Типовой расчёт по высшей математике - Найти неопределённые интегралы и т.д
Подождите немного. Документ загружается.
№ 282
Найти неопределённые интегралы. В п. а) и б) результаты проверить
дифференцированием,
62
)4(
)
x
xdx
а
;
dxeeб
xx
)31ln()
;
dx
x
xx
в
1
132
)
3
2
;
tgxx
dx
г
sin
)
.
c
x
c
t
c
t
dtt
dt
xdx
xdxdttx
x
xdx
а
525
5
6
2
62
)4(10
1
10
1
52
1
2
1
2
2;4
)4(
)
Проверка:
62
62
52
)4(
02)4()5(
10
1
)4(10
1
x
x
xxc
x
Ответ:
c
xx
xdx
5262
)4(10
1
)4(
ceeee
cttttdt
t
ttdt
t
t
tt
t
tdt
ttdttdxedttedxeeб
xxxx
xxxx
13ln
3
1
)31ln(
13ln
3
1
)31ln(
13
1
1)31ln(
31
1)31(
)31ln(
31
3
)31(ln)31ln(;)31ln()
Проверка:
)31ln(
31
33
)31ln(
0
31
3
3
1
31
3
)31ln(13ln
3
1
)31ln(
22
xx
x
xxxx
xx
x
x
x
x
x
xxxxxxx
ee
e
eeee
ee
e
e
e
e
e
eeeceeee
Ответ:
ceeeedxee
xxxxxx
13ln
3
1
)31ln()31ln(
)()(
)())(1()1(132
1
1
)1)(1(
132
1
132
)
22222
22
2
3
2
CAxCBA
xBACCxBxBxAAxAxCBxxxxAxx
xx
CBx
x
A
dx
xxx
xx
dx
x
xx
в
1
3
2
CA
CBA
BA
Решив систему уравнений, получим: А=2, В=0, С=-1. Следовательно:
c
x
arctgx
x
dx
x
xx
dx
x
xx
dx
x
dx
dx
x
xx
3
12
3
2
1ln2
2
3
2
1
1ln2
1
4
1
4
1
1ln2
1
1
2
1
132
2
2
2
23
2
Ответ:
c
x
arctgxdx
x
xx
3
12
3
2
1ln2
1
132
3
2
c
x
tg
x
tgc
t
tdtt
t
dt
t
t
tttt
tt
t
dt
t
t
t
t
t
dt
t
t
x
tg
x
tg
tgx
t
t
x
tg
x
tg
x
t
dt
dxarctgtxt
x
tg
tgxx
dx
г
4
2
2
ln
2
1
4
ln
2
11
2
11
2
1
2222
)1)(1(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
;
1
2
2
1
2
2
sin
1
2
;2;
2
sin
)
2
22
33
22
2
22
2
2
2
2
2
2
Ответ:
c
x
tg
x
tg
tgxx
dx
4
2
2
ln
2
1
sin
2
№ 312
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
)cos1(),sin( tayttax
)20(
t
и осью Ох.
Решение:
Точка на окружности описывает одну арку циклоиды за один
оборот. При этом
20 t
. Площадь фигуры вычислим по формуле:
2
0
)()( dttxtyS
)cos1()sin()( tattatx
, следовательно:
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2
0
22
2
0
3)0sin
4
1
0sin20
2sin24sin
4
1
3(2sin
4
1
sin2
2
3
)2cos
2
1
2
1
cos21(
)coscos21()cos1()cos1()cos1(
a
att
t
adttta
dtttadttadttataS
Ответ:
.).(3
2
едквaS
№ 322
Найти общее решение дифференциального уравнения
222
)1(2)1( xxyyx
Решение:
Разделим исходное уравнение на
)1(
2
x
, получим:
)1(
)1(
2
2
2
x
x
xy
y
- дифференциальное уравнение 1-го порядка с
разделяющейся переменной
Пусть
vuvuyuvy
,
, тогда уравнение примет вид:
;1
1
2
2
2
xx
x
uv
vuvu
2
2
1
1
2
x
x
vx
vuvu
(1)
Для нахождения одного из частных решений положим, что
0
1
2
2
x
vx
v
Разделим переменные и проинтегрируем:
;
1
2
2
x
vx
dx
dv
;
1
2
2
x
xdx
v
dv
;
1
)1(
2
2
x
xd
v
dv
;1lnln
2
xu
2
1 xu
Уравнение (1) примет вид:
;1)1(
22
xx
dx
du
Разделим переменные и
проинтегрируем:
;dxdu
;dxdu
cxu
. Отсюда:
)1)((
2
xcxuvy
Ответ:
)1)((
2
xcxy
.
№ 332
Найти общее решение дифференциального уравнения
0)()(2
42
yyyy
Решение:
Пусть
ty
, тогда
dy
dt
t
dy
dt
y
dx
dy
dy
dt
dx
dt
y
. Исходное уравнение примет
вид:
;02
42
tt
dy
dt
yt
Разделим переменные и проинтегрируем:
;2
3
tt
dy
dt
y
;
2
1
3
y
dy
tt
dt
y
dy
tt
dt
2
1
3
1)1(
223
t
CBt
t
A
tt
dt
tt
dt
);()1(1
2
CBtttA
AtCtBA
2
)(1
0
1
1
1
0
0
C
B
A
A
C
BA
)ln(ln
2
1
2
1
1
2
2
11
1
2
cy
y
dy
t
t
t
yctt ln
2
1
ln1ln
2
1
ln
1
2
. Потенцируем, получаем:
;
1
1
2
y
c
t
t
;
1
2
1
2
2
y
c
t
t
;
2
1
22
1
2
ctcyt
2
1
2
1
2
)( ccyt
;
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cy
c
t
cy
c
t
Т. к.
dx
dy
yt
, то
;
2
1
1
cy
c
dx
dy
Проинтегрируем, получим:
;)(
1
2
1
2
1
dxccydcy
;
23
)(
21
2
3
2
1
cxc
cy
);(
2
3
)(
21
2
3
2
1
cxccy
Отсюда:
2
21
32
1
)(
4
9
)( cxccy
Ответ:
2
21
32
1
)(
4
9
)( cxccy
№ 342
Найти частное решение дифференциального уравнения
)(xfqyypy
, удовлетворяющее начальным условиям
27
1
)0(,
3
4
)0(
yy
,
Решение:
396
2
xxyyy
- Дифференциальное уравнение 2-го
порядка. Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения
2-го порядка
096
yyy
, имеющее характеристическое уравнение
;096
2
kk
;0)3(
2
k
3
21
kk
, следовательно
x
exccy
3
21
)(
Частное решение данного уравнения найдём в виде
CBxAxy
2
~
Дважды продифференцировав последнее равенство и подставив результат в
исходное уравнение, получим:
:2
~
;2
~
AyBAxy
;39996122
22
xxCBxAxBAxA
3962)129(9
22
xxCBAxABAx
.
Приравняв коэффициэнты при соответствующих степенях, получим систему
линейных уравнений:
3962
1129
19
CBA
AB
A
, решив которую, получим:
3
1
27
1
9
1
C
B
A
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:
3
1
27
1
9
1
)(
~
23
21
xxexccyyy
x
Найдём частное решение при начальных условиях:
1
3
4
3
1
3
4
)0(
3
1
)0(
11
1
cc
y
cy
;
27
1
9
2
)(3
3
21
3
2
xexccecy
xx
.303
03
27
1
27
1
3
27
1
)0(
27
1
3)0(
22
12
12
12
cc
cc
cc
y
ccy
Частное решение при начальных условиях примет вид:
3
1
27
1
9
1
)31(
23
xxexy
x
Ответ:
3
1
27
1
9
1
)31(
23
xxexy
x
.
№ 351
Дана система линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициэнтами
.
,
2221
1211
yaxa
dt
dy
yaxa
dt
dx
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью
характеристического уравнения; 2) записать данную систему и её решение в
матричной форме.
.32
,45
yx
dt
dy
yx
dt
dx
Решение:
Составим характеристическое уравнение системы:
;0
32
45
k
k
;085315
2
kkk
7;1078
21
2
kkkk
(по теореме Виета)
Общее решение имеет вид:
tktk
tktk
ececy
ececx
21
21
222211
122111
При
1
1
k
:
;
022
044
2111
2111
11212111
или
Если
.1;1
2111
При
7
1
k
:
;
042
042
2212
2212
;
2
1
1222
Если
.
2
1
;1
2212
Таким образом получим общее решение исходной системы:
tt
tt
ececy
ececx
7
21
7
21
2
1
Составим определитель системы:
32
45
A
В матричной форме система имеет вид:
y
x
dt
dy
dt
dx
32
45
Следовательно, общее решение в матричной форме имеет вид:
t
t
tk
tk
ec
ec
y
x
ec
ec
y
x
7
2
1
2
1
2221
1211
2
1
1
11
;
2
1
Ответ:
tt
tt
ececy
ececx
7
21
7
21
2
1
№ 362