Усенков Н.И., Трубникова В.Н. Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока
Подождите немного. Документ загружается.
Общий комплексный ток в цепи:
(
)
()()
=
−⋅+
−⋅
=
+
==
233,3161,6233,3161,6
233,3161,6120
233,3161,6
120
1
jj
j
jZ
U
I
вх
&
&
0
689,27
246,17014,8271,15
j
еj
−
⋅=−= А.
Комплексное напряжение
U
23
&
Комплекс полного напряжения
U
&
есть сумма комплексных напряжений на
элементах схемы
U , тогда:
231
U
&&
+
=⋅−=⋅−=−= 006,4246,17120
11123
jjXIUUUU
L
&&&&&
0
834,34
089,10717,619,87
j
ej
−
⋅=−= В.
Комплексные токи в параллельных ветвях:
=⋅=
⋅
⋅
==
−−
−
)168,53834,34(
168,53
834,34
2
23
2
0
0
0
009,10
089,107
009,10
089,107
j
j
j
e
e
e
Z
U
I
&
&
693,10373,0699,10
002,88
je
j
−=⋅=
−
А.
=⋅=
⋅
⋅
==
+−
−
−
)028,45834,34(
028,45
834,34
3
23
3
0
0
0
075,7
089,107
075,7
089,107
j
j
j
e
e
e
Z
U
I
&
&
679,2898,14137,15
194,10
je
j
+=⋅= А.
Комплексные напряжения на отдельных участках
=⋅⋅⋅=⋅=
−
00
689,2790
111
246,17006,4
jj
LL
eeIjXU
&
17,611,32081,69
0
311,62
je
j
+=⋅= В,
158,64238,2197,64699,106
00
002,88002,88
222
jeeIRU
jj
R
−=⋅=⋅⋅=⋅=
−−
&
В,
=⋅⋅⋅=⋅=
−
00
002,8890
222
699,10011,8
jj
LL
eeIjXU
&
988,2662,85714,85
0
998,1
je
j
+=⋅= В,
=⋅⋅⋅=⋅=
−
00
194,1090
333
137,15005,5
jj
СС
eeIjXU
&
565,74408,1376,75
0
806,79
je
j
−=⋅=
−
В,
395,13492,74687,75137,155
00
194,10194,10
333
jeeIRU
jj
R
+=⋅=⋅⋅=⋅=
&
В.
2 Составить уравнение баланса мощностей для данной схемы и про-
верить его соблюдение
Комплексная полная мощность цепи:
68296110833124617120
368927
1
13
,j,e,IUS
~
,j
*
+⋅=⋅⋅=⋅=
−
&
,
откуда: активная мощность источника
Вт;
3
108331 ⋅= ,P
ист
реактивная мощность источника Q 682961,j
ист
=
вар.
13
Активная мощность потребителей цепи:
322
3
2
32
2
2
108331513715669910 ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= ,,,RIRIP
пот
Вт
Реактивная мощность потребителей цепи:
+⋅⋅=−⋅+⋅+⋅=
0
902
3
2
32
2
21
2
1
006424617
j
CLLпот
e,,)jX(IjXIjXIQ
+⋅=⋅⋅+⋅⋅+
− 3902902
101911005513715011869910
00
,jе,,е,,
jj
682961101471092917
3
,j,j,j =⋅−+
3 Записать мгновенные значения токов в ветвях и напряжений на
элементах цепи.
Мгновенные значения токов в ветвях схемы
),tsin(,)tsin(Ii
i
6892731439242
1
11
−=+⋅=
ψω
А;
),tsin(,)tsin(Ii
i
00288314131152
2
22
−=+⋅=
ψω
А;
),tsin(,)tsin(Ii
i
19410314407212
1
33
+=+⋅=
ψω
А.
Мгновенные значения напряжений на участках схемы
Комплексное напряжение на участке 1-2 соответствует комплексно-
му напряжению на катушке индуктивности:
U .
112 L
U
&&
=
)311,62314sin(695,97)sin(2
1
112
+=+⋅= ttUu
L
UL
ψω
В;
),tsin(,)tsin(Uu
U
834343144471512
23
2323
−=+⋅=
ψω
В.
4 Построить векторную диаграмму токов и потенциальную диаграм-
му напряжений на одной комплексной плоскости.
Построение векторной диаграммы токов рассмотрено выше в приме-
ре 4.1.
Построения топографической диаграммы напряжений для данной
схемы начинают с построения вектора напряжения на катушке индуктив-
ности
в соответствии с взаимным положением вектора тока и напря-
жения на этом участке. Из полученной точки откладывают два вектора на-
пряжения
и . Из конца вектора напряжения откладывают
вектор напряжения , а из конца вектора – вектор напряжения
. Два последних вектора сходятся в одной точке плоскости, соединив
полученную точку с началом координат получают вектор напряжения,
приложенного к зажимам схемы (рисунок 8).
1L
U
2R
U
3C
U
U
2R
U
2L 3C
U
3R
U
5 Определить показания вольтметра, включенного между точками
“а” и “b” цепи
14
+
+
j
I
I
I
1
1
3
1
2
2
0
3
3
2
U
L
L
R
R
C
U
U
U
U
U
Рисунок 8
Выделим на заданной схеме контур а–3–b–а (рисунок 9). На основа-
нии второго закона Кирхгофа для выбранного контура запишем уравнение:
0
2233
=−+ IjXIRU
Lab
&&&
,
откуда
=⋅⋅⋅+⋅⋅−=+−=
−
000
002889019410
2233
699100118137155
,jj,j
Lab
e,e,e,IjXIRU
&&&
=++−−=⋅+⋅−= 99826628539513492747148568775
00
998119410
,j,,j,e,e,
,j,j
0
97442
26715407101711
,j
e,,j,
−
⋅=−= В.
Вольтметр показывает действующее значение
комплексного напряжения
, которое равно его
модулю, т.е. 15,267 В.
ab
U
6 Определить показания ваттметра
Ваттметр имеет две обмотки: токовую (после-
довательную) и обмотку напряжения (параллель-
ную). Начала обмоток обозначены звездочками и
называются «генераторными зажимами». Положи-
тельное показание ваттметра соответствует проте-
канию потока мощности со стороны его генератор-
ных зажимов. Для схемы (рисунок 6) ваттметр пока-
зывает активную мощность равную произведению
модуля комплексного тока во второй ветви
, модуля комплексного на-
пряжения на зажимах
и косинуса угла сдвига фаз между током и на-
пряжением:
2
I
&
23
U
I
I
Рисунок 9
3
2
L
jX
a
a
b
b
2
3
3
R
U
(
)
869686002888343469910089107
223
,,,cos,,cosIUP
w
=+−⋅⋅=⋅⋅=
ϕ
&&
Вт.
15
Список использованных источников
1 Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. – М.: Энергоатомиз-
дат, 1983. – 247 с.
2 Сборник задач по электротехнике и основам электроники /Под ред.
В.С.Пантюшина. – М.: Высшая школа, 1979. – 183 с.
3 Общая электротехника /Под ред. А.Т.Блажкина. – М.: Высшая
школа, 1983. – 365 с
4 Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: «СК
Пресс», 1997. – 336 с.
16
Приложение А
Задание начального индекса первого элемента массива
Производится набором с клавиатуры слова ORIGIN. Знак присвое-
ния «:=» набирается «мышью» с наборной панели арифметических опера-
торов на экране монитора или клавишей «:» (двоеточие) с клавиатуры.
ORIGIN:=1
Задание параметров элементов цепи
Задание параметров начинают с буквенного обозначения параметра.
Затем следует присвоение числового значения. При наборе десятичных
дробей знак, разделяющий целую и дробную части набирается с наборной
панели на экране монитора клавишей «.» (точка). Показатель степени
(верхний индекс) набирается также с наборной панели, в зависимости от
показателя степени, либо клавишей «х
у
», либо клавишей «х
2
».
U:=120 L1:=12.75·10
-3
R2:=6
f:=50 L2:=25.5·10
-3
R3:=5 С3:=636·10
-6
Определение реактивных сопротивлений элементов цепи
Используя формулу ω=2πf задаем формулы для определения реак-
тивных сопротивлений. Число π задается с наборной панели на экране мо-
нитора. Для вывода результатов вычислений необходимо, чуть ниже рас-
четной формулы, набрать буквенное обозначение определяемой величины
и поставить знак равенства с наборной панели или клавиатуры.
XL1:=2·π·f·L1 XL2:=2·π·f·L2
3Cfр2
1
:XC3
⋅⋅⋅
=
XL=4.006 XL2=8.011 XC3=5.005
Определение полных электрических сопротивлений ветвей цепи
Полное электрическое сопротивление ветви задается как сумма ак-
тивных и реактивных сопротивлений элементов ветви. Причем операция
умножения величины реактивного сопротивления на мнимую единицу
производится с оператора на экране монитора клавишей «i».
Z1:=i·XL1 Z2:=R2+i·XL2 Z3:=R3-i·XC3
Z1=4.006i Z2=6+8.011i Z3=5-5.005i
Определение полного электрического сопротивления цепи
(входное сопротивление)
Z3Z2
Z3Z2
Z:Zвх
+
⋅
+= 1 Zвх=6.161+3.233i
17
Определение комплексного тока в неразветвленной части цепи
Zвх
U
:I1 = I1=15.271-8.014i
Определение комплексного напряжения на зажимах 2-3
U23:=U-Z1·I1 U23=87.9-61.17i
Определение токов в параллельных ветвях цепи
Z2
U23
:I2 = I2=0.373-10.693i
Z3
U23
:I3 = I3=14.898+2.679i
Определение комплексных напряжений на отдельных элементах
схемы
UL1:=I1·i·XL1 UL1=32.1+61.17i
UR2:=I2·R2 UR2=2.238-64.158i
UL2:=I2·i·XL2 UL2=85.662+2.988i
UC3:=I3·(-i·XC3) UC3=13.408-74.565i
UR3:=I3·R3 UR3=74.492+13.395i
Определение максимальных (амплитудных) значений синусои-
дально изменяющихся величин
При определении амплитудных значений используются модули оп-
ределяемых величин, знак модуля, как и знак квадратного корня, набирают
с панели арифметических операторов клавишами «| |» и «
».
I1max:=|I1|·
2 I1max=24.39
I2max:=|I2|·
2 I2max=15.131
I3max:=|I3|·
2 I3max=21.407
UL1max:=|UL1|·
2 UL1max=97.695
UR2max:=|UR2|·
2 UR2max=90.788
UL2max:=|UL2|·
2 UL2max=121.218
UC3max:=|UC3|·
2 UC3max=107.141
UR3max:=|UR3|·
2 UR3max=107.037
Определение начальных фаз синусоидально изменяющихся
величин
Обозначать начальные фазы можно как латинскими (с клавиатуры),
так и греческими (с оператора греческих букв и символов) буквами. На-
чальная фаза является аргументом комплексного числа, поэтому формула
ее определения имеет вид arg(I):шI
=
. Необходимо знать, что для получе-
18
ния результата вычисления начальной фазы в градусах, в формулу вводят
множитель 180/π (для перевода из радианой меры измерения угла).
р
180
arg(I1):шI1 ⋅= -27.689 =шI1
р
180
arg(I2):шI2 ⋅= -88.002 =шI2
р
180
arg(I3):шI3 ⋅= 10.194 =шI3
р
180
arg(UL1):шUL1 ⋅=
=
шUL1 62.311
р
180
arg(UR2):шUR2 ⋅=
=
шUR2 -88.002
р
180
arg(UL2):шUL2 ⋅=
=
шUL2 1.998
р
180
arg(UС3):шUC3 ⋅= =-79.806 шUC3
р
180
arg(UR3):шUR3 ⋅=
=
шUR3 10.194
Баланс мощностей
Для проверки правильности расчета схемы составляют уравнения,
определяющие мощность источников энергии и приемников схемы. В
уравнении мощности источников сопряженный комплекс тока задается
комбинацией клавиш «Shift»+«Э».
Sist:=U·
I1 Sist=1.833·10
3
+961.682i
P:=(|I2|)
2
·R2+(|I3|)
2
·R3 P=1.833·10
3
Q:=(|I1|)
2
·i·XL1+(|I2|)
2
·i·XL2+(|I3|)
2
·(-i·XC3) Q=961.682i
Определение показаний вольтметра
Uab:=I2·i·XL2-I3·R3 Uab=11.17-10.407i |Uab|=15.267
р
180
arg(Uab):шUab ⋅=
=
шUab -42.974
Определение показания ваттметра
U23:=I2·Z2 U23=87.9-61.17i
р
180
arg(U23):шU23 ⋅=
шI
2
шU23: −=
ϕ
=
ϕ
53.168
Pw:=|U23|·|I2|·cos
⋅
180
р
ϕ
Pw=686.869
Pw1:=Re(U23·
I2) Pw1=686.869
19