Валеев С.Г., Клячкин В.Н. Практикум по прикладной статистике: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Выборочные частные коэффициенты определяются по формуле

4. Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции найдем

выборочные значения статистики Стьюдента:

В качестве альтернативной примем гипотезу

≠

0. Границы

критической области

найдем по таблице

Видим, что коэффициент

12/3

оказался незначимым (значение статистики

– в области принятия решения) коэффициенты

13/2

23/1

– значимы.

5. Находим коэффициент детерминации, рассматривая переменную

(ползучесть бетона) как результативную:

где |

| – определитель корреляционной матрицы:

тогда

6. Для проверки значимости множественного коэффициента детерминации

найдем выборочное значение статистики Фишера

где

= 8,

= 3. Тогда

В качестве альтернативной примем гипотезу

> 0. Тогда граница

критической области определяется квантилью

1-α

(

– 1,

–

), которую

найдем по таблице

0.9

(2, 5) = 3.78.

Видим, что выборочное значение статистики Фишера попало в

критическую область, поэтому гипотеза

о незначимости отвергается,

коэффициент детерминации значим, что указывает на существование корреля-

ционной связи между ползучестью бетона с одной стороны и расходом цемента

и влажностью с другой.

4.5.

Корреляционный анализ в Excel

Для построения диаграммы рассеяния используется

Мастер диаграмм

Тип диаграммы:

Точечная

. Построим диаграмму рассеяния для данных из

примера 4.1: результат показан на рис. 4.2.

0,7 0,8 0,9 1

Рис. 4.2

Для расчета коэффициента корреляции и проверки его значимости могут

быть использованы встроенные функции КОРРЕЛ (коэффициент корреляции) и

СТЬЮДРАСПОБР (для вычисления квантилей распределения Стьюдента).

Обратите внимание на ввод уровня значимости alfa в последней функции:

функция предназначена для использования в двустороннем критерии, у нас по

условию задачи – правосторонний (т. е. односторонний) критерий, поэтому

введено удвоенное значение уровня значимости. Исходные данные введены в

ячейках В1:М2, функция СЧЕТ – в ячейке N21. Результаты приведены на рис.

4.3.

n =

=СЧЁТ(B1:M1) 12

r =

=КОРРЕЛ(B1:M1;B2:M2) 0,90

t =

=N22*КОРЕНЬ((N21-2)/(1-N22^2)) 6,61

alfa =

0,05 0,05

tkp =

=СТЬЮДРАСПОБР(2*N25;N21-2) 1,81

Рис. 4.3

Для расчета выборочного коэффициента корреляции также можно

воспользоваться инструментом анализа данных Корреляция (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Это особенно удобно, если требуется найти парные коэффициенты

корреляции для нескольких переменных.

Рис. 4.5

На рис. 4.5 приведены выборочные данные и результат расчета для

данных из примера 4.3.

4.6.

Корреляционный анализ в Statistica

Для анализа степени тесноты линейной связи между переменными может

быть построена корреляционная матрица. Выберите в стартовой панели

команду Корреляционные матрицы, в окне Корреляция Пирсона; задайте один

из двух возможных типов корреляционных матриц, квадратную или

прямоугольную. Введите все три переменные М1, М2 и NEWVAR из таблицы

исходных данных для анализа.

После щелчка ОК получите корреляционную матрицу. Красным цветом в

ней выделены корреляции, значимые на уровне значимости 0,05: такой

оказалась корреляция между переменными М2 и NEWVAR.

Рис. 4.6

Щелчком по кнопке Матрица можно построить матричный график с

гистограммами по каждой переменной, диаграммами рассеяния между каждой

парой переменных и соответствующими линиями регрессии (рис. 4.7), удобный

для визуальной оценки переменных и связей между ними.

Рис. 4.7

Контрольные вопросы

1. Какая зависимость называется стохастической?

2. Что означает некоррелированность случайных величин Х и У?

3. В каком случае коэффициент корреляции равен по модулю единице?

4. Выведите формулу для определения ковариации двумерной выборки.

5. Как проверить значимость коэффициента парной корреляции?

6. Как строится ковариационная матрица?

7. Как вычисляются коэффициенты корреляционной матрицы?

8. Что означает равенство коэффициента детерминации нулю? единице?

9. Для чего определяется частный коэффициент корреляции?

10. Как проверить значимость коэффициента детерминации?

Глава 5

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

5.1.

Парная линейная регрессия

Регрессионный анализ – раздел прикладной статистики, изучающий связь

между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми

переменными. Вначале рассмотрим парный анализ, когда независимая

переменная одна. Пусть эта переменная Х принимает некоторые

фиксированные значения x

, x

, …, x

. Соответствующие значения зависимой

переменной Y имеют

разброс вследствие погрешности измерений и различных

неучтенных факторов и оказались равными y

, y

, …, y

Если предположить, что связь между переменными линейна, то

соответствующая регрессионная модель имеет вид

Y =

x +

, (5.1)

где

– параметры линейной регрессии,

– случайная ошибка

наблюдения; предполагается, что математическое ожидание М(

) = 0, а

дисперсия D(

) =

постоянна.

Задача регрессионного анализа сводится к оценке параметров регрессии

, проверке гипотезы о значимости модели и оценке её адекватности –

достаточно ли хорошо согласуется модель с результатами наблюдений?

Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших

квадратов: в качестве оценок принимаются такие значения

, которые

минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений

от

расчетных точек –

. Для парной линейной модели эти оценки определяются

по формулам:

xxy

ββ

−=

(5.2)

где

,))((

∑∑

−=−−=

yxnyxyyxxQ

iiiixy

(5.3)

(5.4)

Расчетное значение y

x. Разности между наблюдаемыми и

расчетными значениями

−

, называются остатками, а соответствующая

сумма квадратов – остаточной суммой квадратов:

(5.5)

Воспользуемся алгоритмом однофакторного дисперсионного анализа, где

(5.6)

– общая сумма квадратов, а сумма квадратов, обусловленная регрессией, есть

(5.7)

Тогда остаточную сумму квадратов можно вычислить из тождества

= Q

+ Q

. (5.8)

Линейная регрессионная модель называется незначимой, если параметр

. Для проверки гипотезы H

= 0 используется статистика Фишера

, (5.9)

которая при заданном уровне значимости

сравнивается с квантилью F

1-α

(1, n

– 2) с числом степеней свободы 1 и (n – 2); если оказывается

F > F

1-α

(1, n – 2),

то гипотеза H

отклоняется и говорят, что регрессионная модель статистически

значима.

Кроме значимости проверяется и адекватность модели. Иногда

адекватность проверяется по диаграмме рассеивания с нанесенной расчетной

прямой. Если же адекватность неочевидна, то проводят специальную проверку.

В этом случае необходимо иметь несколько результатов наблюдений y

при

одних и тех же значениях x

, i = 1, …, m; j =1, …, n

, где m – количество

различных значений x

. Очевидно,

∑

. Если модель адекватна

результатам наблюдений, то средние из n

наблюдений

∑

должны

быть близки к вычисленным значениям

, то есть сумму квадратов

можно рассматривать как меру неадекватности модели, остаточную сумму

квадратов можно представить в виде суммы

= Q

+ Q

где Q

– сумма квадратов чистой ошибки

Для проверки адекватности модели используется статистика Фишера

Если выборочное значение этой статистики оказывается меньше

критического значения F

1-α

(m – 2, n – m), то гипотеза об адекватности линейной

модели принимается. Если же это условие не выполняется, то используют одну

из нелинейных моделей.

Проверка адекватности модели не всегда возможна. Если нет

дополнительных измерений Y, ограничиваются сравнением статистки F c F

1-α

Если

F > 4 F

1-α

(m – 2, n – m),

то модель считается пригодной для использования при прогнозе значений Y по

известным значениям Х.

5.2.

Парная нелинейная регрессия

В общем случае нелинейная регрессионная модель (нелинейная по

фактору Х, но линейная по параметрам

) имеет вид

, (5.10)

где

– неизвестные параметры, а

(x) – известные базисные функции. Они

могут быть степенными

(x) = x

, тригонометрическими

(x) = sin(

x) и т. д.

Используя метод наименьших квадратов, для оценки параметров можно

получить нормальную систему:

в частности, если рассматривается параболическая модель

, (5.11)

имеем k = 3,

(x) = x,

(x) = x

и нормальная система примет вид:

для гиперболической модели

, (5.12)

(5.13)

Мы рассмотрели регрессионные модели, нелинейные по фактору Х , но

линейные по параметрам

. Во многих практических задачах зависимость

между Х и Y нелинейна и по параметрам. В этом случае по возможности

пытаются свести нелинейную по параметрам модель к модели, линейной по

параметрам.

Пусть, например, зависимость между переменными z и х имеет вид

Представим ее в виде

и введем новую переменную у = 1/z, тогда получим модель

y =

линейную по параметрам. Если

то, прологарифмировав:

,ln

ββ

и введя обозначение

zy ln

также получим линейную модель.

По аналогии с парной линейной регрессией, проводится проверка

значимости и адекватности модели.

Очевидно, для одного набора опытных данных (x

, y

) можно использовать

различные модели, которые окажутся и значимыми, и адекватными. Для

характеристики качества той или иной модели используется коэффициент

корреляции, показывающий степень тесноты линейной связи между опытными

значениями y

, и их предсказаниями

по модели.