Типовой расчёт по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
№141
Найти производные
dx
dy
данных функций:
а)
;
1
3
342
3
xx
xy
б)
2
cos
3
x
ey
в)
);52sin(ln xy
г)
x
x
xy
д)
x
x
y
tg 5)(
Решение
Производная функция равна отношению её дифференциала к диф-лу
независимой переменной
dx
dy
xf )('
а)
2
1
3
2
1
)1(3)34(2)(
xxxyxf
2
)1()13(3
)34(4)('
2
3
32
2
1
xxx
xxf
33
2
)1(2
)13(3
34
4
xx
x
x
dx
dy
Чтобы получить производную от квадратного корня из функции, надо единицу
разделить на два корня квадратных из той же функции и полученную дробь
умножить на производную от функции, стоящей под корнем. Можно также
заменить
x
как
2
1
x
б)
2
cos
3
x
ey
=
)(xf
)sin()3(2)('
coscos
xeexf
xx
)3(sin2
coscos
xx
exe
dx
dy
Здесь мы имеем дело со сложной функцией. Для того, чтобы найти её
производную, воспользуемся формулой
)'3()3('''
cos1cos
xnx
yux
eenuyy
для дифференцирования сложной функции.
в)
)52(2
)52sin(
)52cos(2
2)52cos(
)52sin(
1
)('
)()52sin(ln
xctg
x
x
x
x
xf
xfxy
)52(2 xctg
dx
dy
Для нахождения производной данной функции необходимо сначала взять
производную
4
1
'ln u
, а так как функция сложная, то необходимо найти и
'u
г)
x
x
xy
Прологарифмируем данную функцию, получим:
xxxf
xxy
x
x
ln)(ln
lnln
x
x
xx
xf
xf
x
ln)'(
)(
)('
Найдём производную х
х
отдельно, воспользуемся снова логарифмированием
xxxf ln)(ln
1
x
x
xxxx
dx
dy
x
x
xxxxxf
x
x
xxx
xf
xf
xxxf
x
xf
xf
x
xx
x
xx
x
xx
x
)1(lnln;ln)1(ln)('
;ln)1(ln
)(
)('
);1(ln)('
1ln
)(
)('
1
1
1
Таким образом, чтобы найти производную такого типа, нужно учитывать что
x>0, так как в противном случае функцию нельзя будет логарифмировать.
д)
x
y
x
y
x
yyxy
x
y
x
x
y
x
yxy
x
yxy
x
y
x
y
x
y
x
x
y
tg
22
22
22
2
2
'
2
cos5
';'cos5
;5
cos
'
;5
'
cos
1
;5
cos
1
5
Так как функция неявная, то при дифференцировании
x
y
получается
2
'
x
yxy
по формуле
2
'
''
v
uvvu
v
u
Решение этой неявной функции состоит в том, что обе части уравнения
0),( yxf
дифференцируются по x с учётом, что y есть функция x, и из
полученного уравнения определяется
'y
.
№151
Найти
2
2
dx
yd
и
xy
dy
для заданных функций: а)y=f(x)
б)
)(
)(
ty
tx
а)
;
)1(
2
x
x
y
б)
tty
t
x
sin
2
cos
а)Найдём
''' yиy
для функции
;
)1(
2
x
x
y
22
2
22
22
22
2
)1(
1
)1(
211
)1(
2)1(1
'
x
x
x
xx
x
xxx
y
Мы нашли
'y
, теперь найдём
''y
для этой функции:
32
2
32
22
32
22
42
222
42
2222
'
22
2
)1(
)3(2
)1(
)122(2
)1(
)1()1(22
)1(
)1(2)1()1(2
)1(
)1(2)1(2)1(2
)1(
1
)''(''
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxx
x
x
yy
б)Найдём
2
2
dx
yd
и
xy
dy
для функции
)(
)(
ty
tx
; т.е.
tty
t
x
sin
2
cos
tttytty
t
t
tx
t
x
cos'sin
2
2
sin
2
1
2
sin'
2
cos
Найдём
dx
dy
, т.е. найдём производную первого порядка
tx
ty
xy
'
'
'
;
2
sin4
2
sin1
2
sin22
2
sin
2
1
cos1
'
2
t
t
t
t
t
xy
Узнаем
;)''( txy
2
cos2
2
cos
2
4
2
1
2
cos4
2
sin4)''(
'
ttt
t
t
txy
Найдём
2
2
dx
yd
, т.е. найдём производную второго порядка, которая находится по
формуле:
tx
txy
xxy
'
')''(
''
2
4
2
sin
2
2
cos2
2
sin
2
1
2
cos2
''
t
ctg
t
t
t
t
xxy
Ответ:
dx
dy
функции: а)
22
2
)1(
1
x
x
б)
2
sin4
t
2
2
dx
yd
функции : а)
32
2
)1(
)3(2
x
xx
б)
2
4
t
ctg
№181
Требуется изготовить из жести цилиндрический бак без крышки данного
объёма V. Каковы должны быть радиус и высота бака, чтобы на его
изготовление пошло наименьшее количество металла?
Решение
Объём цилиндра найдём по формуле:
hRV
2
,
Где R- радиус основания, h – высота цилиндра.
Площадь боковой поверхности:
RhS
б
2
Так как бак без крышки, то полная поверхность равна
h
2
2 RRhS
п
.
Изобразим полную поверхность через радиус основания и объём
2
R
V
h
22
2
2
2 R
R
V
R
R
V
RS
п
Найдём производную первого порядка:
R
R
V
R
R
VR
R
V
S
2
2
2
1
2
2
'
22
'
2
Здесь мы используем формулы:
';'
11
1
'
2
'
VVmVV
V
V
mm
Необходимое условие существования экстремума
R
3
3
2
2
2
0
;02
2
0)('
V
R
RV
R
R
V
R
R
V
R
R
V
xF
Найдём вторую производную
24222
2
''
3
'
2
'
2
VRRVRR
R
V
S
3
V
R
3
3
2
V
V
V
h
То есть , при
3
V
hR
уйдёт наименьшее количество материала.
№191
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x),
используя результаты исследования, построить её график
2
4
4
x
x
y
1.
RxyD :)(
точки разрыва нет.
2.Функция непрерывна в D(y)
3.Исследования на асимптоты: y=kx+b
0
2
4
lim
4
4
lim0
4
4
lim))((lim
0
4
4
lim
1
4
4
lim
)(
lim
22
22
x
xx
kxxyb
x
x
x
x
x
xy
k
xxxx
xxx
y=0 – горизонтальная асимптота
4.Исследование на чётность-нечётность
)(
4
4
)(4
)(4
)(
22
xy
x
x
x
x
xy
- функция нечётная, т.е. симметричная
относительно начала координат:
5.Найдём пересечения с осями координат:
Оy:
00 yx
О(0;0)
Ox:
00 xy
– + х
0
]0;(0),(
);0(0).(
xxy
xxy
6.Найдём экстремумы функции и её промежутков монотонности:
22
2
22
22
22
2
)4(
)4(4
)4(
8164
)4(
)4(2)4(4
'
x
x
x
xx
x
xxx
y
6.1
2040'
2,1
2
xxy
6.2
404'
22
xxy
(корня из отриц. числа не сущ.)
– + –
х
-2 2
Значение функции в этих точках:
y min(-2) = -1
y max(2 = 1
7. Исследуем функцию на вогнутость и выпуклость:
32
2
32
22
32
222
42
222
)4(
)12(8
)4(
)284(8
)4(
)4(2)4()4(24
)4(
)4(2)4(24
''
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
xxx
y
7.1
3212;00)12(80''
5,43
2
xxxxy
7.2
0)4(''
32
xy
)(304112141444
011212
:,
;011212
;0644812
;0644812
;043434
4
2
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
246
64223
неткорнейacbD
tt
тогдаtxПусть
xx
xx
xxx
xxx
– + – +
х
32
0
32
Значение функции в этих точках:
2
3
)32(
2
3
)32(
y
y
y
2
4
4
x
x
y
x
| |
№201
x
x
y
ln
1)D(y)=
);0(
Определили тип разрыва.
2)x=0 - вертикальная асимптота
00
lim
0
0
xx
3) Проверим на чётность
x
x
x
x
xf
ln)ln(
)(
- функция нечётная
График симметричен относительно начала координат
4) Ищем наклонные асимптоты .
0
3
2
lim
3
1
2
lim
ln
lim
ln
lim
33
x
x
x
x
x
xx
x
k
xxxx
b
1
=0
Асимптот наклонных нет
5) Ох: y=0: lnx=0; x=1 (1;0)
Oy:
0х
6) Находим производную функции
22
'
2
)ln2(
2
ln2
ln
2
11
ln
'
x
xx
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
y
0;02;'
;2ln;0ln2;0'
2
2
xxy
exxxy
max
+ –
0 e
2
Найдём координаты точки max по у
e
eA
e
e
e
eyy
2
;max;
2ln
)(max
2
2
2
7)Найдём вторую производную и промежутки выпуклости и вогнутости
35
2
5
222
4
22
4
2
'
2
4
)8ln3(
4
)ln482ln2(
4
)ln2(42)ln2(
4
)ln2(4
2
)ln2(
4
)ln2(42
1
)ln2(
2
1
2
)ln2(
''
x
xx
x
xxxx
x
xxxxxxxx
x
xxx
x
xx
x
x
xx
x
xxxxx
x
x
x
x
xx
y
3.14;
3
8
ln;8ln3;0''
3
8
3
8
eexxxy
0;'' xy