Типовой расчёт по высшей математике - Найти неопределённые интегралы и т.д
Подождите немного. Документ загружается.
Моторная лoдка двигалась в спокойной воде со скоростью
чкм /12
0
. На полном ходу её мотор был выключен и через 10 с скорость
лодки уменьшилась до
чкм /6
1
. Сила сопротивления воды
пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через
1 мин после остановки мотора.
Решение:
Преобразуем единицы измерения скорости:
смчкм
смчкм
/
3
5
3600
10006
/6
/
3
10
3600
100012
/12
1
0
Запишем уравнения движения лодки:
;
;
;
m
kdt
v
dv
kv
dt
dv
m
kvma
;dt
m
k
v
dv
;ln ct
m
k
v
ct
m
k
ev
- общая формула скорости
движения лодки
Рассмотрим скорости движения лодки в разные моменты времени:
.
3
10
ln;
3
10
3
10
)0(
)0(
ce
e
c
c
3
5
3
5
)10(
)10(
3
10
ln
10
3
10
ln
10
ee
e
m
k
m
k
;
3
5
3
10
10
m
k
e
;
2
1
10
m
k
e
;2lnln
1
10
m
k
e
;2ln10
m
k
.
10
2ln
m
k
Окончательно получим:
3
10
2)()(
103
10
ln
10
2ln
3
10
ln2ln
10
1
tt
t
eeet
, Отсюда:
см /05.0
96
5
3
10
64
1
3
10
2)60(
6
Ответ:
см /05,0)60(
№ 232
Дана функция
);( yxfz
. Показать, что
0;;;;;;;
2
2
2
2
2
dxdy
zd
dy
zd
dx
zd
dy
dz
dx
dz
zyxF
.
xyxyz arcsin3/
2
;
22
y
dy
dz
xy
dx
dz
xF
.
Решение:
;
1
3
2
;
1
3
22
22
2
2
yx
x
x
y
dy
dz
yx
y
x
y
dx
dz
0
1
3
2
1
3
1
3
2
1
3
2
22
22
22
22
2
2222
2
2
2
y
yx
yxy
yx
yxy
y
yx
x
x
y
xy
yx
y
x
y
xF
Что и требовалось показать.
№ 252
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
);( yxfz
в
замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж.
12
22
yxz
;
3,0,0 yxyx
.
y Решение:
B
3
Х=0 D
0 3 A x
У=0 y=3-x
Найдём стационарные точки функции из системы уравнений:
;
0
0
04
02
0
0
y
x
y
x
dy
dz
dx
dz
1)0;0( z
Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значение на
границах области D по правилу нахождения этих значений для функции
одной переменной:
1) Граница ОА:
0y
;
,1)(
2
xxz
];3;0[x
;2)( xxz
при х=0
10)3(;1)0(0)(
zzxz
2) Граница ОВ:
0x
;
,2)(
2
yyz
];3;0[y
;4)( yyz
при у=0
18)3(;0)0(0)(
zzyz
3) Граница АВ:
xy 3
;
,19123121218)(
222
xxxxxxz
];3;0[x
;126)(
xxz
при 6х-12=0, х=2
.10193627)3(;5192412)2(;19)0(0)(
zzzxz
Из полученных значений выберем наименьшее (0) и наибольшее
(19).
Ответ:
19;0
maxmin
zz
№ 262
Дана функция
);( yxfz
, точка
);(
00
yxA
и вектор а
21
;aa
. Найти:
1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора
a
.
22
32 yxyxz
)1;2(A
,
a
)4;3(
Решение:
.j
dy
dz
i
dx
dz
gradz
A
A
;34 yx
dx
dz
;23 yx
dy
dz
;1138
A
dx
dz
826
A
dy
dz
jigradz 811
Найдём производную в точке А по направлению вектора
a
:
coscos
A
A
dy
dz
dx
dz
da
dz
, где
cos,cos
- направляющие косинусы вектора
a
;
5
4
169
4
cos
5
3
169
3
cos
5
1
5
32
5
33
5
4
8
5
3
11
da
dt
Ответ:
jigradz 811
5
1
da
dt