Типовой расчёт по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
№11
Даны координаты вершин пирамиды А
1
А
2
А
3
А
4
. Найти: 1) длину ребра А
1
А
2
;
2) угол между рёбрами А
1
А
2
и А
1
А
4
; 3) угол между ребром А
1
А
4
и гранью
А
1
А
2
А
3
; 4) площадь грани А
1
А
2
А
3
; 5) объём пирамиды ; 6) уравнение прямой
А
1
А
2
; 7)уравнение плоскости А
1
А
2
А
3
; 8) уравнение высоты, опущенной из
вершины А
4
на грань А
1
А
2
А
3
.
Сделать схематический чертёж.
А
1
(4;2;5); А
2
(0;7;2); А
3
(0;2;7); А
4
(1;5;0)
Решение
1)Определим длину ребра А
1
А
2.
Длина ребра А
1
А
2
равна длине вектора
21
АА
, координаты и длину которого
определили по формулам
;;;
12121221
zzyyxxАА
(1)
(2)
Подставим в формулы (1), (2) координаты точек А
1
и А
2,
получим:
3;5;4
21
АА
;
50)3(5)4(
222
21
АА
Ответ:
50
21
АА
(лин. ед.)
2)Определим угол между рёбрами А
1
А
2
и А
1
А
4
Угол между рёбрами равен углу между векторами
4121
ААиАА
Угол
между векторами определили по формуле
4121
4121
)(
cos
АААА
АААА
(3)
Координаты и длину вектора
41
АА
вычислим по формулам (1), (2)
},50;25;41{
41
АА
откуда
}5;3;3{
41
АА
43)5(3)3(
222
41
АА
(лин. ед.)
Так скалярное произведение равно
;
zzyyxx
babababа
(4)
42)5()3(35)3(4
4121
АААА
Подставим полученные значения для
41214121
, ААААиАААА
,
в формулу (3) , получим
9059.0
36.46
42
2150
42
5043
42
cos
, откуда
069,25
Ответ: Угол между рёбрами А
1
А
2
и А
1
А
4
069,25
3) Определим угол между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3.
Угол
между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
найдём по формуле
Ne
Ne
)(
sin
(5)
где
e
направляющий вектор прямой А
1
А
4
;
N
- нормальный вектор плоскости А
1
А
2
А
3
.
В качестве направляющего вектора
e
прямой А
1
А
4
выберем вектор
41
АА
,
2
1
2
2
12
2
1221
)()()( zzyyxxАА
А нормального вектора
N
плоскости А
1
А
2
А
3
- вектор
N
=
2131
АААА
.
Координаты вектора
31
АА
определим по формуле (1)
}57;22;40{
31
АА
, откуда
}2;0;4{
31
АА
Так как векторное произведение
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
; то
354
204
2131
kji
AAAAN
, откуда
kjiAAAAN 20207
2131
Длину вектора
}20;20;7{20;20;7{
2131
kjiAAAAN
Определим по формулам (2)
222
)20(207 N
, откуда
849N
(лин. ед.)
Скалярное произведение
Ne
вычислим по формуле (4)
)20()5(20373 Ne
, откуда
Ne
=139
Подставим полученные значения для
NAAeNe ,,
41
в формулу (5)
7275.0
06.191
139
36507
139
84943
139
sin
67.46
Ответ: угол между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
67.46
4) Определим площадь грани А
1
А
2
А
3
.
Площадь грани А
1
А
2
А
3
. найдём с помощью формулы
2131
2
1
321
AAAAS
AAA
(7)
Так как
849
2131
NAAAA
(см. предыдущую задачу), то из формулы (7)
следует
849
2
1
321
AAA
S
(кв. ед.)
Ответ: Площадь грани А
1
А
2
А
3
2
849
321
AAA
S
(кв. ед.)
5)Определим объём пирамиды А
1
А
2
А
3
А
4
.
Объём пирамиды, построенной на векторах
413121
ААААиАА
, как на рёбрах,
определим по формуле
141414
131313
121212
413121
;;
;;
;;
6
1
6
1
4321
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
AAAAAAV
AAAA
(8)
Подставим координаты векторов
413121
АААААА
в формулу (8), получим
)85(
6
1
)5(5)4()4(32)3(0)3(
)3(253)3()4()5(04(
6
1
533
204
354
6
1
4321
AAAA
V
Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед
формулой нужно взять знак минус. Следовательно
1,14
6
85
4321
AAAA
V
(куб. ед.)
Ответ: Объём пирамидыА
1
А
2
А
3
А
4
V=14.1 (куб. ед.)
6) Составим уравнение прямой А
1
А
2
Используем уравнение прямой, проходящей через точки А
1
(x
1
;y
1
;z
1
) и
А
2
(x
2
;y
2
;z
2
):
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
(9)
Подставим в формулу (9) координаты точек А
1
и А
2
, получим
52
5
27
2
40
4
zyx
, откуда
3
5
5
2
4
4
zyx
Ответ: Уравнение прямой А
1
А
2
3
5
5
2
4
4
zyx
7)Составим уравнение плоскости А
1
А
2
А
3
.
Используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
А
1
(x
1
;y
1
;z
1
), А
2
(x
2
;y
2
;z
2
),А
3
(x
3
;y
3
;z
3
)
0
;;
;;
;;
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
(10)
Уравнение плоскости, проходящей через точки А
1
(4;2;5), А
2
(0;7;2), А
3
(0;2;7)
В соответствии с формулой (10) запишем так
0
572240
52;27;40
5;2;4
zyx
или
0
204
3;5;4
5;2;4
zyx
Разлагая последний определитель по элементам первой строки, получим
0
04
54
)5(
24
34
)2(
20
35
4
zyx
или 10x+20y-20z+180=0
Ответ: Уравнение плоскости А
1
А
2
А
3
10x+20y-20z+180=0
8) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины А
4
на грань А
1
А
2
А
3
.
Для составления уравнения высоты А
4
А
5
, проходящей через точку А
4
(x
4
;y
4
;z
4
)
перпендикулярно плоскости А
1
А
2
А
3
, используем каноническое уравнение
прямой
p
zz
n
yy
m
xx
444
(11)
где m, n, p – координаты направляющего вектора этой прямой. В качестве
направляющего вектора высоты А
4
А
5
выберем нормальный вектор
плоскости А
1
А
2
А
3.
}20;20;7{
2131
AAAAN
, который перпендикулярен плоскости А
1
А
2
А
3,
а значит коллинеарен прямой А
4
А
3
. Подставим в уравнение (11) координаты
точки А
4
(1;5;0) и вместо m; n; p – координаты вектора
}20;20;7{ N
,
получим
20
0
20
2
7
1
zyx
Ответ: Уравнение высоты А
4
А
5
:
20
0
20
2
7
1
zyx
№21
Уравнение одной из сторон квадрата x+3y-5=0.
Составить уравнение трёх остальных сторон квадрата, если Р(-1; 0)- точка
пересечений его диагоналей. Сделать чертёж.
1)Приведём уравнение прямой x+3y-5=0 к виду y=kx+b
3
5
3
1
xy
Следовательно прямой перпендикулярна ей будет иметь вид y=3x+b
2
Найдём b
2
, при условии, что данная прямая будет проходить через точку Р(-1;0)
0=-3+ b
2
b
2
=3
y=3x+3
Найдём точку пересечения данной прямой с прямой
3
5
3
1
xy
8.1
4.
0410
0599
3
1
3
5
33
3
5
3
1
33
y
x
x
xx
x
x
xy
xy
Найдём точку N
1
, образующуюся при пересечении прямой y=3x+3 и стороны
квадрата.
N (x
N
; y
N
)
2
x
= x
k
p
N
x
2
y
=y
k
p
N
y
x
N
=2x
p
-x
k
y
N
=2y
p
-y
k
x
N
= -1.6 y
N
= -1.8 N(-1.6; -1.8)
Проведём через точку N прямую, параллельную x+3y-5=0
3
3
6,1
8,1 b
3
1
2
3
7
3
6.1
3
4.5
3
b
3
1
2
3
1
xy
Проведём прямую, параллельную x+3y-5=0, проходящую через P(-1; 0)
k
1
=k
2
3
1
3
1
3
1
3
1
0
3
1
4
4
xy
b
bxy
Проведём прямую, перпендикулярную прямой
3
1
3
1
xy
через точку,
отстоящую от точки Р на расстоянии KP.
Для этого составим уравнение окружности, вписанной в данный квадрат
(x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
Для этого найдём расстояние KP.
6,3)8.1()6.0(
)8.1;6.0(
22
KP
KP
Подставим в формулу, где a и b –координаты точки Р, являющейся центром
вписанной окружности
(x+1)
2
+y
2
=3.6
Найдём точку пересечения окружности с прямой
3
1
3
1
xy
8.0
8.2
6.0
8.0
y
x
y
x
M (-2; 8; 0.6) L (0,8; -0,6)
Через полученные точки проводим прямые параллельные прямой y=3x+3
1)
93
9
)8.2(36.0
3
5
5
5
51
xy
b
b
bxy
kk
2)
xy
xb
b
bxy
kk
33
33
4.26.0
3
6
6
6
61
Найдём вершины квадрата:
Точка пересечений прямых y=3x+9 и
3
5
3
1
xy
является
точкой А.
А (-2,2; 2,4)
Точка пересечений прямых y = 3x + 9 и
3
1
2
3
1
xy
является точкой D
2.14.3
07279
3
1
2
3
1
93
yx
xx
xy
xy
D (-3,4; -1,2)
Точка пересечений прямых
3
1
2
3
1
xy
и y = 3x - 3 является точка С
4.22.0
0799
33
3
1
2
3
1
yx
xx
xy
xy
С (0,2; -2,4)
Точка пересечений прямых y = 3x – 3 и
3
5
3
1
xy
является точкой B
2.14.1
0599
3
5
3
1
33
yx
xx
xy
xy
B (1,4; 1,2)
Ответ: y = 3x – 3, y = 3x + 9,
3
1
2
3
1
xy
, А (-2,2; 2,4), B (1,4; 1,2),
С (0,2; -2,4), D (-3,4; -1,2).
№31
Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от
начала координат до точки А(5;0) относится как 2:1.
Решение
24.3)1(
24.3
9
10
)1(
9
10
6.3)1(
9
10
6.3)1(
9
1
)1(
)6.3)1(
3
1
()1(
3
1
3
1
6.3)1(
2
2
2
22
22
22
x
x
x
xx
xx
xy
yx
4.2
2.2
02210
05927
)5(
3
1
93
3
5
3
1
93
y
x
x
xx
xx
xy
xy
R
Пусть точка N(x;y) – точка, принадлежащая линии.
Обозначим начало координат точкой О, тогда
1
2
NA
NO
;
NANO 2
;
yxNAyxNO 0;5;0;0
2
22
22
22
22
22
2222
2222
3
10
)
3
20
(
3
100
3)
3
20
(3
3
400
1003)
9
400
3
40
(3
1003)
3
40
(3
01004033
)2510(4
)5(2
yx
yx
y
x
x
y
x
x
xyx
yxxyx
yxyx
Центр круга находится в точке
0;
3
20
. Радиус =
3
10
Y
1
| | 1 | | | | | | X
-1 -1
3
20
№51
Дана система лінійних рівнянь:
.1132
,132
,523
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Доказати її сумісність й рішити двома засобами :
1. Методом Гауса.
2. Методом оберненої матриці.
Розв’язок
1. Знаходимо визначник
системи, для того щоб дізнатись про кількість
розв’язків системи, а також доказати її сумісність:
1212362427
312
132
123
Так як
0
, то система має єдиний розв’язок, а тому вона сумісна і може бути
приведена до трикутного вигляду.
Виписуємо з системи розширену матрицю (В) та за допомогою елементарних
перетворень приводимо її до трикутного вигляду.
Елементарні перетворення, що можливі до матриці:
1. Заміна місцями двох рядків (стовбців) матриці.
2. Множення усіх елементів матриці на довільну константу не равну нулю.
3. Додавання якого-небудь рядка (стовбця) відповідно елементів другого
рядка (стовбця) помножено на довільне число.
4. Відкидання усіх нульових рядків (стовбців) матриці.
36
13
4
1200
510
011
)2(
10
13
4
220
510
011
)2(10
7
4
220
150
011)1()3(
6
5
4
211
123
011
6
4
5
211
011
123)1(
11
1
5
312
132
123
B
Докажемо, що система сумісна: для того щоб система лінійних рівнянь була
сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював
рангу матриці системи.
Ранг – кількість ненульових рядків матриці після приведення її до трикутного
вигляду .
r(A)-ранг матриці; r(B)- ранг розширеної матриці; n – число невідомих.
r(A)=3, r(B)=3, n=3; r(A)= r(B)=n
Ми бачимо, що ранг розширеної матриці дорівнює рангу матриці та числу
невідомих і це значить, що система лін. Рівнянь сумісна і має єдиний розв.
Перейдемо до системи рівнянь :
3
2
2
.3612
,135
,4
3
2
1
3
32
21
x
x
x
x
xx
xx
Розв’яжемо систему засобом оберненої матриці:
312
132
123
A
- матриця системи;
11
1
5
B
- матриця вільних членів
3
2
1
x
x
x
x
- матриця невідомих
За формулою Ах=В знаходимо х: А
-1
Ах=А
-1
В
Так як А
-1
А=Е – єдинична матриця
х=А
-1
В
А
-1
- обернена матриця (існує тільки при умові, що матриця А невиражена)
Матриця наз. Невираженою, якщо її визначник не дорівнює нулю.
Так як
матриці А
0
то А
-1
– існує
А
-1
=
332313
322212
312111
1
ААА
ААА
ААА
Знайдемо алгебраїчні додатки матриці А:
8
31
13
11
А
4
32
12
12
А
4
12
32
13
А
7
32
13
22
А
1
12
23
23
А
1
13
12
31
А
1
12
13
32
А
5
32
23
33
А
Составимо обернену матрицю А
-1
:
514
174
158
12
1
1
А
та за формулую :
3
2
2
3
2
2
36
24
24
12
1
11
1
5
514
174
158
12
1
3
2
1
x
x
x
x
Для того, щоб помножити матриці, треба перший рядок множити на перший
стовбець, так ми отримаємо а
11
і потім послідовно множити другий і т.п.
Для того, щоб помножити матрицю, треба, щоб число стовбців множительної
матриці дорівнювало числу рядків множимої матриці. Іначе множення не буде.
Властивості множення:
САВААСВ
СВАСВА
АВВА
)()3
)()()2
)1
Відповідь: x
1
= 2; x
2
= -2; x
3
=3 .
5
31
12
21
А
№111
Обчислити границі, не використовуючи правило Лопеаля
а)
23
21
23
21
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
Отже, ми отримали невизначеність
. Вона розкривається діленням
чисельника і знаменника найвищу ступінь многочлена. Поділемо чисельник і
знаменник на х
3
2
2
3
2
1
23
21
limlim
x
x
x
x
xx
б)
03
011
3
11
lim
lim
lim
0
0
0
x
xx
x
xx
x
x
x
Ми отримали невизначеність
0
0
.
Тепер позбавимось ірраціональності.
3
1
6
2
113
2
113
11
113
1111
0
0
3
11
limlim
limlim
00
00
xxx
x
xxx
xx
xxx
xxxx
x
xx
xx
xx
в)
2
0
5
cos1
lim
x
x
x
Невизначенність
0
0
.
2
2
sin2cos1
x
x
. Будемо зводити до І знаменної границі
1
sin
lim
0
x
x
x
1.0
4
1
5
2
4
2
2
sin
2
2
sin
5
2
5
2
sin2
5
cos1
2
2
000
2
2
0
2
0
limlimlimlimlim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
г)
x
x
x
x
2
3
lim
Будемо зводити границю до другої знаменної
5
2
5
2
5
5
2
lim
2
5
1
2
5
11
2
3
1
2
3
lim
limlimlim
ee
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x