Тынкевич М.А. Лабораторный практикум
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
М.А.Тынкевич
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
по курсу
“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА”
для студентов специальности
«Прикладная информатика в экономике»
Утверждено на заседании кафедры
вычислительной техники и
информационных технологий
Протокол № 2 от 27. 09 . 2001
Рекомендовано к печати
учебно-методической комиссией
по специальности 351400
Протокол № 1 от 27. 09 .
2001
Кемерово 2002
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами
1
Лабораторная работа 1
Действия над приближенными величинами
Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцени-
те погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое
значение.
Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, не-
обходимую для получения результата с m верными значащими циф-
рами.
Пример.
1. F=(a
2
+b
3
)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001
Абсолютные погрешности исходных данных:
∆
a=0.02 ,
∆
b=0.01,
∆
t=0.0001.
Относительные погрешности исходных данных:
δ
a=0.02 / 28.3=0.00071,
δ
b=0.01 / 7.45= 0.00135,
δ
t=0.0001/ 0.7854=0.00013.
Находим оценки с учетом, что
δ
(xy)~
δ
(x/y)<
δ
x+
δ
y,
∆
(x
±
y)<
∆
x+
∆
y,
δ
(x
±
y)<max(
δ
x,
δ
y) и
∆
f(x)~f’(x)
⋅∆
x:
a
2
=800.9 {
δ
a
2
=2
⋅δ
a=0.00142 ;
∆
a
2
=809.9
⋅
0.00142=1.15006 } ;
b
3
=413.5 {
δ
b
3
=3⋅
δ
b=0.00405;
∆
b
3
=413.5
⋅
0.00405=1.67468 };
a
2
+ b
3
=1214.4 {
∆
(a
2
+b
3
)=
∆
a
2
+
∆
b
3
=2.82474;
δ
(a
2
+b
3
)= 2.82474/1214.4=0.00233};
Cos(t)=0.7071 {
∆
(Cos(t))= (Cos(t))
′⋅∆
t=Sin(t)
⋅∆
t ~0.00007 ;
δ
(Cos(t))=d/dt(lnCos(t))
⋅∆
t=Sin(t)/Cos(t)
⋅∆
t ~0.0001 };
F=(a
2
+b
3
)/Cos(t) = 1214.4 / 0.7071 = 1717.44 ,
δ
F~0.00233+0.0001~0.0024(~0.24%);
∆
F~ 1717.44 ⋅0.0024~4.12.
Воспользуемся универсальными оценками для функции u(X) не-
скольких переменных:
∆∆ ∆u
u
x
i
i
x
i
u
i
u
i
x
i
=
∑∑
∂
∂
δ
∂
∂
, =
x
ln( )
)tcos(
a2
a
F
=
∂
∂
=80.05;
)tcos(
b3
b
F
2
=
∂
∂
=235.48;
)tsin(
tcos
ba
t
F
2
32
+
∂
∂
−=
=1717.4;
t
t
F
b
b
F
a
a
F
F
∆∆∆∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=4.1275;
δ
F=
∆
F /F =0.0024 (~0.25 %).
Так как
∆
F =4 < 0.5⋅10
n-m+1
(m - число верных знаков, n=3 – поря-
док числа 1717.4 ) = 0.5⋅10
3-m+1
=0.5⋅10
4-m
=5⋅10
3-m
при m≤3, то m=3
(к такому же выводу можно прийти непосредственно из значения
δ
F)
и F=172 ⋅10
1
(общая погрешность=погрешности исходных данных
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами
2
(
∆
F) + погрешность округления (|1717.44-1720| )= 4+3=7).
2. F=(a
2
+b
3
) / Cos(t) , a~28.3 , b~7.45 , t~0.7854 , m=5.
Находим a
2
=800.9, b
3
=413.5, Cos(t)=0.7071, a
2
+ b
3
=800.9+ 413.5
=1214.4, F=(a
2
+b
3
)/Cos(t) =1214.4 / 0.7071 =1717.4 (полагаем все эти
5 цифр верными).
Относительная погрешность
δ
F=10
-(m-1)
/(2a
1
)=10
-4
/(2×1) =0.00005,
абсолютная погрешность
∆
F=F
×
δ
F=1714.4× 0.00005=0.008572.
Для использования принципа равных влияний
∑
⋅
=
i
i
x
F
i
x
F
i
x
i
x
∂
∂
∆
∆
находим a
×
(dF/da)=2a
2
/cos(t)=1601.9 / 0.7071=2265.45,
b
×
(dF/db)=2b
3
/cos(t)= 827.0 / 0.7071=1169. 57,
t
×
(dF/dt)=t
×
(a
2
+b
3
)/cos
2
(t)
×
sin(t)=0.7071×1214.4/ 0.7071=1214.4,
знаменатель ~2265.45+1169.57+1214.4=4649.4 ;
отсюда допустимая погрешность исходных параметров равна:
∆a=28.3 × 0.008572 / 4649.4=0.00005 ;
∆b=7.45 × 0.008572 / 4649.4= 0.00001;
∆t=0.7071×0.008572/4649.4= 0.000001.
Варианты заданий
№
F(a,b,c) a b c m
1
)c3sin()ba(
3
c
ab
+
2456
±0.0005
0.00078
±0.00003
0.008
±0.00013
1
2
)carcsin(
ba
ba
−
+
0.02456 0.007823 0.8348 5
1
[]
)c1ln(
3
ba
c)ba(
+
−
+
0.2456
±0.0005
0.20078
±0.00003
0.008
±0.00013
2
2
)accos()ba(
7
13
c
3
−
0.02456 0.007823 0.8348 5
1
)c(sin)ba(
23
3
c
ab
+
0.12456
±0.0005
0. 0078
±0.00003
0.008
±0.00013
3
2
)c(arctg
ba
ba
−
+
0.02456 0.007823 0.8348 4
4 1
)c1ln(
2
3
ba
c)ba(
2
+
−
+
0.2456
±0.0005
0.20078
±0.00003
0.008
±0.00013
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами
3
2
)accos()ba(
23
13
c
2
−
0.02456 0.007823 0.8348 5
1
)c(Sin)ba(
2
c
ab
3
+
0.12456
±0.0005
0.078
±0.0003
0.2468
±0.00013
5
2
)carccos(
ba
ba
2
−
+
0.02456 0.007823 0.835 4
1
[]
)c1ln(
2
ba
c)ba(
+
−
+
0.2456
±0.0005
0.20078
±0.00003
0.008
±0.00013
6
2
)cacos()ba(
23
13
c
3
−
0.02456 0.007823 0.8348 5
1
)c2(Sin)b1(
3
2
c
ba
+
2456
±0.0005
0.00078
±0.00003
0.008
±0.00013
7
2
)ac1ln(
ba
ba
+
−
+
0.02456 0.007823 0.8348 4
1
[]
)c1(ln
2
ba
c)ba(
+
−
+
0.2456
±0.0005
0.20078
±0.00003
0.008
±0.00013
8
2
)accos()ba(
7
13
c
3
−
0.02456 0.007823 0.8348 4
1
)c(Sin)ba(
3
c1
ab
+
+
0.12456
±0.0005
0. 0078
±0.00003
0.008
±0.00013
9
2
)ac(arctg
ba
ba
−
+
0.02456 0.007823 0.8348 4
1
)ac1ln(
2
2
ba
c)ba(
2
2
+
−
+
0.2556
±0.0005
0.50078
±0.00003
0. 8
±0.013
10
2
)ac1cos()ba(
2
13
c
2
+−
0.02456 0.007823 0.8348 4
1
)cb(Sin)ba(
3
2
c
ab
−
0.2456
±0.0005
0.0078
±0.00003
8
±1.23
11
2
)acarcsin(
ba
)ba(
2
−
+
0.02456 0.007823 0.8348 4
1
)c3ln()ba(
2
ba
ba
3
++
−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
0.08
±0.015
12
2
)carccos(
ba
ba
−
+
0.02456 0.01823 0.0348 5
1
cb)cb(Sin
3
2
c
ab
+
0.2456
±0.0005
0.078
±0.003
8
±1.25
13
2
)acarcsin(
ba
)ba(c
2
+
−
+
0.02456 0.007823 0.8348 4
14 1
)caln(a
3
ba
ba
+⋅
−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами
4
2
)caarccos(
ba
ba
+−
−
+
0.02456 0.01823 0.0348 5
1
)caln()ba(
2
)ab(
ba
+⋅−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
15
2
)clg()c1(
!4
c
ba
ba
4
++
−
+
0.02456 0.01823 0. 348 5
1
)caln(a
3
2
ba
ba
+⋅
−
+
0.1245
±0.0005
0.120
±0.0003
2.08
±0.015
16
2
)aclg(a
ba
ba
−
+
+
0.02456 0.01823 3.0148 4
1
)ca2ln(a
3
ba
2
+⋅
−
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
17
2
)caarcsin(
2
ba
ba
+−
−
+
0.2456 0.1823 0.0348 5
1
)cln(a
ba
ba
π
⋅
−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
18
2
))calg(arccos(
ba
ba
+
−
+
0.02456 0.01823 0.0348 5
1
)caln()ba(
2
)ab(
ba
2
+⋅−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
19
2
)clg()a1(
!4
c
ba
ba
4
++
−
+
0.02456 0.01823 0. 348 5
1
|))casin(ln(|
2
)ba(
ba
+
−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
20
2
)bclg()c1(
ba
ca
+
−
+
0.02456 0.01823 2. 348 4
1
)ca(ln
2
)ab(
ba
2
2
+⋅
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
21
2
)clg()bc1(
ba
ba
2
+
−
+
0.02456 0.01823 0. 348 3
1
)caln(
2
23
)ab(
ba
+⋅
−
0.22456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
22
2
)clg()c1(
ba
ba
2
+
−
+
0.02456 0.01823 0. 348 3
1
))ca(ln(arctg
2
22
)ab(
ba
+
−
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
23
2
))ca(ln(arctg
ba
ba
+
−
+
0.12456 0.01823 2. 08 4
24 1
))caln(sin(
2
44
)ab(
ba
+
−
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами
5
2
))caln(sin(
ba
ba
+
−
+
0.02456 0.01823 0. 348 5
1
)acln()ba(
2
)ab(
)baln(
⋅−
+
0.12456
±0.0005
0.12078
±0.00003
2.08
±0.015
25
2
)acln()c1(
ba
)baln(
+
−
+
0.12456 0.11823 2. 08 5
P.S. Если трансцендентные функции (sin, ln и т.п.) вычисляются с помо-
щью библиотек компьютерных сред (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или
калькулятора, погрешностью метода можно пренебречь (но не погрешно-
стью исходных данных или округления).
Лабораторная работа 2
Пределы последовательностей и степенные ряды
Задание 1. Найдите оценки пределов последовательностей
{a
n
},{b
n
}, если они существуют, с точностью
ε
.=10
-2
и соответст-
вующие порядковые номера N(
ε
). Изобразите графически характер
поведения этих последовательностей. Найдите аналитическим пу-
тем истинное значение предела и порядок сходимости.
Задание 2. Выберите любую из приведенных последовательностей
c нулевым пределом и найдите сумму соответствующего ряда при
n=1,2,... с точностью
ε
.=10
-4
(или покажите, что ряд расходится) .
Варианты заданий
№
a
n
b
n
№
a
n
b
n
1
n
n
1
n
)3/(3 +
(-1)
n
(1-
cos(1/n))
1
4
)sin(
n
1
n
1
n
n
1n
1
+
2
arctg(n
2
) (-1)
n
n/(n
2
+1)
1
5
)!n2(
!n)2(
n
π
arctg(n
2
+1/n)
3
n
n
1
)1/(1 +
)1nn()1(
n
−−−
1
6
n
n
2
)1/(1 +
3
6
2n
1
+
4
1n
5n6
3
2
+
+
(-1)
n
(1-2
1/n
)
1
7
)nln(n
1
π
⋅
))1(cos(
n
n
1
n
1
−
5
arctg(n
2
+1)
)!1n2)(1n2(
)1(
1n
−−
−
+
1
8
2
n21n
e)1(
−+
−
2
)1n2(
1
−
Лабораторная работа 2 . Пределы последовательностей и степенные ряды
6
6
1n
2n
1n
1
ln
+
+
+
−
n
)1(
n
1
n
sin
−
1
9
)nln(
n
1k
k
1
−
∑
=
!n
5
1n
n
)1(
+
−
7
!n)2(
)!n2(
n2
π
(-1)
n+1
/n
2
2
0
2
1n
)1n2(
)1(
−
−
+
)3n)(1n(
)2n5)(1n(6
++
+−
8
ln(1+(1+n)
1/n
)
e
n
⋅
sin(2/n)
2
1
8
2
2
)1n2(
e
π
−−
n
1
sinn ⋅
9
2 / ln(12n-2)
n
n
2n
1
+
2
2
(-1)
n+1
/n
n
)!1n2)(1n2(
)1(
n
−+
−
10
3
2n
1
+
)nln(n
1
⋅
2
3
)(tg
n
1
n
1
3
n
)nln(
11
n sin(5/n)
3
3
50n2n
1
++
2
4
n2
n
1
n
1
)1ln( +−
)!n3(
!n)3(
n
π
12
n
2n
1
+
2
2
n
n
3
)1( +
2
5
)!1n(!n
1
n
)(
+
−
nlnn
1
2
⋅
13
arcsin(1-1/n
2
)
)1n4()!n2(
)2/()1(
n2n
+
−
π
Лабораторная работа 3
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Задание 1. Выполните обращение матрицы А и решение системы
АХ=В методом Гаусса по любой из известных схем, ограничиваясь в
записи чисел тремя знаками после запятой. Получите решение той
же задачи в среде MatLab и сравните полученные результаты. При-
няв найденное методом Гаусса решение за начальное приближение,
выполните его уточнение до 4-5 знаков любым из итерационных ме-
тодов.
Задание 2. Решите систему СХ=D . Для несимметрической С вос-
пользуйтесь методом Краута, для симметрической – методом квад-
ратных корней. Сопоставьте полученные решения (треугольные
матрицы и оценки Х) с получаемыми стандартными средствами
MatLab.
Варианты заданий
Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений
7
№
A B C D
1 1 0.47 -0.11 0.55 .1.33 1 2 3 13
0.42 1 0.35 0.17 1.29 2 3 5 4
-0.25 0.67 1 0.36 2.11 3 5 9 17
0.54 -0.32 -0.74 1 0.10
2 0.63 1 0.11 0.34 2.08 1 2 3 0.55
0.17 1.18 -0.45 0.11 0.17 1 4 9 1.35
0.31 -0.15 1.17 -2.35 1.28 1 8 27 3.55
0.58 0.21 -3.45 -1.18 0.05
3 0.77 0.04 -0.21 0.18 1.24 0.42 1.43 0.27 1
-0.45 1.23 -0.06 0 -0.88 1.43 -0.84 0.93 2
-0.26 -0.34 1.11 0 0.62 0.27 0.93 -0.48 3
-0.05 0.26 -0.34 1.12 -1.17
4 0.79 -0.12 0.34 0.16 -0.64 0.64 0.54 -0.33 3
-0.34 1.18 -0.17 0.18 1.42 0.54 -0.92 0.24 2
-0.16 -0.34 0.85 0.31 -0.42 -0.33 0.24 0.78 1
-0.12 0.26 0.08 0.75 0.83
5 -0.68 -0.18 0.02 0.21 -1.83 0.5 1.77 0.39 1.5
0.16 -0.88 -0.14 0.27 0.65 0.84 1.79 0.95 2.5
0.37 0.27 -1.02 -0.24 -2.23 0.24 1.03 -0.41 3
0.12 0.21 -0.18 -0.75 1.13
6 -0.58 -0.32 0.03 0 -0.44 0.19 0.51 0.86 0.35
0.11 -1.26 -0.36 0 -1.42 0.51 0.32 0.95 0.42
0.12 0.08 -1.14 -0.24 0.83 0.86 0.95 -0.12 0.45
0.15 -0.35 -0.18 0 1.42
7 -0.83 0.31 -0.18 0.22 1.71 0.64 1.54 -0.33 0.3
-0.21 -0.67 0 0.22 -0.62 1.54 -0.92 0.24 0.2
0.32 -0.18 -0.95 -0.19 0.89 -0.33 0.24 0.78 0.1
0.12 0.28 -0.14 -1 -0.94
8 -0.87 0.27 -0.22 -0.18 -1.21 0.55 1.77 0.39 1.5
-0.21 -1. -0.45 0.18 0.33 0.84 1.79 0.95 2.5
0.12 0.13 -0.33 0.18 0.48 0.24 1.03 -0.41 3
0.33 -0.41 0 -1 1.21
9 -0.81 -0.07 0.38 -0.21 0.81 0.59 1.77 1.39 1.5
-0.22 -0.92 0.11 0.33 0.64 0.84 1.79 0.95 2.5
0.51 -0.07 -0.81 -0.11 1.71 1.24 1.03 -0.41 3
Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений
8
0.33 -0.41 0 -1 1.21
10 -1 0.22 -0.11 0.31 -2.7 1.42 1.43 0.27 0.1
0.38 -1 -0.12 0.22 1.5 1.43 -0.84 0.93 0.2
0.11 0.23 1 -0.51 1.2 0.27 0.93 -0.48 0.3
0.17 -0.21 0.31 -1 0.17
11 -0.93 -0.08 0.11 -1.18 0.51 -0.93 -0.08 0.11 1.18
0.18 -0.48 0 0.21 -1.17 0.18 -0.48 0 0.21
0.13 0.31 -1 -0.21 1.02 0.13 0.31 -1 0.21
0.08 0 -0.33 -0.72 0.28
12 -0.95 -0.06 -0.12 0.14 2.17 -1 -0.07 0.21 0.92
0.04 -1.12 0.08 0.11 1.4 1 0.03 -0.42 0.92
0.11 0.12 0 1.03 0.8 -0.03 1 -0.04 1.2
0.34 0.08 -1.06 0.14 2.1
13 0 -0.19 0.27 -0.88 1.2 -1 -0.07 0.21 0.92
-0.33 -1 -0.07 0.21 0.92 0.07 0.03 -0.42 0.92
0.11 0 1.03 -0.42 0.92 0.21 0.42 -0.04 1.2
-0.92 -0.03 0 -0.04 1.2
14 -0.88 -0.23 0.25 -0.16 1.24 0.08 -0.12 -0.77 0.32
0.33 0.03 -0.84 -0.32 -1.15 0.25 0.22 0.14 -1
0.14 -0.66 -0.18 0.24 0.89 -0.77 -0.14 0.06 -0.12
0.12 -0.05 0 -0.85 0.57
15 0.12 -1 0.32 -0.18 0.72 0.08 0.25 -0.77 0.32
0.08 -0.12 -0.77 0.32 0.58 0.25 0.22 0.14 -1
0.25 0.22 0.14 -1 -1.56 -0.77 0.14 0.06 -0.12
-0.77 -0.14 0.06 -0.12 -1.21
16 -0.86 0.23 0.18 0.17 1.42 1 2 3 0.55
0.12 -1.14 0.08 0.09 0.83 2 4 9 0.35
0.16 0.24 -1 -0.35 -1.21 3 9 5 0.55
0.23 -0.08 0.05 -0.75 -0.65
17 76 21 6 -34 -142 1 2 4 0.55
12 -114 8 9 83 1 4 16 1.35
16 24 -100 -35 -121 1 8 64 3.55
23 -8 5 -75 85
18 -83 27 -13 -11 142 0.64 0.53 -0.33 3
5 -68 13 24 26 0.53 -0.92 0.23 2
9 54 127 36 23 -0.33 0.23 0.78 1
13 27 34 156 49
Лабораторная работа 3 . Решение линейных алгебраических уравнений
9
19 1 2 3 9 1.11 5 3 1 11
2 1 9 4 1.16 3 5 3 17
3 9 1 4 1.24 1 3 5 19
9 1 3 4 1.55
20 -1 0.28 -0.17 0.06 -21 11 12 13 13
0.52 -1 0.12 0.17 117 12 13 15 4
0.17 -0.18 -0.79 0 0.81 13 15 19 17
0.11 0.22 0.03 -0.95 -0.72
21 76 21 6 -34 142 1 2 4 0.55
12 -114 8 9 83 2 4 7 1.35
16 24 -100 35 121 3 6 14 3.55
23 -8 5 -75 85
22 -83 27 -13 -11 142 1.64 0.53 -0.33 3
5 -68 13 24 26 0.53 -0.92 0.23 2
9 54 127 36 23 -0.33 0.23 1.78 1
13 27 34 156 49
23 25 3 5 4 1.11 15 13 11 11
5 4 3 25 1.16 13 15 13 17
3 25 4 5 1.24 11 13 15 19
4 5 25 3 1.55
24 0.12 -1 0.32 -0.18 0.72 0.08 0.25 -1.77 0.32
0.08 -0.12 -0.77 0.32 0.58 0.25 0.22 0.14 -1
0.25 0.02 0.14 -1 -1.56 -1.77 0.14 0.06 -0.12
-0.77 -0.14 0.06 -0.12 -1.21
25 -0.86 0.23 0.18 0.17 1.42 11 21 31 0.55
0.12 -1.14 0.08 0.09 0.83 21 41 91 0.35
0.16 0.24 -1 -0.35 -1.21 31 91 51 0.55
0.23 -0.08 0.05 -0.75 -0.65
Лабораторная работа 4
Решение нелинейных уравнений
Задание 1. Выполните отделение корней с использованием анали-
тических оценок и найдите один из корней методами дихотомии и
хорд с относительной погрешностью до 0.1% . Сравните объем вы-