, б) по стандарту DIN, в) по стандарту milspec
Законы и теоремы булевой алгебры
В булевой алгебре действуют свои законы и теоремы. Многие из них имеют
привычный для обычной алгебры вид. Некоторые противоречат привычным
представлениям.
Коммутативный (переместительный
) закон записывается в привычном для
нас виде, справедлив как для логического сложения, так и для логического
умножения:
1221xxxx
⋅=⋅
1221
xxxx ∨=∨
(2.4)
Ассоциативный (сочетательный
) закон также действует в обычной
арифметике и справедлив для логического сложения и логического умножения:
3)21()32(1
xxxxxx ⋅⋅=⋅⋅
3)21()32(1
xxxxxx ∨∨=∨∨
( 2.5)
Дистрибутивный (распределительный
) закон. Только первая запись этого
закона не вызывает у нас удивления. Вторая явно противоречит представлениям
обычной алгебры.
3121)32(1
xxxxxxx ∨=∨
)31()21()32(1
xxxxxxx ∨⋅∨=∨
(2.6)
Все остальные правила и теоремы относятся только к алгебре логики. В
обычной алгебре они явно бессмысленны.
Правило склеивания
:
1)21(1
xxxx =∨
1211
xxxx =∨
( 2.7)
Правило повторения
:
xxx =⋅ xxx =∨
( 2.8)
Правило отрицания
:
0
=⋅xx
1
=∨ xx
( 2.9)
13
Правило двойного отрицания
:
()
xx
=
( 2.10)
Теорема де Моргана
()
2121
xxxx ∨=⋅
()
2121
xxxx ⋅=∨
( 2.11)
Последняя теорема (2.11) имеет очень широкое применение. Она позволяет
перейти от логического умножения к логическому сложению (и обратно) и, в
принципе, позволяет строить различные логические схемы используя ограниченный
набор логических элементов.
Распространенные логические операц ии
Наряду с простейшими распространены и более сложные логические
элементы, сочетающие в себе несколько простейших операций. Такими являются
логические элементы
И-НЕ , ИЛИ-НЕ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ
ИЛИ
.
Штрих Шеффера
Элемент
И-НЕ
реализует функцию двух переменных:
()
21XXY
⋅=
,
соответствующую табл. 2.4. Функция имеет собственное оригинальное название
“штрих Шеффера”.
Таблица 2.4.
Таблица истинности элемента И-НЕ
X1 X2 Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Условное обозначение логического элемента И-НЕ в любом стандарте
объединяет в себе обозначение элемента И и кружок, являющийся признаком
элемента НЕ (рис. 2.4)
а) б) в)
Рис.2.4. Условное обозначение логического элемента И-НЕ:
а) по ГОСТ и стандарту МЭК, б) по стандарту DIN, в) по стандарту milspec
Стрелка Пирса
Элемент ИЛИ-НЕ реализует функцию:
()
21
XXY ∨=
, описанную в табл. 2.5.
Функция известна под названием “стрелка Пирса”.
14
Таблица 2.5.
Таблица истинности логической функции ИЛИ-НЕ
X1 X2 Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Условные обозначения здесь, также как в предыдущем случае, объединяют в
себе обозначение элемента ИЛИ и кружок - символ операции НЕ (рис. 2.5)
а) б) в) г)
Рис. 2.5. Условное обозначение логического элемента ИЛИ-НЕ:
а) по ГОСТ, б) по стандарту МЭК, в) по стандарту DIN, г) по стандарту milspec
Эквивалентность
Элемент
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (РАВНОЗНАЧНОСТЬ
) описывается таблицей
2.6. В ней выходная переменная
Y
принимает единичные значения только при
равенстве входных переменных
X0=X1=X2
.
Таблица 2.6.
Таблица истинности логической функции ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
X0 X11 X2 Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Функция имеет собственное обозначение и может быть выражена через
простейшие логические операции:
210210210XXXXXXX~X~XY
⋅⋅∨⋅⋅==
(2.12)
Рис. 2.6. Условное обозначение логического элемента ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ по ГОСТ и стандарту МЭК
15
Исключающее ИЛИ
Элемент
ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, «1 и только 1», Exclusive OR)
работает в
соответствии с таблицей 2.7.
Таблица 2.7. Таблица истинности элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ
X0 X1 X2 Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
В таблице, единичные значения функции соответствуют строкам, содержащим
только одну единицу. Функция сравнительно просто выражается с помощью
элементарных логических операций:
210210210XXXXXXXXXY
⋅⋅∨⋅⋅∨⋅⋅=
( 2.13).
Рис. 2.7. Условное обозначение логического элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ
Сумма по модулю 2
Элемент СУММА ПО МОДУЛЮ 2
(MOD2)
работает в соответствии с
таблицей 2.8.
Таблица 2.8.
Таблица истинности элемента СУММА ПО МОДУЛЮ 2
X0 X1 X2 Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
16
В таблице, единичные значения функции соответствуют строкам, в которых
младший разряд арифметической суммы входных переменных равен 1. Функция
имеет собственное обозначение:
210XXXY
⊕⊕=
( 2.14).
Рис. 2.8. Условное обозначение логического элемента СУММА ПО МОДУЛЮ 2
Необходимо отметить, что три логических элемента ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ,
СУММА ПО МОДУЛЮ 2 и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ при двух входных переменных
имеют полностью идентичные таблицы истинности (табл. 2.9).и полностью
взаимозаменяемы.
Таблица 2.9.
Таблица истинности элементов ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и
СУММА ПО МОДУЛЮ 2
x1 x2 y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Неэквивалентность
Элемент
(НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ)
работает в
соответствии с таблицей 2.10.
Таблица 2.10.
Таблица истинности элемента НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
x1 x2 y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
В таблице единичные значения функции соответствуют неравенству входных
переменных.
Рис. 2.9. Условное обозначение логического элемента НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Мажоритарность
Мажоритарный элемент
имеет много входов. Выходная переменная элемента
принимает единичное значение, если большая часть её входных переменных равна
единице. Так, переменная
Y
на выходе трехвходового мажоритарного элемента
17
принимает единичное значение, если два или три его входа имеют единичное
значение (табл. 2.11).
Таблица 2.11.
Таблица истинности трехвходового мажоритарного элемента
X0 X11 X2 Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Логическая функция элемента может быть выражена через элементарные
логические операции: 202110
XXXXXXY ⋅∨⋅∨⋅=
( 2.14)
Условное обозначение элемента по ГОСТ и стандарту МЭК приведено на рис.
2.10.
Рис. 2.10. Условное обозначение трехвходового мажоритарного элемента
Функционально-полный набор логических элементов
Набор логических элементов, достаточный для построения любой сколь
угодно сложной логической схемы, называется
функционально полным
.
Очевидно, что функционально полным является набор элементов И, ИЛИ, НЕ.
Из этого набора можно исключить некоторые элементы без нарушения
функциональной полноты. В частности, функционально-полным считается набор из
двух элементов: И и НЕ. В этом случае для выполнения операции ИЛИ дву х
переменных х1 и х2 просто по уравнению:
2121
xxxx
⋅=∨
строится схема на трех
элементах НЕ и одном элементе И. Уравнение вытекает из теоремы де Моргана (2.11).
Совершенно аналогично можно доказать, что функционально полным является
набор из элементов ИЛИ и элементов НЕ. Здесь на основании формулы де Моргана
элемент И реализуется по уравнению 2121
xxxx ∨=⋅
.
Функционально-полным является набор, состоящий только из элементов И-
НЕ. В этом наборе элементы И, ИЛИ, НЕ получают по уравнениям:
xxxxxxxxxxxxxxx =⋅=∨⋅=⋅
,221121,212121 .
Подобным образом доказывается функциональная полнота набора из
элементов ИЛИ-НЕ.
18
Логические функции
Таблица истинности
Логическая фу нкция нескольких переменных однозначно задается в виде
таблицы истинности
, в которой для каждой возможной комбинации входных
переменных указывается соответствующее значение функции. В общем случае, для
n
переменных возможно
n
2
различных сочетаний и, следовательно, таблица
истинности для функции
n
переменных должна иметь
2
n
строк. В качестве примера,
некоторая функция
y
трех переменных
х1, х2, х3
записана в таблице 2.12.
Таблица 2.12 .
Пример таблицы истинности функции трех переменных
х1 х2 х3 y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Карта Карно
Компактной и очень удобной формой записи логической функции,
используемой наряду с таблицей истинности, является карта Карно. Эта же форма
записи иногда называется
диаграммой Вейча.
Карта Карно представляет собой
прямоугольник, разделенный на клеточки. Количество клеток в карте Карно равно
количеству строк в таблице истинности. Каждая клетка соответствует одной строке
таблицы. Комбинации входных переменных распределяются по двум сторонам
прямоугольника, а соответствующие значения функции - в клетках таблицы,
находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих выбранным
состояниям переменных
Карта Карно для функции двух переменных содержит четыре клетки и имеет
форму квадрата (рис. 2.11).
х1
0 1
х2
0 1 0
1 0 1
Рис. 2.11 . Пример карта Карно для функции двух переменных
Два возможных значения первой переменной
x1
отражаются обычно на
верхней стороне квадрата, значения второй переменной x
2
- на левой стороне. В
качестве примера в карту записана рассмотренная ранее функция
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, соответствующая таблице 2.6.
19
Соседними считаются клетки карты, отличающиеся значениями только одной
входной переменно1. В карте Карно двух переменных (рис. 2.12) каждая клетка имеет
две соседние. Карта Карно для функции трех переменных состоит из 8 клеток и имеет
обычно 2 строки и четыре столбца (рис. 2.12).
x1 x2
00 01 11 10
x3
0 1 0 0 0
1 1 0 1 1
Рис. 2.12. Пример карты Карно для функции трех переменных
На верхней стороне прямоугольника каждому столбцу ставится в соответствие
одна комбинация входных переменных
x1
и
x2
. Причем, при переходе от каждого
столбца к соседнему имеет право измениться только одна переменная, а первый и
последний столбцы карты также считаются соседними. Для примера в карту занесена
функция из таблицы 2.9.
В карте трех переменных (рис. 2.13) каждая клетка имеет три соседние.
В карте Карно для функции четырех переменных 16 клеток, размещенных в
четырех столбцах и четырех строках. Две переменные
x1
и
x2
располагаются наверху
квадрата, а две другие
x3
и
x4
- слева (рис. 2.11).
x1 x2
00 01 11 10
x3x4
00 1 0 0 1
01 1 0 0 0
11 1 0 0 0
10 1 0 1 1
Рис. 2.13. Пример карты Карно для функции четырех переменных
В отличие от предыдущего случая здесь каждой строчке таблицы
соответствует определенная комбинация двух переменных
x3
и
x4.
При переходе от
каждой строки к соседней меняется только одна переменная, а первая и последняя
строки карты также как и крайние столбцы считаются соседними. Каждая клетка
карты имеет четыре соседние клетки. Для примера в карту занесена произвольная
логическая функция:
4314221
xxxxxxxy
∨∨=
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Аналитически одна и та же логическая функция может быть записана
различными логическими выражениями. Наиболее удобной формой записи функции
принято считать
совершенную дизъюнктивную нормальную форму.
Для получения
такой записи:
o
В таблице истинности выделяют строки, в которых функция принимает
единичные значения
20
o
Для каждой выделенной строки составляется конъюнкция всех входных
переменных, причем сомножитель записывают со знаком инверсии, если
переменная принимает в этой строке нулевое значение.
o
Записывается логическая сумма всех составленных логических
произведений.
Например, для функции, заданной в таблице 1.10, логическое выражение в
совершенной дизъюнктивной нормальной форме представляется в виде четырех
слагаемых:
321321321321xxxxxxxxxxxxY
∨∨∨=
( 2.15)
Аналогичным образом функция в совершенной дизъюнктивной нормальной
форме может быть записана по карте Карно. Например, для карты рис. 2.11.
соответствующая логическая функция имеет вид:
432143214321
4321432143214321
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxy
∨∨∨
∨∨∨∨=
(2.16)
Минимизация логических функций
Законы и теоремы булевой алгебры позволяют минимизировать (упростить)
логическое выражение, представленное в совершенной дизъюнктивной нормальной
форме. При небольшом количестве переменных минимизацию удобно осуществлять
непосредственно по карте Карно. Если в карте Карно встречаются группы из 2-х, 4-х,
8-ми и т.д. соседних ячеек, содержащих единицы, которые можно выделить контуром
в виде квадрата или прямоугольника, то такая группа может быть описана одним
логическим произведением. В это произведение входят только неизменные для всех
ячеек данной группы переменные. Например, в карте Карно четырех переменных рис.
2.14 можно выделить группу из четырех клеток в первом столбце, группу из четырех
угловых клеток и группу из двух соседних клеток в нижней строке.
Рис. 2.14. Минимизация функции четырех переменных
В результате минимизированная функция представляет из себя сумму трех
произведений, соответствующих отдельным группам:
4314221xxxxxxxy
∨∨=
.
3. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРИБОРЫ
Логические элементы строятся на простейших полупроводниковых приборах:
диодах, транзисторах. Для обеспечения устойчивой работы элементов приборы
используются в импульсных режимах, что обеспечивает формирование релейных