Трофимова Т.И. Курс физики
Подождите немного. Документ загружается.
направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В
0
наблюдается
центральный дифракционный максимум.
Из условий (179.2) и (179.3) можно найти направления на точки экрана, в которых амплитуда (а
следовательно, и интенсивность) равна нулю (sin
min
= m
/a) или максимальна (sin
max
=
(2m+1)
/(2a)). Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции
(дифракционный спектр), приведено на рис. 261, б. Расчеты показывают, что интенсивности в
центральном и последующих максимумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : .... т.е. основная
часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих
расчетов следует, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а
интенсивность уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем
щель шире (а>
), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше.
При а>>
в центре получается резкое изображение источника света, т. е. имеет место прямолинейное
распространение света.
Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны
, поэтому рассмотренная выше
дифракционная картина имеет место лишь для монохроматического света. При освещении щели
белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин
волн (при
=0 разность хода равна нулю для всех
). Боковые максимумы радужно окрашены, так
как условие максимума при любых т различно для разных
. Таким образом, справа и слева от
центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m=1), второго (т=2) и других порядков,
обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько
расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной
щели получить невозможно.
§ 180. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке
Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через
одномерную дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной ширины, лежащих
в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Рассматривая
дифракцию Фраунгофера на щели, мы видели, что распределение интенсивности на экране
определяется направлением дифрагированных лучей. Это означает, что перемещение щели
параллельно самой себе влево или вправо не изменит дифракционной картины. Следовательно, если
перейти от одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины,
создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми.
Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих
от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция
когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.
261
Рассмотрим дифракционную решетку. На рис. 262 для наглядности показаны только две соседние щели
MN и CD. Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то
величина d=a+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская
монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от
друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут
для данного направления
одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:
(180.1)
Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет
распространяться и при двух щелях, т. е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут
наблюдаться в направлениях, определяемых условием (179.2):
(180.2)
Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в
некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы.
Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут наблюдаться в тех направлениях, которым
соответствует разность хода лучей /2, 3/2, ..., посылаемых, например, от крайних левых точек М и
С обеих щелей. Таким образом, с учетом (180.1) условие дополнительных минимумов:
Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если
(180.3)
т. е. выражение (180.3) задает условие главных максимумов.
Таким образом, полная дифракционная картина, для двух щелей определяется из условий:
т. е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. Аналогично
можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагается
два дополнительных минимума, при четырех щелях — три и т. д.
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие
(180.2), условием главных максимумов — условие (180.3), а условием дополнительных минимумов
(180.4)
где т' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, .... т. е. кроме тех, при которых
условие (180.4) переходит в (180.3). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными
максимумами располагается N–1 дополнительных минимумов, разделенных вторичными
максимумами, создающими весьма слабый фон.
Чем больше щелей N, тем большее количество световой энергии пройдет через решетку, тем больше
минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем, следовательно, более
интенсивными и более острыми будут максимумы. На рис. 263 качественно представлена
дифракционная картина от восьми щелей. Так как модуль sin
не может быть больше единицы, то из
(180.3) следует, что число главных максимумов
262
т. е. определяется отношением периода решетки к длине волны.
Положение главных максимумов зависит от длины волны (см. (180.3)). Поэтому при пропускании
через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (т=0), разложатся в спектр,
фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу.
Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света
(определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е.
дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.
Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, отличаются размерами,
формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что
позволяет перекрывать область спектра от ультрафиолетовой его части до инфракрасной). Например,
ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в
направлении одного определенного ненулевого порядка.
§ 181. Пространственная решетка. Рассеяние света
Дифракция света наблюдается не только на плоской одномерной решетке (штрихи нанесены
перпендикулярно некоторой прямой линии), но и на двумерной решетке (штрихи нанесены во
взаимно перпендикулярных направлениях в одной и той же плоскости). Большой интерес
представляет также дифракция на пространственных (трехмерных) решетках —
пространственных образованиях, в которых элементы структуры подобны по форме, имеют
геометрически правильное и периодически повторяющееся расположение, а также постоянные
(периоды) решеток, соизмеримые с длиной волны электромагнитного излучения. Иными словами,
подобные пространственные образования должны иметь периодичность по трем не лежащим в одной
плоскости направлениям. В качестве пространственных дифракционных решеток могут быть
использованы кристаллические тела, так как в них неоднородности (атомы, молекулы, ионы)
регулярно повторяются в трех направлениях.
Дифракция света может происходить также в так называемых мутных средах — средах с явно
выраженными оптическими неоднородностями. К мутным средам относятся аэрозоли (облака, дым,
туман), эмульсия, коллоидные растворы и т. д., т. е. такие среды, в которых взвешено множество
очень мелких частиц инородных веществ. Свет, проходя через мутную среду, дифрагирует от
беспорядочно расположенных микронеоднородностей, давая равномерное распределение
интенсивностей по всем направлениям, не создавая какой-либо определенной дифракционной
картины. Происходит так называемое рассеяние света в мутной среде. Это явление можно
наблюдать, например, когда узкий пучок солнечных лучей, проходя через запыленный воздух,
рассеивается на пылинках и тем самым становится видимым.
Рассеяние света (как правило, слабое) наблюдается также и в чистых средах, не содержащих
посторонних частиц. Л. И. Мандельштам объяснил рассеяние света в средах нарушением их
оптической однородности, при котором показатель преломления среды не постоянен, а меняется от
точки к точке. В дальнейшем польский физик М. Смолуховский (1872—1917) указал, что причиной
рассеяния света могут быть также флуктуации плотности, возникающие в процессе хаотического
263
(теплового) движения молекул среды. Рассеяние света в чистых средах, обусловленное
флуктуациями плотности, анизотропии или концентрации, называется молекулярным рассеянием.
Молекулярным рассеянием объясняется, например, голубой цвет неба. Согласно закону Д. Рэлея,
интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (I~
–4
),
поэтому голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обусловливая тем
самым голубой цвет неба. По этой же причине свет, прошедший через значительную толщу
атмосферы, оказывается обогащенным более длинноволновой частью спектра (сине-фиолетовая
часть спектра полностью рассеивается) и поэтому при закате и восходе Солнце кажется красным.
Флуктуации плотности и интенсивность рассеяния света возрастают с увеличением температуры.
Поэтому в ясный летний день цвет неба является более насыщенным по сравнению с таким же
зимним днем.
§ 182. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа — Брэггов
Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же
порядка, что и длина волны падающего излучения (см. (180.3)). Кристаллы, являясь трехмерными
пространственными решетками (см. § 181), имеют постоянную порядка 10
–10
м и, следовательно,
непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете ( 510
–7
м). Эти факты позволили
немецкому физику М. Лауэ (1879—1960) прийти к выводу, что в качестве естественных
дифракционных решеток для рентгеновского излучения можно использовать кристаллы, поскольку
расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с рентгеновского излучения (10
–12
10
–8
м).
Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен
независимо друг от друга Г. В. Вульфом (1863—1925) и английскими физиками Г. и Л. Брэггами
(отец (1862—1942) и сын (1890—1971)). Они предположили, что дифракция рентгеновского
излучения является результатом его отражения от системы параллельных кристаллографических
плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки).
Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей (рис.
264), отстоящих друг от друга на расстоянии d. Пучок параллельных монохроматических
рентгеновских лучей (1, 2) падает под углом скольжения
(угол между направлением падающих
лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые
становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интерферирующих между собой,
подобно вторичным волнам, от щелей дифракционной решетки. Максимумы интенсивности
(дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные
атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют
формуле Вульфа — Брэггов
(182.1)
т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических
плоскостей, кратной целому числу длин волн А, наблюдается дифракционный максимум.
При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл
дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти угол скольжения.
Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего
нужно пользоваться непрерывным рентгеновским спектром, испускаемым рентгеновской трубкой.
Тогда для таких условий опыта всегда найдутся длины волн , удовлетворяющие условию (182.1).
Формула Вульфа — Брэггов используется при решении двух важных задач:
1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристаллической структуре
неизвестного строения и измеряя
и т, можно найти межплоскостное расстояние (d), т.е. определить
структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа
— Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования
структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов, называются соответственно
электронографией и нейтронографией.
264
2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре
при известном d и измеряя
и т, можно найти длину волны падающего рентгеновского излучения.
Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.
§ 183. Разрешающая способность оптических приборов
Используя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой отсутствуют дефекты и
аберрации), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что
объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом
свете представляет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде
центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.
Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или
двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми
симметричными контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум
дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом
дифракционной картины от другого (рис. 265, а). При выполнении критерия Рэлея интенсивность
«провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в максимуме, что является
достаточным для разрешения линий
1
и
2
. Если критерий Рэлея нарушен, то наблюдается одна
линия (рис. 265, б).
1. Разрешающая способность объектива. Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных
источников S
1
и S
2
(например, звезд) с некоторым угловым расстоянием
, то вследствие дифракции
световых волн на краях диафрагмы, ограничивающей объектив, в его фокальной плоскости вместо
двух точек наблюдаются максимумы, окруженные чередующимися темными и светлыми кольцами
(рис. 266). Можно доказать, что две близлежащие звезды, наблюдаемые в объективе в монохро-
матическом свете, разрешимы, если угловое расстояние между ними
(183.1)
где — длина волны света, D — диаметр объектива.
Разрешающей способностью (разрешающей силой) объектива называется величина
где
— наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще оптическим
прибором разрешаются.
Согласно критерию Рэлея, изображения двух одинаковых точек разрешимы, когда центральный
максимум дифракционной картины для одной точки совпадает с первым минимумом дифракционной
картины для другой (рис. 266). Из рисунка следует, что при выполнении критерия Рэлея угловое
расстояние
между точками должно быть равно
, т. е. с учетом (183.1)
Следовательно, разрешающая способность объектива
(183.2)
т. е. зависит от его диаметра и длины волны света.
265
Из формулы (183.2) видно, что для увеличения разрешающей способности оптических приборов нужно
либо увеличить диаметр объектива, либо уменьшить длину волны. Поэтому для наблюдения более
мелких деталей предмета используют ультрафиолетовое излучение, а полученное изображение в
данном случае наблюдается с помощью флуоресцирующего экрана либо фиксируется на
фотопластинке. Еще большую разрешающую способность можно было бы получить с помощью
рентгеновского излучения, но оно обладает большой проникающей способностью и проходит через
вещество не преломляясь; следовательно, в данном случае невозможно создать преломляющие
линзы. Потоки электронов (при определенных энергиях) обладают примерно такой же длиной волны,
как и рентгеновское излучение. Поэтому электронный микроскоп имеет очень высокую
разрешающую способность (см. § 169).
Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину
(183.3)
где
— абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседних спектральных линий,
при которой эти линии регистрируются раздельно.
2. Разрешающая способность дифракционной решетки. Пусть максимум т-го порядка для длины
волны
2
наблюдается под углом
, т. е., согласно (180.3), dsin
=m
2
. При переходе от максимума к
соседнему минимуму разность хода меняется на
/N (см. (180.4)), где N — число щелей решетки.
Следовательно, минимум
1
, наблюдаемый под углом
min
, удовлетворяет условию dsin
min
=m
1
+
1
/N.
По критерию Рэлея,
=
min
, т. е. m
2
=m
1
+
1
/N или
2
/(
2
–
1
)=mN. Tax как
1
и
2
близки между
собой, т. е.
2
–
1
=
то, согласно (183.3),
Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна порядку m
спектра и числу N щелей, т. е. при заданном числе щелей увеличивается при переходе к большим
значениям порядка m интерференции. Современные дифракционные решетки обладают довольно
высокой разрешающей способностью (до 210
5
).
§ 184. Понятие о голографии
Голография (от греч. «полная запись») — особый способ записи и последующего восстановления
волнового поля, основанный на регистрации интерференционной картины. Она обязана своим
возникновением законам волновой оптики — законам интерференции и дифракции.
Этот принципиально новый способ фиксирования и воспроизведения пространственного изображения
предметов изобретен английским физиком Д. Габором (1900—1979) в 1947 г. (Нобелевская премия
1971 г.). Экспериментальное воплощение и дальнейшая разработка этого способа (Ю. Н. Денисюком
в 1962 г. и американскими физиками Э. Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.) стали возможными
после появления в 1960 г. источников света высокой степени когерентности — лазеров (см. § 233).
Рассмотрим элементарные основы принципа голографии, т.е. регистрации и восстановления
информации о предмете. Для регистрации и восстановления волны необходимо уметь
регистрировать и восстанавливать амплитуду и фазу идущей от предмета волны. В самом деле,
согласно формуле (144.2), учитывая, что I ~ А
2
, распределение интенсивности в интерференционной
картине определяется как амплитудой интерферирующих волн, так и разностью их фаз. Поэтому для
регистрации как фазовой, так и амплитудной информации кроме волны, идущей от предмета (так
называемой предметной волны), используют еще когерентную с ней волну, идущую от источника
света (так называемую опорную волну). Идея голографирования состоит в том, что фотографируется
распределение интенсивности в интерференционной картине, возникающей при суперпозиции
волнового поля объекта и когерентной ему опорной волны известной фазы. Последующая дифракция
света на зарегистрированном распределении почернений в фотослое восстанавливает волновое поле
объекта и допускает изучение этого поля при отсутствии объекта.
266
Практически эта идея может быть осуществлена с помощью принципиальной схемы, показанной на рис.
267, а. Лазерный пучок делится на две части, причем одна его часть отражается зеркалом на
фотопластинку (опорная волна), а вторая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета
(предметная волна). Опорная и предметная волны, являясь когерентными и накладываясь друг на
друга, образуют на фотопластинке интерференционную картину. После проявления фотопластинки и
получается голограмма — зарегистрированная на фотопластинке интерференционная картина, об-
разованная при сложении опорной и предметной волн.
Для восстановления изображения (рис. 267, б) голограмма помещается в то же самое положение, где
она находилась до регистрации. Ее освещают опорным пучком того же лазера (вторая часть
лазерного пучка перекрывается диафрагмой). В результате дифракции света на интерференционной
структуре голограммы восстанавливается копия предметной волны, образующая объемное (со всеми
присущими предмету свойствами) мнимое изображение предмета, расположенное в том месте, где
предмет находился при голографировании. Оно кажется настолько реальным, что его хочется
потрогать. Кроме того, восстанавливается еще действительное изображение предмета, имеющее
рельеф, обратный рельефу предмета, т. е. выпуклые места заменены вогнутыми, и наоборот (если
наблюдение ведется справа от голограммы).
Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зрительному восприятию
создает полную иллюзию существования реального предмета. Рассматривая из разных положений
объемное изображение предмета, даваемое голограммой, можно увидеть более удаленные предметы,
закрытые более близкими из них (заглянуть за ближние предметы). Это объясняется тем, что,
перемещая голову в сторону, мы воспринимаем изображение, восстановленное от периферической
части голограммы, на которую при экспонировании падали также и лучи, отраженные от скрытых
предметов. Голограмму можно расколоть на несколько кусков. Но даже малая часть голограммы
восстанавливает полное изображение. Однако уменьшение размеров голограммы приводит к
ухудшению четкости получаемого изображения. Это объясняется тем, что голограмма для опорного
пучка служит дифракционной решеткой, а при уменьшении числа штрихов дифракционной решетки
(при уменьшении размеров голограммы) ее разрешающая способность уменьшается.
Методы голографии (запись голограммы в трехмерных средах, цветное и панорамное голографирование
и т. д.) находят все большее развитие. Применения голографии разнообразны, но наиболее важными,
приобретающими все большее значение, являются запись и хранение информации. Методы
голографии позволяют записывать в сотни раз больше страниц печатного текста, чем методы
267
обычной микрофотографии. По подсчетам, на фотопластинку размером 3232 мм можно записать
1024 голограммы (площадь каждой из них 1 мм
2
), т. е. на одной фотопластинке можно «разместить»
книгу объемом свыше тысячи страниц. В качестве будущих разработок могут служить ЭВМ с
голографической памятью, голографический электронный микроскоп, голографические кино в
телевидение, голографическая интерферометрия и т. д.
Задачи
23.1. Плоская световая волна с длиной волны 0,6 мкм падает нормально на диафрагму с круглым
отверстием диаметром 1 см. Определить расстояние от точки наблюдения до отверстия, если
отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля. [1) 20,8 м; 2) 13,9 м]
23.2. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохро-
матического света (=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма
с круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр дифракционной картины на
экране будет наиболее темным. [0,5 мм]
23.3. На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,5 мкм.
Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно щели на
расстоянии 1 м. Определить расстояние между первыми дифракционными минимумами,
расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума. [5 мм]
23.4. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу /2 соответствует
максимум пятого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм. [400 мм
–1
]
23.5. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на грань
кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными плоскостями. Определить длину волны
рентгеновского излучения, если под углом 30° к плоскости грани наблюдается дифракционный
максимум второго порядка. [140 пм]
23.6. Определить постоянную дифракционной решетки, если она в первом порядке разрешает две
спектральные линии калия (
1
=578 нм и
2
=580 нм). Длина решетки 1 см. [34,6 мкм]
Глава 24 Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
§ 185. Дисперсия света
Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты (длины
волны ) света или зависимость фазовой скорости v световых волн (см. § 154) от его частоты .
Дисперсия света представляется в виде зависимости
(185.1)
Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через
призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.).
Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с
преломляющим углом А и показателем преломления п (рис. 268) под углом
1
. После двукратного
преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального
направления на угол
. Из рисунка следует, что
(185.2)
Предположим, что углы А и
1
малы, тогда углы
2
,
1
и
2
будут также малы и вместо синусов этих
углов можно воспользоваться их значениями. Поэтому
1
/
1
=n,
2
/
2
=1/n, а так как
1
+
2
=А, то
2
=
2
n=n(A–
1
)=n (A–
1
/n)=nA–
1
, откуда
(185.3)
Из выражений (185.3) и (185.2) следует, что
(185.4)
т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.
268
Из выражения (185.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины n–1, а n —
функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся
отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и
наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью
дифракционной решетки, разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.
Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.
1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам воли (см. (180.3)),
поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить
длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления,
поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость n=f() (185.1).
2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. Из (180.3)
следует, что в дифракционной решетке синус угла отклонения пропорционален длине волны.
Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются
дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя
преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны уменьшается (рис.
269). Поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.
Величина
называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется показатель преломления с
длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель преломления для прозрачных веществ с
уменьшением длины волны увеличивается; следовательно, величина dn/d
по модулю также
увеличивается с уменьшением
. Такая дисперсия называется нормальной. Как будет показано
ниже, ход кривой n(
) — кривой дисперсии — вблизи линий и полос поглощения будет иным: n
уменьшается с уменьшением
. Такой ход зависимости n от
называется аномальной дисперсией.
На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов. Несмотря на их
некоторые недостатки (например, необходимость градуировки, различная дисперсия в разных
участках спектра) при определении спектрального состава света, призменные спектрографы находят
широкое применение в спектральном анализе. Это объясняется тем, что изготовление хороших призм
значительно проще, чем изготовление хороших дифракционных решеток. В призменных
спектрографах также легче получить большую светосилу.
§ 186. Электронная теория дисперсии светя
Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель
преломления среды
где — диэлектрическая проницаемость среды,
— магнитная проницаемость. В оптической области
спектра для всех веществ
1, поэтому
269
(186.1)
Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной
(см. § 185), остается в то же время равной определенной постоянной
. Кроме того, значения n,
получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения
дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной
теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия
электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими
вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.
Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив
формально, что дисперсия света является следствием зависимости
от частоты
световых волн.
Диэлектрическая проницаемость вещества, по определению (см. (88.6) и (88.2)), равна
где
— диэлектрическая восприимчивость среды,
0
— электрическая постоянная, Р — мгновенное
значение поляризованности. Следовательно,
(186.2)
т.е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т.е.
вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так
как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока
(
10
15
Гц).
В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние,
наиболее слабо связанные с ядром электроны — оптические электроны. Для простоты рассмотрим
колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона,
совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е — заряд электрона, х — смещение
электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в
диэлектрике равна n
0
, то мгновенное значение поляризованности
(186.3)
Из (186.2) и (186.3) получим
(186.4)
Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е.
Поле световой волны будем считать функцией частоты , т. е. изменяющимся по гармоническому
закону: Е = Е
0
cos
t.
Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. §147) для простейшего случая (без учета силы
сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде
(186.5)
где F
0
= еЕ
0
— амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны,
mk /
0
— собственная частота колебаний электрона, т — масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем
= n
2
в зависимости от констант атома (е, т,
0
) и частоты
внешнего поля, т.е. решим задачу
дисперсии. Решение уравнения (186.5) можно записать в виде
(186.6)
где
(186.7)
в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим
(186.8)
Если в веществе имеются различные заряды е
i
, совершающие вынужденные колебания с различными
собственными частотами
0i
, то
(186.9)
где т, — масса i-го заряда.
270