Усенков Н.И., Трубникова В.Н. Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической и общей электротехники

Н.И.Усенков

В.Н.Трубникова

Расчет электрических цепей однофазного

синусоидального тока

Методические указания к выполнению РГЗ

для студентов вечернего факультета

Оренбург 2000

ББК 31.211(Я7)

У 74

УДК621.3.01.(07)

Введение

Целью расчета цепей синусоидального тока является определение

напряжений, токов и мощностей (активных и реактивных) в ветвях элек-

трической цепи. Во многих случаях требуется найти не только значения

токов и напряжений, но и сдвиги фаз между ними.

Для анализа и расчета цепей синусоидального тока наиболее удобен

символический метод, основанный на использовании алгебры комплекс-

ных чисел.

1 Основные сведения о символическом методе

При использовании символического метода действия с синусоидаль-

ными функциями токов и напряжений в ветвях электрической цепи заме-

няются действиями с комплексными числами, изображающими эти функ-

ции. Используются следующие основные положения.

Любой вектор

, изображённый

на комплексной плоскости, независимо

от его физического значения, можно

разложить на составляющие

и '

направленные по двум осям прямо-

угольной системы координат (рису-

нок 1).

Ось абсцисс при символическом

изображении векторов называют осью

вещественных (действительных) вели-

чин, а ось ординат – осью мнимых ве-

личин, причем, составляющую вектора

по мнимой оси выделяют посредством

особого множителя (символа мнимой единицы

). Тогда вектор j

можно

аналитически выразить комплексным числом:

’

А’’

Рисунок 1

''Aj'AA

⋅

(1)

Различают три формы записи комплексного числа. Рассмотрим ри-

сунок 2, на котором изображены три одинаковых по абсолютной величине

отрезка, но расположенных различным образом на комплексной плоско-

сти. Отрезок 1 может быть описан с помощью комплексных выражений

одним из следующих способов:

(

)

sinjcosААjАА

′

= ,

(2)

первая форма записи называется алгебраической, вторая – тригонометри-

ческой. На основании формулы Эйлера:

αα

esinj =+cos получают по-

казательную форму записи комплексного числа

⋅

Здесь:

А’

Рисунок 2

() ()

АААА

′′

′

== – модуль ком-

плексного числа

;

arctgAarg

′

– аргумент ком-

плексного числа

;

(

)

АА Re

′

– действительная (реальная)

часть комплексного числа

;

(

)

АА Im

′

– коэффициент при мнимой

части комплексного числа

Модуль комплексного числа оп-

ределяет длину вектора, изображающе-

го это число, а аргумент – положение

вектора относительно оси действитель-

ных величин.

Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а

мнимые отличаются только знаком, называются сопряженными (отрезки 1

и 3 на рисунке 2):

(

)

αα

eAsinjcosААjАА ⋅=+=

′′

′

= ,

()

αα

eAsinjcosААjАА

−

⋅=−=

′′

−

′

= .

(3)

Отрезок 2 (рисунок 2) может быть описан в комплексной форме сле-

дующим образом:

(

)

jjjj

⋅

⋅=⋅

(4)

Отсюда следует, что умножение комплексного числа на множитель

типа

равнозначно повороту отрезка (вектора) на комплексной плос-

кости на угол

± . Поэтому множитель

называется поворотным. В

частном случае, когда

= , т.е. когда поворот вектора осуществляется

на угол

± , из формулы Эйлера следует:

jsinjcosе

±=±=

ππ

(5)

Таким образом, умножение комплексного числа на множитель j

означает поворот соответствующего вектора на угол

± . Если аргумент

поворотного множителя сделать функцией времени, например,

⋅

, то

вектор, будучи умноженным, на множитель вращения

, превратится во

вращающийся с угловой скоростью

радиус-вектор, а выражение

(

)

tjjtj

⋅

называется комплексной функцией времени или комплексным мгновен-

ным значением и свидетельствует о том, что вектор

вращается вокруг

начала координат, начиная от исходного положения 1 (см. рисунок 2).

Производная от комплексной функции времени

()

[][]

()

αωωαωααω

ωω

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅

tjtjjtjjtj

eAjeeAjeeA

(6)

Интеграл от комплексной функции времени

() ()

αωωαωααω

ωω

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅

∫∫

tjtjjtjjtj

eeA

dteeAdteA

(7)

Следовательно, дифференцирование и интегрирование функцией

времени в символической форме заменяют умножением или делением на

j исходных комплексных функций. Это обстоятельство позволяет алгеб-

раизировать интегро-дифференциальные уравнения и существенно упро-

стить расчеты.

Если теперь изложенные математические основы символического

метода перевести на “электротехнический язык”, то применительно к на-

пряжению получим (рисунок 3):

– комплексное напряжение

tjj

eUeeUU

⋅=⋅⋅=

(8)

где

eUU ⋅=

– комплексная амплитуда напряжения (исходное поло-

жение вектора на комплексной плоскости).

– мгновенное значение напряжения

[

]

[

]

(

)

[

]

=⋅=⋅⋅=⋅=

tjj

eUeeUeUu ImImIm

()

(

)

[]

(

)

++= tsinUtsinjUtcosU

mmm

(9)

Таким образом, мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС)

являются мнимой частью

ком-

плексной функции времени (9). Сле-

довательно, если имеем комплексное

действующее напряжение (ток, ЭДС)

и хотим получить выражение для

мгновенного значения, то нужно

предварительно заданный комплекс

умножить на

(получим ком-

плексную амплитуду), а затем умно-

жить его на

(получим комплекс-

ную функцию времени) и взять от

полученного комплекса мнимую

часть.

Рисунок 3

U’U’

Замечание – В электротехнике принято над комплексными ампли-

тудами и комплексами действующих значений синусоидальных величин

ставить точку. Иногда точки не ставят, но символы этих величин набирают

“жирным шрифтом”.

Пример 1.1

Дано:

100

⋅=

, тогда мгновенное значение напряжения:

[]

()













⋅=













⋅⋅⋅=⋅⋅=

141Im1002Im2Im

eeeeUu

(

)

141

+= tsin

Пример 1.2

Дано:

(

)

30100 −= tsinu

, тогда комплексная амплитуда напряже-

ния

100

−

⋅=

и комплекс действующего значения напряжения

3030

7,70

100

eeU

−−

⋅=⋅=

2 Закон Ома в комплексной форме

Рассмотрим участок цепи, содержащий: активное сопротивление

индуктивное

и емкостное , по которому протекает синусоидальный

ток

(рисунок 4,а):

б)

Рисунок 4

Вектор напряжения

на зажимах этого участка /1/ получается в ре-

зультате сложения вектора

, совпадающего по направлению с

вектором

IRU

⋅=

, вектора U , опережающего вектор I

⋅jX

на

и векто-

ра U

, отстающего от вектора

СС

⋅−=

на

(рисунок 4,б):

(

)

[

]

IXXjRIjXIjXIRU

CLCL

&&&&&

⋅−+=⋅−⋅+⋅= ,

(10)

Откуда

()

XXjR

−+

(11)

Полученное выражение представляет собой закон Ома для участка

цепи, записанный в символической форме.

Величина

(

XXjRZ

)

−

+= – есть полное сопротивление участка

цепи, выраженное в символической форме (здесь

XХ

). Как всякое

комплексное число, полное сопротивление

Z может быть представлено в

показательной форме:

eZZ

−

⋅= ,

(12)

Модуль этого числа

определяет величину полного

сопротивления участка.

Запишем полную проводимость участка цепи в комплексной форме:

(

)

()()

(

)

+−

−

===

jXR

jXRjXR

jXR

jXRZU

jBG

+=+=

(13)

где

– активная проводимость, См;

– реактивная проводимость, См.

3 Законы Кирхгофа в комплексной форме

В любой узловой точке электрической цепи для мгновенных значе-

ний тока выполняется условие /1, 2/:

∑

(14)

В символическое форме этому соотношению, выражающему первый

закон Кирхгофа, соответствует уравнение:

∑

(14

)

В любом контуре электрической цепи для мгновенных значений

ЭДС и напряжений соблюдается соотношение

∑∑

(15)

выражающее второй закон Кирхгофа. При синусоидальных ЭДС и симво-

лической форме записи, этому соотношению соответствует уравнение:

∑∑∑

===

⋅==

IZUE

111

&&&

(15

)

Комплексные ЭДС

, напряжения

и токи

должны входить в

уравнение (15

) со знаком “+”, если принятые положительные направления

этих величин совпадают с произвольно выбранными направлениями обхо-

да контура и со знаком “–”, когда эти направления противоположны.

4 Выражение мощности синусоидального тока в

комплексной форме

При умножении напряжения на комплексное выражение тока полу-

чаем комплексное выражение полной мощности:

()

⋅

⋅⋅⋅=⋅=

−−

ψψψψ

jjj

iuiu

cos

⋅

⋅⋅=

(16)

Действительная часть произведения

⋅

определяет активную

мощность

, а мнимая часть (без множителя ) – реактивную мощность

. Знак мнимой части определяется характером нагрузки, при индуктив-

ной нагрузке (

) мнимая часть получается со знаком “+”, при ем-

костной (

) – со знаком “-“ /2/.

XХ >

Х <

Модуль

QPS += , равный произведению

⋅

определяет пол-

ную мощность цепи.

Пример 4.1.

Рассчитать символическим методом цепь синусоидального тока,

изображенную на рисунке 5,а.

б)

экв

Рисунок 5

Параметры цепи: 268=

В, 8,0

Ом, 3

R Ом, Ом;

Ом,

5,12

6,1

Х 4

Х Ом, 7,16

Х Ом.

Решение:

Определяем эквивалентное сопротивление разветвленного участка

цепи:

⋅

−

=++= 08,0

7,16

5,12

11111

13,53

321

экв

jjZZZZ

=++−=⋅++⋅=

⋅

−

06,008,016,012,006,008,02,0

7,16

9013,53

jjee

59,26

22,01,02,0

еj

−

⋅=−= ;

2998,3471,4

22,0

59,26

экв

+=⋅=

⋅

−

Находим общее сопротивление всей цепи:

89,36

66,3798,42998,36,18,0

эквL

ejjjZjXRZ ⋅=+=+++=++= .

Ток в неразветвленной части цепи по закону Ома:

817,26727,35672,44

268

89,36

−=⋅=

⋅

−

А,

672,44=I

А..

Напряжение на зажимах разветвленной части схемы:

(

)

=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

−−

0000

89,3659,2689,3659,26

73,199672,44471,4

jjj

эквэкв

eeeIZU

71,35517,19673,199

3,10

−=⋅=

−

В,

73,199=

экв

В.

Выражаем токи в параллельных ветвях схемы:

=⋅=⋅=

⋅

−−−

−

000

43,63)13,533,10(

13,53

3,10

946,39946,39

73,199

экв

727,35868,17 j

−

= А,

946,39

А.

857,2721,15978,15

5,12

73,199

3,10

jе

экв

−=⋅=

⋅

−

А,

978,15

А.

=⋅=⋅=

⋅

+−

−

000

7,79)903,10(

3,10

2,1296,11

7,16

73,199

экв

767,11138,2 j

= А,

96,11

А.

Проверяем правильность расчета: на основании 1-го закона Кирхго-

фа (14

=++−+−=++= 767,11138,2857,2721,15727,35868,17

321

jjjIIII

&&&&

89,36

672,44817,26727,35

−

⋅=−= А

Полная мощность цепи:

6,71869575096,11972672,44268

89,3689,36

jееIUS

+=⋅=⋅⋅=⋅=

ВА,

откуда: 575,9

кВт – активная мощность;

1866,7=Q квар – реактивная мощность.

Векторную диаграмму токов (рисунок 5,б) строят на основании пер-

вого закона Кирхгофа

. В комплексной плоскости, в вы-

бранном масштабе, строят вектор тока

, начальная фаза которого

321

IIII

&&&&

++=

4363,−=

, длина вектора 94639

,I =

, из конца вектора тока

строят

вектора тока

с начальной фазой

10− 3,=

и длиной 978,15

I =

, ана-

логично строят вектор тока

. Соединив полученную точку с началом ко-

ординат получают вектор тока

Векторная диаграмма напряжений представляет собой разность век-

торов общего напряжения

экв

схемы и вектора напряжения на зажимах раз-

ветвленной части схемы

. Из начала координат откладывают вектор

напряжения

, совпадающего с действительной осью комплексной плос-

кости, т.к. начальная фаза его равна нулю. Также из начала координат от-

кладывают вектор напряжения

начальная фаза которого

экв

310,−=

Вектор, полученный в результате разности векторов, представляет собой

вектор напряжения на неразветвленном участке схемы.

5 Пример выполнения задания

Исходные данные: 120=

В; 50

Гц; 75,12

L мГн; Ом; 6

525

,L = мГн; 5

R Ом; 636

C мкФ.

Рисунок 6

1 Определить неизвестные токи в ветвях заданной схемы (рисунок

6) и напряжения на ее элементах символическим методом.

2 Составить уравнение баланса мощностей для данной схемы и про-

верить его соблюдение.

3 Записать мгновенное значение токов в ветвях и напряжений на

элементах цепи.

4 Построить векторную диаграмму токов и топографическую век-

торную диаграмму напряжений на одной комплексной плоскости.

5 Определить показание вольтметра и сравнить его с соответствую-

щим вектором напряжения на топографической векторной диаграмме.

6 Определить показания ваттметра и указать мощность какого участ-

ка цепи он измеряет.

Выполнение задания

1 Исключив из исходной схемы измерительные приборы: вольтметр

и ваттметр W , заменим элементы схемы их комплексными сопротивле-

ниями (рисунок 7).

Индуктивное и емкостное сопротивления схемы:

006,41075,125022

111

=⋅⋅⋅⋅==⋅=

−

ππω

fLLX

Ом,

011,8105,255022

222

=⋅⋅⋅⋅==⋅=

−

ππω

fLLX

Ом,

005,5

10636502

⋅⋅⋅

⋅

−

πω

fCC

Ом.

Рисунок 7

Комплекс полного электрического сопротивления ветвей схемы:

006,4006,40

111

jjjXRZ

+= Ом,

006,4

eZ ⋅= Ом;

011,86

222

jjXRZ

+= Ом,

168,53

009,10

еZ ⋅= Ом;

005,55

333

jjXRZ

−

−= Ом,

028,45

075,7

еZ

−

⋅= Ом.

Комплекс полного электрического сопротивления схемы (входное

сопротивление):

(

)

(

)

()()

−++

−

⋅

3322

вх

jXRjXR

()()

689,27

958,6233,3161,6

5586

еj

j ⋅=+=

−++

−⋅

Ом.