Туяхов И.А. Практическая метрология

Подождите немного. Документ загружается.

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

Приведенная погрешность: %.125,0%100

)200(200

5,0

−−

=γ

Пример 1.2. Температура пара, измеренная рабочим прибором,

составила 520 °С, а образцовым - 530 °С. Определить приведенную

погрешность, если крайние цифровые отметки на шкале рабочего

прибора равны +200 °С и +800 °С.

Приведенная погрешность: %.67,1%100

200

800

520530

−

=γ

Целью вычисления погрешностей измерений является оценка

точности результата измерения или введение поправок в результаты

измерений.

Погрешности измерений могут быть классифицированы по сле-

дующим признакам: по характеру проявления — систематические и

случайные; по способу выражения - абсолютные и относительные; по

условиям изменения измеряемой величины - статические и динамиче-

ские; по способу обработки ряда измерений - средние арифметические

и средние квадратические; по полноте охвата измерительной задачи -

частные и полные; по отношению к единице физической величины -

погрешности воспроизведения единицы, хранения единицы и переда-

чи размера единицы.

Систематическая погрешность измерения - составляющая по-

грешности результата измерения, остающаяся постоянной или же за-

кономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же

физической величины. В зависимости от характера изменения систе-

матические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессив-

ные и периодические.

Постоянные погрешности - погрешности, которые длительное

время сохраняют свое значение, например, в течение времени выпол-

нение всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто и явля-

ются в общем случае функцией измеряемой величины, влияющих ве-

личин и времени (например, влияние температуры окружающей среды,

влажности воздуха или газовой среды, атмосферного давления и др.).

Прогрессивные погрешности - непрерывно возрастающие или

убывающие погрешности. К ним относятся, например, погрешности

вследствие износа непрерывно трущихся или периодически контакти-

рующих элементов измерительных приборов в процессе измерений.

Подобные погрешности имеют место в процессе прогрева ламп, дио-

дов, транзисторов и других элементов в электрической схеме измери-

тельных приборов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

Периодические погрешности - погрешности, значение которых

являются периодической функцией времени или функцией перемеще-

ния указателя измерительного прибора. Например, погрешность пока-

заний измерительного прибора с круговой шкалой и стрелкой, если

ось стрелки смещена на некоторую величину (эксцентриситет) отно-

сительно центра шкалы. Эта погрешность изменяется по синусои-

дальному закону.

В зависимости от причин появлений систематические погрешно-

сти подразделяются на инструментальные, погрешности метода изме-

рений, субъективные, погрешности вследствие отклонения условий

измерения от установленных методиками.

Инструментальная погрешность является следствием ряда при-

чин: износ деталей прибора, неточное нанесение штрихов на шкалу и др.

Погрешность метода измерений может возникнуть из-за несо-

вершенства метода измерений или допущенных его упрощений, уста-

новленных методикой измерений. Например, такая погрешность мо-

жет быть обусловлена недостаточным быстродействием применяемых

средств измерений при измерении параметров быстропротекающих

процессов.

Выделение систематических погрешностей в отдельную группу

обуславливается, таким образом, тем, что при поверке измерительных

средств они могут быть определены для каждой точки шкалы и ис-

ключены из результатов последующих измерений.

Субъектная погрешность обусловлена индивидуальными осо-

бенностями оператора. Встречаются операторы, которые системати-

чески опаздывают или опережают снять отчеты показаний средств

измерений. Такую погрешность иногда называют личной погрешно-

стью.

Случайная погрешность измерения это одна из составляющих

общей погрешности, которая изменяется случайным образом, как по

знаку, так и по значению, в серии измерений одного и того же пара-

метра физической величины. Причины случайных погрешностей: по-

грешности округления при отсчете показаний, вариация показаний,

изменение условий измерений случайного характера и др., т.е. таких

погрешностей, в появлении которых не наблюдается какой - либо за-

кономерности. Случайные погрешности неизбежны и не устранимы и

всегда присутствуют в результате измерения. Они вызывают рассея-

ние результатов при многократном и достаточно точном измерении

одной и той же величины при неизменных условиях.

Теоретические исследования, подтвержденные практикой, пока-

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

зывают, что при большом числе измерений случайные погрешности

одинакового значения, но разного знака, встречаются одинаково час-

то, а большие (по абсолютному значению) погрешности встречаются

реже, чем малые. Из этих исследований следует важный для практики

вывод, что при увеличении числа измерений случайная погрешность

результата, полученного из ряда измерений, уменьшается вследствие

того, что сумма погрешностей отдельных измерений данной серии

стремится к нулю.

Средняя арифметическая погрешность - обобщенная характери-

стика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результа-

тов измерений, входящих в серию из "n" равноточных независимых

измерений, вычисляемая по формуле:

|xx|

∑

−

= (1.4)

где х

- результат i-го измерения, входящего в серию;

- среднее арифметическое из "n" значений величины;

| - абсолютное значение погрешности i-го измерения;

r - средняя арифметическая погрешность.

Пример 1.3. Получено 10 результатов измерения температуры

факела пирометром (i от 1 до 10) в °С: 1859, 1849, 1855, 1848, 1853,

1852, 1842, 1851, 1846, 1845.

Отсюда: t =1850 °С, ∆t

–t =+9°C; ∆t

–t = –1°C…

∆t

–t = –5°C.

|5|...|1||9|

|t|

−++−++

∆

∑

Отдельные погрешности колеблются в пределах от +9 до -8 °С. В

среднем случайная погрешность одного измерения в серии r=±4°С.

Истинное значение средней арифметической погрешности "ρ"

можно получить при бесконечно большом числе измерений из соот-

ношения:

ρ=

∞→n

rlim

(1.5)

Преимущество средней арифметической погрешности - простота

ее вычисления. Но все же чаще определяют среднюю квадратическую

погрешность.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения -

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

обобщенная характеристика рассеивания (вследствие случайных при-

чин) отдельных результатов измерений, входящих в серию из "n" рав-

ноточных измерений, вычисляемая по формуле:

)xx(

−

∑

(1.6)

Статистическим пределом для S при n→∞ является величина σ:

σ=

∞→n

Slim

В действительности число измерений всегда ограничено, поэтому

вычисляется не σ, а ее приближенное значение, которым является S.

Чем больше "n", тем S ближе к своему пределу σ.

При числе измерений n>30 между средней арифметической (r) и

квадратической (S) погрешностями существуют соотношения:

S=l,25⋅r; r=0,80⋅S.

При нормальном законе распределения вероятность того, что по-

грешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную

среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следователь-

но, в 32 случаях из 100 действительная погрешность может быть

больше вычисленной.

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметическо-

го - это характеристика случайной погрешности среднего арифмети-

ческого значения результата измерений одной и той же величины в

данном ряду измерений, вычисляемая по формуле:

)1n(n

)xx(

−

∑

(1.7)

Из этой формулы видно, что погрешность измерений вследствие

случайных причин может быть уменьшена в

раз, если выполнять

n измерений одного размера какой-либо величины.

Пример 1.4. Проведено 10 измерений расхода газа V и получено

V = 8150 м

/ч.

Величина S, рассчитанная по формуле (1.6), равна S=47 м

/ч.

В этом случае:

8,14

===

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

В конечном итоге можно записать:

8,148150SRR

±=±= .

Доверительный интервал погрешности результата измерений –

это интервал значений случайной погрешности, внутри которого с за-

данной вероятностью находится искомое (истинное) значение по-

грешности результата измерений. Доверительный интервал вычисля-

ют для того, чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности

результата измерений. При нормальном законе распределения довери-

тельные границы погрешности вычисляют как ±t⋅S или ±t⋅S

где t-число, зависящее от доверительной вероятности Р и числа изме-

рений n.

Пример 1.5. Проведено 10 измерений давления питательной воды

парового котла и получено среднее арифметическое значение давле-

ния

=5,65 МПа, а также рассчитано значение S=±0,05 МПа. Довери-

тельные границы погрешности для данного результата определяются

по формуле:

StPP ⋅±= (1.8)

При распределении Стьюдента для доверительной вероятности

Р=0,95 и n=10 величина t будет равна t=2,26 (приложение А)

Тогда Р=5,65±0,05⋅2,26=5,65±0,11 МПа.

Пример 1.6. При градуировке хромель-копелевой термопары, ра-

бочие концы которой были помещены в термостат с температурой

100°С, а свободные концы располагались в холодильнике с темпера-

турой 0°С, было произведено 12 измерений термо-ЭДС (мкВ): 6885;

6882; 6879,6883; 6877; 6878; 6878; 6881; 6882; 6875; 6877; 6883. Опре-

делить доверительные границы истинного значения термо-ЭДС тер-

мопары для принятой вероятности 0,95.

Решение. Определим: среднеарифметическое значение

=6880

мкВ; случайные отклонения результатов измерений х

–

; квадраты

этих отклонений (х

–

)

и расчетные данные сведем в таблицу 1.7.

Средняя квадратическая погрешность единичного измерения оп-

ределяется по формуле (1.6):

5,2

)xx(

−

∑

мкВ

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

Таблица 1.7 – Результаты расчета

Случайные

отклонения

и их квадраты

Случайные

отклонения

и их квадраты

Термо-ЭДС

(х

)

мкВ

–

(х

–

)

Термо-ЭДС

(х

)

мкВ

–

(х

–

)

16885+52576878–24

26882+2486881+11

36879–1196882+24

46883+39106875–525

56877–39116877–39

66878–24126883+39

Средня квадратическая погрешность результата среднего ариф-

метического определяется по формуле (1.7):

72,0

5,2

===

мкВ

Истинное значение термо-ЭДС "х" хромель-копелевой термопа-

ры можно приближенно положить равным среднему арифметическо-

му значению

, т.е. х≈

. Для оценки достоверности этого равенства с

доверительной вероятностью Р=0,95 (по заданию) найдем довери-

тельные границы, соответствующие этой вероятности. По таблице А1

приложения А для Р=0,95 и к=n–1=11 (число степеней свободы), на-

ходим коэффициент t распределения Стьюдента: t=2,18.

Погрешность ε среднего арифметического значения результата

измерения при малом числе наблюдений (измерений), т.е. при n<20 и

заданной доверительной вероятности Р=0,95 определяется по формуле:

57,172,018,2St

=⋅=⋅=ε

Таким образом, в соответствии с принятом условием, т.е. с

вероятностью 0,95, можно утверждать, что истинное значение

термо-ЭДС заключено между доверительными границами:

–ε=6880–1,57=6878,43 мкВ

+ε=6880+1,57=6881,57 мкВ

х≈

=6880±1,57 мкВ

Измерения, содержащие "грубые" погрешности, должны быть от-

брошены как не заслуживающие доверия. Однако, необходимо уточ-

нить, в каких случаях такие значения должны быть отброшены. На

практике часто пользуются простым предложением отбрасывать ре-

зультаты, содержащие большие погрешности, т.е. превышающие 3S

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

или 4S. Однако этот прием нельзя считать достаточно строгим, т. к.

погрешности являются случайными и поэтому появление погрешно-

сти само по себе не зависит от числа наблюдений.

При малом числе наблюдений (измерений) для определения ка-

кие измерения подлежат отбрасыванию, применяют критерий

В. И. Романовского, основанный на распределении Стьюдента. Пусть

получено n+1 результатов измерений х

, х

,…х

. При этом "n" зна-

чений не вызывают сомнений в отношении соответствии их нормаль-

ному ряду, а одно кажется сомнительным в этом ряду.

Для этого случая определяется среднеарифметическое значение

для "n" наблюдений и вычисляется среднеквадратическое отклонение.

Далее, исходя из степени достоверности, которая должна быть обеспе-

чена, зададимся вероятностью P

того, что разность (х

n+1

–

) не пре-

вышает некоторое допускаемое значение ε

, определяемое по формуле:

⋅S(1.9)

Значения t

для различных Р

приведены в таблице 2 (Приложе-

ние А).

Если ε

<х

n+1

–

, то измерение х

n+1

подлежит исключению из ряда,

как не заслуживающее доверия.

Пример 1.7. В дополнение к измерениям, данные которых приве-

дены в таблице 1.7 было проведено тринадцатое измерение ЭДС тер-

мопары, значение которого х

=6393 мкВ, а отклонение от среднего

–

=+13 мкВ. Оценка среднего квадратического отклонения по ре-

зультатам 12 измерений S=2,5 мкВ. Задаваясь P

=0,005 по таблице 2

(Приложение А), для n=12 находим t

=4,62 и определяем:

=4,62⋅2,5=11,55 мкВ

Тринадцатое наблюдение, для которого

1213

xx − =+13мкВ, под-

лежит исключению из ряда, так как 13>11,55.

1.9 Метрологические характеристики средств измерения

Большое значение при оценке качества и свойств средств измере-

ний имеет знание их метрологических характеристик. Одной из таких

характеристик является класс точности.

Классом точности называется обобщенная характеристика сред-

ства измерения, определяемая пределами допускаемых основных и

дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств

измерений, влияющими на точность. Следует иметь в виду, что класс

точности средств измерений характеризует их свойства в отношении

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

точности, но не является непосредственным показателем точности

измерений, выполняемых с помощью этих средств.

Классы точности удобны для сравнительной оценки качества

средств измерений, их выбора, международной торговли, и они при-

сваиваются средствам измерений при их разработке. В процессе экс-

плуатации метрологические характеристики средств измерений ухуд-

шаются и поэтому допускается понижение класса их точности по ре-

зультатам метрологической аттестации или поверки.

Основой для присвоения измерительным приборам того или ино-

го класса точности является их основная погрешность и способ ее вы-

ражения. Средства измерений выпускаются на следующие классы

точности: 0,01; 0,015; 0,02; 0,025; 0,04; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,4;

0,5; 0,6; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0; 5,0; 6,0. Условно можно разделить все сред-

ства измерения по классам точности на такие группы:

- индикаторы:1–6

- рабочие:0,1–1

- образцовые:0,01–0,1

- эталоны: меньше 0,01

Классы точности измерительных приборов наносятся на цифер-

блаты, шкалы или корпуса средств измерений в виде условных обо-

значении, например: 0,5; 5,0 ; 0,5 ; 0,5/0,3. При этом, цифре 0,5 соот-

ветствует предел допускаемой погрешности δ=±0,5%. Это приведен-

ная погрешность, для которой нормируемое значение выражено в

единицах измеряемой величины. Цифре со значком 0,5 соответствует

предел допускаемой погрешности δ=±0,5%. Это так же приведенная

погрешность, но нормируемое значение в этом случае - длина шкалы

прибора. Цифре с кружком 0,5 соответствует предел допускаемой

погрешности δ=0,5%. Это относительная погрешность, причем посто-

янная. Обозначению 0,5/0,3 соответствует предел допускаемой по-

грешности, выраженный формулой:

























−+±=δ 1

3,05,0

(1.10)

Это относительная погрешность, возрастающая с уменьшением

измеряемой величины х, где х

- конечное значение диапазона изме-

рений. Применяются и другие обозначения класса точности.

По классу точности прибора можно определить его допустимые

абсолютную и относительную погрешности ∆х

доп

и γ.

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

Для приборов с нулем в начале шкалы абсолютная погрешность

составит:

100

хк

доп

⋅

=∆ ,(1.11)

где к - класс точности прибора;

- нормирующее значение, равное верхнему пределу показаний

прибора.

Тогда согласно выражению (1.2) или (1.3) приведенная основная

погрешность прибора численно равна его классу точности, т.е.:

γ=±к (1.12)

Пример 1.8: Потенциометр класса точности 0,5 имеет шкалу

0…1600 °С. Определить допустимые абсолютную и относительную

погрешности прибора.

100

16005,0

доп

⋅

=∆ °С; γ=±0,5%

Для приборов, имеющих шкалу "с подавленным нулем" (т.е. на

шкале прибора отсутствует значение "0" как в начале, так и в середине

шкалы), необходимо дополнительно учитывать погрешность показа-

ний на начальной отметке шкалы. Для таких приборов абсолютная

основная погрешность рассчитывается по формуле:

100

Дd

100

Ек

доп













⋅

±=∆ (1.13)

где Е - диапазон шкалы прибора, равный х

–х

;

Д - диапазон "подавления" (нижний предел измерения);

d - значение поправки на "подавление нуля" (для приборов клас-

сов 0,5 и 1,0 d=±0,15, для класса 1,5 значение d=±0,25).

Заменяя в выражении (1.2) х

на Е, получим, что для приборов с

"подавленным нулем" приведенная основная погрешность определя-

ется следующим образцом:

100

доп

∆

±=γ (1.14)

или













⋅

+±=γ

Дd

к (1.15)

Таким образом, для этого типа приборов численное значение

приведенной основной погрешности будет превышать число, указан-

ПРАКТИЧЕСКАЯ

МЕТРОЛОГИЯ

ИЗМЕРЕНИЯ

ное в условном обозначении класса точности на величину

Дd

⋅

Пример 1.9. Определить погрешность потенциометра типа

КСП3 –П класса точности 1,5 для измерения температуры, имеющего

шкалу +300…1600 °С.

По формуле (1.13) находим, что абсолютная основная погреш-

ность на всех точках шкалы не должна превышать значение:

25,20

100

30025,0

100

)3001600(5,1

100

Дd

100

Ек

доп

±=













⋅

−⋅

±=













⋅

±= °С

Приведенная основная погрешность согласно формуле (2.14) со-

ставит:

%56,1100

1300

25,20

100

доп

±=±=

∆

±=γ

или по формуле (2.15)

()

56,106,05,1

1300

30025,0

5,1

Дd

к ±=+±=













⋅

+±=













⋅

+±=γ %

Пример 1.10. Определить погрешность вторичного прибора типа

КСДЗ класса точности 0,5 для изменения расхода со шкалой

0…1600 м

/ч. Согласно формуле (1.11) определяем абсолютную ос-

новную погрешность:

100

16005,0

100

хк

доп

⋅

=∆

Приведенная погрешность численно совпадает с классом точно-

сти прибора и равна:

γ=±к=±0,5%.

Вариацией показаний прибора называется разность между значе-

ниями отдельных показаний прибора, соответствующих одному и то-

му же значению измеряемой величины, полученных при приближении

к нему как от меньших значений к большим, так и от больших к

меньшим. Вариация показаний определяется одновременно с основ-

ной погрешностью как разность действительных значений измеряемой

величины (по показаниями образцового прибора), соответствующих

одной и той же отметке шкалы поверяемого прибора сначала при уве-

личении (прямое направление), а затем при уменьшении (обратное

направление) значения измеряемой величины. При нескольких подхо-

дах к данной точке диапазона измерений в каждом из двух направле-

ний вариация определяется как средняя разность.