Туркин Д.Г. Математические задачи энергетики. Методические указания

Подождите немного. Документ загружается.

симметрична, можно дополнительно уменьшить требуемый объем памяти ЭВМ

и объем вычислений, используя алгоритм метода Гаусса с обратным ходом.

Возможность такой экономии определяется тем, что квадратный блок

матрицы А

(k)

, пересчитываемый на каждом шаге прямого хода, с элементами

(k)

(i, j = k+1, …, n) также будет симметричным.

Следовательно, при симметричной матрице А достаточно оперировать

только с ее верхней или нижней треугольной частью, что значительно

сокращает как объем памяти, так и количество вычислений.

3.2 Решение уравнений состояния итерационными методами

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических

уравнений позволяют получить значения искомых неизвестных в результате

многократного выполнения единообразных шагов вычислений, называемых

последовательными приближениями или итерациями.

В отличие от прямых методов, к числу которых относится метод Гаусса,

решение можно получить только с заданной конечной точностью, причем с

увеличением требуемой точности растет и количество итераций.

В итерационном процессе матрица коэффициентов А линейной системы

уравнений не подвергается преобразованиям, что позволяет максимально

использовать ее слабую заполненность.

Это, в свою очередь, приводит к меньшему объему вычислений на

каждой итерации по сравнению с каждым шагом метода Гаусса.

Однако общее число итераций может оказаться (и, как правило,

оказывается) значительно больше порядка n решаемой системы уравнений.

В связи с этим итерационные методы по вычислительной эффективности

уступают методу Гаусса, особенно при построении алгоритма с учетом слабой

заполненности матрицы А.

Рассмотрим два итерационных метода решения систем линейных

алгебраических уравнений – метод простой итерации и метод Зейделя.

Эти методы допускают простое обобщение на решение нелинейных

уравнений установившегося режима, связывающих мощности и напряжения в

узлах электрической системы.

При этом многие свойства итерационного процесса решения нелинейных

уравнений установившегося режима электрической системы можно объяснить,

рассмотрев более простой случай – решение линейных уравнений состояния.

3.2.1 Метод простой итерации.

Исходная система линейных алгебраических уравнений

+ а

+ … + а

= b

+ а

+ … + а

= b

……………………………..

+ а

+ … + а

= b

преобразуется к виду

= (1/a

)(b

– а

– … – а

)

= (1/a

)(b

– а

– … – а

)

…………………………….. (3.3)

= (1/a

)(b

– а

– … – а

n(n-1)

n-1

)

при обязательном условии a

 0, i = 1, …, n.

Преобразованная система решается поэтапно:

1) задаются начальные (нулевые) значения неизвестных x

(0)

, i = 1,…,n;

2) значения х

(0)

подставляются в правые части уравнений и тем самым

определяются следующие приближения неизвестных x

(1)

, i = 1, … n;

3) подстановкой полученных значений x

(1)

находится следующее

приближение и т. д.

Таким образом, на k-м шаге итерационного процесса система примет вид:

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k-1)

– … – а

(k-1)

)

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k-1)

– … – а

(k-1)

)

……………………………..

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k-1)

– … – а

n(n-1)

n-1

(k-1)

)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения x

полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину,

меньшую заданной погрешности решения , т. е. до выполнения условия

(k+1)

– x

(k)

| < , i = 1, … n. (3.4)

Для выполнения условия (3.3) при любой заданной точности решения, т.е.

при любом сколь угодно малом значении , необходимо, чтобы

n, 1, i ,xxlim

)k(





(3.5)

где x

—точные решения исходной системы уравнений.

При выполнении (3.5) для произвольного начального приближения

(0)

, i = 1, ..., n итерационный процесс называется сходящимся, в противном

случае итерационный процесс не приводит к решению и называется

расходящимся.

Для сходимости итерационного процесса, условием которого служит

матричное соотношение

   

 

0xxlim

k1k







, при любом столбце начальных

приближений х

(0)

, необходимо выполнение достаточного условия сходимости:

.n,...,1i,aa









(3.6)

или в общем случае

,n,...,1i,papa

iiij









(3.7)

где p

, p

– положительные вещественные числа.

В частном случае, при p

= l, j = 1, ..., n, условие (3.7) переходит в (3.6).

Однако если достаточное условие сходимости (3.6) не выполняется, то в

некоторых случаях можно найти такие p

, при которых выполняется условие

(3.7).

3.2.2 Метод Зейделя.

Этот метод, так же как и метод простой итерации, базируется на

использовании уравнений, приведенных к виду (3.3). Однако в отличие от

метода простой итерации для вычисления i-й переменной на каждом k-м шаге

итерационного процесса используются значения переменных, вычисленные как

на предыдущем (k-1)-м шаге, так и на данном. При этом на k-м шаге

итерационного процесса система (3.3) имеет вид:

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k-1)

– … – а

(k-1)

)

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k)

– а

(k-1)

… – а

(k-1)

)

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k)

– а

(k)

– а

(k-1)

… – а

(k-1)

) (3.8)

……………………………..

(k)

= (1/a

)(b

– а

(k)

– … – а

n(n-1)

n-1

(k)

)

Достаточные условия сходимости метода простой итерации являются

достаточными и для метода Зейделя.

Если эти условия выполняются, то процесс по методу Зейделя сходится,

причем быстрее, чем по методу простой итерации, т. е. при одинаковых

начальных приближениях неизвестных и одинаковой заданной точности

решение по методу Зейделя получается за меньшее число итераций.

Опыт решения линейных уравнений состояния электрической системы

показывает, что и в тех случаях, когда достаточные условия сходимости не

выполняются, метод Зейделя обычно характеризуется более быстрой

сходимостью по сравнению с методом простой итерации.

Как метод Зейделя, так и метод простой итерации не всегда обеспечивают

возможность получения решения, поскольку расходимость соответствующих

итерационных процессов не исключена.

При этом условия сходимости (или расходимости) определяются только

свойствами матрицы А и не зависят ни от начального приближения, ни от

столбца правых частей b.

Последние два фактора влияют лишь на количество итераций,

необходимых для получения решения с заданной точностью.

При использовании метода Зейделя с помощью простого эквивалентного

преобразования исходной системы уравнений (т. е. преобразования, не

изменяющего ее решения) всегда можно обеспечить сходимость итерационного

процесса.

Действительно, известно, что при положительно-определенной матрице А

итерационный процесс по методу Зейделя всегда сходится.

Следовательно, если матрица А – положительно-определенная, то

сходимость гарантируется; если нет, то исходную систему можно привести к

эквивалентной с положительно-определенной матрицей коэффициентов путем

умножения слева на транспонированную матрицу А, т. е. путем перехода от

системы Ах = b к системе A

Ax = A

b или

A'x = b', (3.9)

где А' = А

А; b' = A

Если исходная система имеет решение, т. е. если А – неособенная, то

матрица А' – положительно-определенная и итерационный процесс по методу

Зейделя сходится к решению.

Преобразование системы уравнений к виду (3.9) позволяет обеспечить

сходимость метода Зейделя, однако при этом надо учитывать два важных для

практики фактора:

1) при переходе от А к А' возрастает заполненность матрицы

коэффициентов решаемой системы уравнений (вместо нулевых элементов

появляются ненулевые), т. е. возрастает объем вычислений на каждом шаге

итерационного процесса и требуемый объем памяти ЭВМ;

2) сходимость итерационного процесса к решению может быть очень

медленной, что существенно влияет на оценку эффективности метода. Сама по

себе сходимость итерационного процесса не является достаточным основанием

для суждения о целесообразности практического применения метода.

Контрольные вопросы

1. Методы решения уравнений состояния электрической системы – общая

классификация.

2. Метод Гаусса с обратным ходом.

3. Схема Жордана.

4. Применение оценки Адамара.

5. Метод простой итерации.

6. Метод Зейделя.

7. Схема главной диагонали.

8. Критерий сходимости и условие завершения итерационного процесса.

4 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ЭНЕРГЕТИКЕ

При выборе оптимального варианта достигается минимальное,

максимальное или иное значение какого-то критерия. Этот критерий

характеризует качество оптимизации.

Электрическая система характеризуется переменными управления,

переменными состояния, а также многими критериями задач оптимизации.

Для решения задач оптимизации электрическую систему, нужно

представить в виде математической модели.

В математической модели можно выделить следующие составляющие:

1) параметры системы, (конфигурация сети, активное и реактивное

сопротивление ЛЭП и трансформаторов и т.д.);

2) внешние и внутренние воздействия напряжения, значения

электрических нагрузок в различных точках цепи;

3) переменные управления или управляющие воздействия, например,

положение точек размыкания;

4) переменные состояния – характеристики режима потокораспред-

еления и т.д.;

5) критерий оптимальности или целевая функция, например, величина

потерь мощности или минимум приведенных затрат;

6) ограничения, накладываемые на переменные состояния и переменные

управления – это уровни напряжения и допустимые токи нагрузки.

Целевая функция представляет собой математическую запись критерия

оптимальности. При решении оптимизационной задачи ищется экстремум

целевой функции, например минимальные затраты или максимальная прибыль.

Обобщенная запись целевой функции имеет следующий вид:

Z(х

, х

, ... х

)→ extr, (4.1)

где х

, х

, ... х

– искомые переменные, значения которых вычисляются в

процессе решения задачи; общее количество переменных равно n.

Искомые переменные по своему характеру делятся на непрерывные,

дискретные и целочисленные.

Если переменная может принимать любые значения, такая переменная

называется непрерывной. Примером непрерывной переменной может служить

ток, передаваемый по линии электропередачи.

Если переменная может принимать только значения целых чисел, такая

переменная называется целочисленной.

Примером целочисленной переменной может служить количество

оборудования определенного вида (например, трансформаторов), необходимого

для электроснабжения потребителя.

Если переменная может принимать только определенные значения, такая

переменная называется дискретной.

Примером дискретной переменной может служить искомая мощность

единицы оборудования или искомое сечение проводника линии

электропередачи. Значения таких величин регламентируются ГОСТами.

Зависимость между переменными в целевой функции (4.1) может быть

линейной или нелинейной.

Нелинейная целевая функция в заданном диапазоне изменения

переменных может иметь один экстремум или несколько экстремумов. В

первом случае функция будет одноэкстремальной, во втором –

многоэкстремальной.

Ограничения представляют собой различные технические,

экономические и т.п. условия, учитываемые при решении задачи. Ограничения

представляют собой зависимости между переменными х

, х

, ... х

, задаваемые в

форме неравенств или равенств

(х

, х

, ... х

) < b

;

(х

, х

, ... х

) = b

;)

…………………….. (4.2)

(х

, х

, ... х

) > b

Общее количество ограничений равно m.

Правые части ограничений, представляющие собой постоянные

коэффициенты b

(j=1, 2, … m), называются свободными членами.

Зависимости между переменными в системе ограничений могут быть

линейными и нелинейными.

Граничные условия устанавливают диапазон изменения искомых

переменных

< х

< D

, i=1, 2, … n, (4.3)

где d

и D

- соответственно нижняя и верхняя границы диапазона изменения

переменной x

Наиболее часто в технических задачах все искомые переменные, как

правило, неотрицательны. В этом случае граничные условия имеют вид:

> 0, i = 1, 2, ... n. (4.4)

Для решения подавляющего большинства оптимизационных задач

используются методы математического программирования, позволяющие найти

экстремальное значение целевой функции (4.1) при соотношениях между

переменными, устанавливаемых ограничениями (4.2), в диапазоне изменения

переменных, определяемом граничными условиями (4.3).

Математическое программирование представляет собой, как правило,

многократно повторяющуюся вычислительную процедуру, приводящую к

искомому оптимальному решению.

Выбор метода математического программирования для решения

оптимизационной задачи определяется видом зависимостей в математической

модели, характером искомых переменных, категорией исходных данных и

количеством критериев оптимальности.

Если в математической модели имеются только линейные зависимости

между переменными, для решения оптимизационной задачи используются

методы линейного программирования.

Если в математической модели имеются нелинейные зависимости между

переменными, для решения оптимизационной задачи используются методы

нелинейного программирования.

4.1 Линейные оптимизационные задачи

Задача линейного программирования формулируется следующим

образом: найти экстремальное значение линейной целевой функции Z при

ограничениях, заданных в форме линейных равенств и (или) неравенств, и

граничных условиях, указывающих диапазон изменения переменных.

4.1.1 Симплекс-метод

Симплекс-метод является универсальным аналитическим методом

решения задач линейного программирования.

Симплекс – понятие геометрическое, означающее совокупность вершин

многомерного тела.

Идея симплекс-метода заключается в последовательном переборе

решений – в последовательном переходе от одной вершины к другой. Однако

этот перебор не хаотичный, а таков, что на каждом шаге решение улучшается.

Метод состоит из двух этапов: на первом этапе ищется допустимое

решение; на втором этапе это допустимое решение улучшается до

оптимального.

Симплекс-алгоритм применим для оптимизации линейной целевой

функции многих переменных, связанных линейными равенствами ограничений

при условии, что уравнения ограничений и уравнение целевой функции имеют

канонический вид.

Система называется системой канонического вида, если в каждом

уравнении имеется базисная переменная.