симметрична, можно дополнительно уменьшить требуемый объем памяти ЭВМ
и объем вычислений, используя алгоритм метода Гаусса с обратным ходом.
Возможность такой экономии определяется тем, что квадратный блок
матрицы А
(k)
, пересчитываемый на каждом шаге прямого хода, с элементами
а
ij
(k)
(i, j = k+1, …, n) также будет симметричным.
Следовательно, при симметричной матрице А достаточно оперировать
только с ее верхней или нижней треугольной частью, что значительно
сокращает как объем памяти, так и количество вычислений.
3.2 Решение уравнений состояния итерационными методами
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений позволяют получить значения искомых неизвестных в результате
многократного выполнения единообразных шагов вычислений, называемых
последовательными приближениями или итерациями.
В отличие от прямых методов, к числу которых относится метод Гаусса,
решение можно получить только с заданной конечной точностью, причем с
увеличением требуемой точности растет и количество итераций.
В итерационном процессе матрица коэффициентов А линейной системы
уравнений не подвергается преобразованиям, что позволяет максимально
использовать ее слабую заполненность.
Это, в свою очередь, приводит к меньшему объему вычислений на
каждой итерации по сравнению с каждым шагом метода Гаусса.
Однако общее число итераций может оказаться (и, как правило,
оказывается) значительно больше порядка n решаемой системы уравнений.
В связи с этим итерационные методы по вычислительной эффективности
уступают методу Гаусса, особенно при построении алгоритма с учетом слабой
заполненности матрицы А.
Рассмотрим два итерационных метода решения систем линейных
алгебраических уравнений – метод простой итерации и метод Зейделя.
Эти методы допускают простое обобщение на решение нелинейных