Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ
Подождите немного. Документ загружается.
Задача 3. Структурна матриця торгівлі трьох країн 5[ , 8
2
, має
1ЯД
А =
111
3 4 2
111
3 2 2
1 1 0
и 4 ,
і
у
- частка національного доходу, яку країна 8
^
витрачає на закупівлю
товарів у країни 5,, при цьому £а
у
=
1
, 7 = 1,3.
/=1
Знайти співвідношення національних доходів країн для збалансованої
тогівлі.
Розв'язання.
Як відомо з п. 5.5 , задача зводиться до знаходження власного вектора
шприці А, що відповідає власному значенню А = 1. (Перевірте, шо Я =
1
є
«зренем характеристичного рівняння йеі(А-АЕ) = 0.)
Знаходимо власний вектор х, що відповідає власному значенню Я = 1,
юзв'язавши систему рівнянь (А-Е)Х = 0.
У розгорнутому вигляді
п
2
1_
2
-1
X,
Го"
х
2
=
0
X"!
V
3
)
А
)
•о
2 1 1
~Т
ЛГі
+
4
ЛГ2
+
2
А
'
3 =0 ;
і
1 1 1
о
1 1
о
ух,+-х
2
- х
3
=0.
Розв'яжемо систему методом Гаусса :
291
А-Е
=
4
1_
2
І
4
2
-1
8 3
6 >
Г
2
2 -3
3 -8
4
3
-12;
,
4
'2
-3 3
>
'2 -3 з'
0
-9
18
~
0
-1
2
,о
9
-18
, 0 0,
К§(Л-£) = 2<3, тобто існують нетривіальні розв'язі»
(2х( -Зх
2
+ 3х
3
= 0 ;
-
х
2
+ 2х
3
= 0 ,
Х],х
2
-базисні
змінні, х
3
- вільна змінна,
1 и „ \ 1
2х! - Зх
2
= -Зх
3
-
х
2
= -2х
3
*1
=
2(
3х
2-
3л:
з)
= -(
6
с-3с) = -^
х
2
= 2с ;
х
3
= с ,
х = —с, 2с, с
,2
с>0.
Отриманий результат означає, що збалансованість
торг.і
'З „
досягається при векторі національних доходів х = | —с. -с
співвідношенні національних доходів країн
2/3:2:1,
або
Задача 4. Обсяг продукції II, вироблений підприємство»
робочого дня , представлено функцією
ЦҐІ) = -?-І
І
+11і
2
+\ооі
+ 50
(од.),
6 2
\<і<1
де і - робочий час , год.
Треба знайти :
1) продуктивність праці, швидкість і темп її зміни .
2) при якому значенні часу і після початку роботи прод> »п
максимальна;
292
ттения продуктивності праці, швидкості
і
темпу її зміни через і = /
т.зга після початку роботи.
-ти обчислень звести в таблицю та проаналізувати.
зння.
іемось теорією, викладеною в п. 5.7.
ктивність праці виражається похідною г(/) =
[/'(/),
а
-емп зміни продуктивності праці - відповідно похідною г'{ і) і
--сю похідною т
2
{ /) = [іпг( /)]' :
= Г(/) =
-|/
2
+15/
+ 100 (одУгод);
. = -5/+ 15 (од./год
2
);
г'(0
=
-5/ +
15
_ 2/-б }
-(О -|/
2
+15г + 100 /
2
-6/-40 ^Тод^-
—:е.мо максимум функції г(():
•
= -5/ +
15
= 0 ,
1
= 3 ;
•.ритична точка функції г( / );
-' при / < 3, г'( і) < 0 при / > 3
•
Звідси випливає, що і = з -
му функції я( / ) .
г(3);
2(3) = -|-3
2
+15-3 + 100 = 122,5 (од./год).
к. продуктивність праці максимальна через три години після по-
лі і дорівнює 122,5 (од. /год).
--•з^емо таблицю значень г(/),
г'(і),
Т
2
(і) при / = 1,8.
/
*(/) *'(/) ТЛі)
1
112,5 10 0,09
2 120 5 0,04
:>
122,5
0
0
4
120
-5 -0,04
5
112,5
-10 -0,09
6 100
-15
-0,15
7
82,5
-20 -0,24
8 60
-25 -0,42
293
Результати обчислень показують,
що до
кінця робочого
дня
продук-
тивність праці істотно знижується;
при
цьому зміна знаку
г'( і) і Т
г
( ґ) :
плюса
на
мінус свідчить про те,
що
підвищення продуктивності праці
в
перш
години робочого
дня
змінюється
її
зниженням
в
останні години.
Задача
5.
Знайти обсяг продукції, виробленої
за
чотири роки, якшс
продуктивність праці характеризується функцією
/(0 =
(1
+ 0е
3/
.
Розв'язання.
Скористаємось теорією, викладеною
в п. 5.9.
Обсяг
І!
виробленої продукції дорівнює
4
Ц= |(1 +
Ое
3/
сії.
0
Використаємо метод інтегрування частинами
:
£/= /(1
+ 0
е
3
'й7
=
О
и
= 1
+
1:
V-!'
е
3
'сИ-
З
=
(/ +
1).і-в
3
'
З
4
-1Іе
3
'^=^_І_і
е
И
4
=
І
(5е
.2.
О
рЗ З 3 9 |0 З
1)-І(
Є
12
-1)
=
'
9
4
=
і(14с
12
-2)«2,53-10
5
(умов.
од.).
Задача
6.
Сумарний прибуток підприємства залежить
від
витрат двш
видів ресурсів
х , У і
виражається функцією
г(х,
у)
= -2х
2
-4у
2
+2ху
+
20х
+
200у-2Ш-
Визначити витрати ресурсів
х , У, що
забезпечують максимальній
прибуток підприємства,
і
знайти
цей
максимальний прибуток.
Розв'язання.
г(х,
у)
=
-2х
2
-4у
2
+2:су
+
20;с
+
200у-2800-
'
Знайдемо частинні похідні
г'
х
і г'
у
:
294
ї
х
= -4х + 2у + 20 ,
г'
у
= -іу + 2х + 200 .
Для відшукання критичних точок складемо систему рівнянь :
Г-4х + 2, + 20 = 0 ;
|-8,+ 2х +200 = 0 .
Розв'яжемо її:
[-2х+
у = -10 ;
^ => - 7-у = -210 , , = 30; х = 20.
[лг-4,
= -100,
Критична точка - Л/
0
(20, 30).
Знаходимо другі частинні похідні:
-К І _ _л . т"
— О
• г* І
— —8
2
™\
Мо
-
4
'
2
ху\
М()
. 2^1^ ~ » •
Маємо : А = -4, 5 = 2, С = -8, тобто
Л<0,
Д = ЛС-.В
2
=32-4 = 28>0.
Таким чином, у точці Л/
0
(20, 30) функція г (х, у) досягає максиму-.
*•• Значення функції в точці максимуму
ї
тах
= г(20, 30) = 400 .
Отже, витрати ресурсів х , У, що забезпечують максимальний прибу-
підприємства, дорівнюють відповідно 20 од. і 30 од., до того ж макси-
мальний прибуток підприємства дорівнює 400 умов. од.
295
ВІДПОВІДІ
Глава 1
1.1. 2. 1.2. АаЬ. 1.3. 1. 1.4. 22. 1.5. 0. 1.6. 28. 1.10. а) 22; б) -200
22 2 1 2
в)41;
г)
7Ї05;
Д) П/3; е) —; є) соза=-, соз/?=--, созу = -
т
.
7 З 3 .>
ж
) ~%29 : з) 1.11. а = ±%. 1.12. ( ±5, 2,-3). 1.13. ^ 1.14. 6 ;
14
1.15. -. 1.16.
(4,2,-2).
1.17. а) (-3,5,7); б) (-6,10,14)
1.18. 27б . 1.19. 5. 1.20. а = -6,/? = 21. 1.21. -7. 1.22. а) 42; б) 24
1.23.
/
/
у
5
73
4
".
1-24. 6. 1.25. 3%/2. 1.26. Да. 1.27. а) х + у-1 = 0
б) х + Зу-5 = 0, - + -^ = 1;
В
) х-у+1=0; -^ + у
= 1
-
128
-
а
)^/Т
5
/З
б) ^
=
^у
і
, в) -2(х +
1)
+ у-2 = 0. 1.29. 2х + у = 0. 1.30. у + у
= !
1.31.2х
+ Зу-8 = 0 ; 2х-у = 0;
2х-3у
+ 16 = 0 . 1.32. 5х-7у + 4 = 0
1.33. х-2у-2 = 0. 1.34. -х +
2у-3г-3
= 0 . 1.35. х+у-3=0
З/
*-0 ^-/з
1.36. •
1
-
37
'
8
-
1,;38
- * +
:У
+ 2-3 = 0. 1.39. —- = ^
х-1 у + 2 2-1 д/
1.40. — =
^т-
= —. 1.41. (1,-6,-4). 1.42.3. 1.43. % .
Глава 2
•І.
' 7
6
7"
ґі
-2 -4
2.1.
42. 2.2. 110. 2.3. 300. 2.4. а)
-3
11
21
; б)
п -2 3
,
12
-11
"І
22 2
2.5.
-4. 2.6.
0 -1
39 5
2.7.
V V
. 2.8.
-5 -З
2 -6
2.9.
о 2 :•
4 0
о о
296
:.ю.
а)
(5 -2"
;
б)
;
б)
^
/2)
,з
-і,
^
/2)
.
2.11.
2
_5/
-1
'З /З
•Ю/
5/
2
/З /З
2.12. Не існує.
113.
'-2 -]
2\
2.14. 2. 2.15. 2. 2.16. 3. 2.17. (2, 3). 2.18.
(1,-1,
0).
4 1 -З
118.
(1, 0,-1).2.20. (1, 1, 1).2.21. (1, 0,-1).2.22. (1, 1, 2).2.23. (1, 1, 1).
124.Несумісна. 2.25.x, =4, х
2
=С2,х
3
=(3-5С
1
-25С
2
)/9, х
4
=(-2С, +10С>)/3
7С,,С
2
єЯ.
2.26. х, =1 + 5С,-5С
2
, х
2
= -ЗС!+ЗС
2
, х
3
=С, ,
--
4
=С
2
УС,,С
2
єЯ. 2.27. х, =(3-2С
2
)/10-С,, х
2
=С
1(
=-^-4С
2
, х
4
=(1-14С
2
)/10, х
5
=С
2
УС
Ь
С
2
єЯ.
128.
х,=0, х
2
=х
3
=С. 2.29. х
х
= С
Ь
х
2
= С
2
, х
3
= (ЗС, +6С
2
)/4 ,
Г4
= (5С,+10С
2
)/4 УС,,С
2
єЯ. 2.30. х,=-%, х
2
=
10
%, х
3
=С
-СєЯ. 2.31. {(3,-6,1,0,0),( -3,5,0,1,0), (0, -1,0,0,1)}. 2.32. {(3,-2,1)}.
133.
Л, = 2, Я
2
=3 ; х, =С(1,-1), х
2
= С(-1, 2), С
Ф
0. 2.34. А, =1,
£, =-1; Зс, =С(1, 1), х
2
=С(2, 1), СФО. 2.35. Я, = 0, Я
2
= 1, Я
3
= 2;
і =С(1, 0,1) ,х
2
=С(1,1,1),х
3
=С(1, 0,-1), С*0. 2.36. А, =А
2
=2,
•
;
= -7 ;хі =(2С, -2С
2
, С
2
, С, ),|С,| + |С
2
|^0, х
2
=(С, 2С.-2С), СФО.
137.
я
1=
д
2
=
я
3
=-1;
хі=(С,С,-С), ОО.
Глава З
II.
9. 3.2. 3.3. оо. 3.4. 0. 3.5. -у. 3.6. 3.7. 6. 3.8. оо. 3.9. 0.
110.
оо. 3.11.
V).
3.12. -1. 3.13.
1
А. 3.14. 0. 3.15. 4. 3.16. *. 3.17.
1
А.
118.
'.
3.19. 0. 3.20. 0. 3.21. 3. 3.22. к. 3.23. 3.24. %. 3.25. % .
-•26.
У
4
. 3.27. ^. 3.28. У
2
. 3.29. ^ . 3.30.
3.31.
132.
У
Е
, 3.33. 1. 3.34.
оо,
якщо х -»
+оо;
0, якщо х -»
-оо.
3.35. 0, якщо
297
-V 9/
х ->
+оо;
оо
, якщо х ->
-оо.
3.36. <?
/3
. 3.37.
А;
•
3.38.
1п
а . 3.39. ^
3.40.
1.3.41.
х = -2 точка розриву другого роду. 3.42. х = 0, усувний розрив
2 бг
3.43.
х = 0 ,розривдругогороду.3.44. х = 0 ,розривпершогороду.3.101.
—
л/о
3.102.
0. 3.103.
а
/р. 3.104. 1. 3.105. е. 3.106. 0. 3.107. а. 3.108.
Х
/
г
3.109. е
2
. 3.115. 1)0; 2)6; 3)^1; 4) к
х
=2, Л
2
= 4. 3.116. у = 12х-16
х + \2у-98 = 0.3.138. (0,0).3.139. (2,-2). 3.140. (-1, 1). 3.141. (1,1
1 1 1
3-142.
2
ТАХ
= -прих = -,у = - .3.143. 2
П
при х =
-1,
у = -2. 3.144.
2
ТІП
= 2 при * = 1, У =
1 •
;
5 при х = 1, У
=
2 ; г„
Глава 4
4.1.
4.4.
4.7.
4.10.
С--. 4.2.
х
4.3.
т=-е
х
+ Іп|х|.
3x^1
х
Щх-х
+
С . 4.5. х-зіпх + С. 4.6.
? / 7
4.9.
2-21п|2|-|
+ С
(х+1)
2
ЧІ6
16
+ С
-7(*
2
+і)
3
+с.
4.8.
14*
• -5
4 + х
3
+С .
1.4 ^
— Зіп х +
С
4
(агс!§ х)"
+ С. 4.11. С —
1
2(агсзіп х)
2 '
4.12.
1п Іпх+С
4.13.
х-41п х + 4+С. 4.14. х + 1п(х^+1) + С . 4.15. 1п
х-\
4.16. -1п
2х-3
х
+
\
+ С . 4.17. -\п
х-2
х
+
5
. Зх-\
+ С . 4.18.
х
х
+
\
7Г
ГСІ8
Ж
+ С
+с
4.19. агсзіп(х-2) + С . 4.20. -агсзіп
3 3
4.22.
х зіп 2х
С .
2 4
4.24. хзіп х + созх + С • 4.25.
4.23.
, „, х зіп2х
+ С. 4.21.
—
+ + С
2 4
—
зіп 2х - —х соз 2х
+ С
4 2
х
2
+1
агсіе х — + С,
2 2
298
4.26.
— - + С. 4.27.
С-е~
х
(2
+ 2х + х
2
)
4.28.
хІп(х
2
+
1)-2х4-2агсІ§х4-С.
4.29. 2[>/х+7-1п(1 + л/х+Т)]+С
4.30.
2л/х-2 + VI
агсі£^р^
+ С. 4.31. 2[л/х
—
Іп(1 + 7х)] + С .
+ -^ + -^х
2
" + 27х" + 3
3
7х" + 6^х" + 61п ^/х"-1
4.32.
х
+ С.
4.33.
4.35.
а
агсзіп \а -х +С .
2 а 2
4.34.
1п-И
+
С
72х +
1
1]п[(х-2)
2
л/2х4-і]
4-С.
4.36.
Іп
Х4-1
Х4-1
•4-С
437.
х + 1
+
1
П
ІЇ_^
+
С.4.38.
1 + 1 Іп
хх х 2
х-1
х +
1
+
С.4.39.
Іп
х
£
+1
4.40.
4.41.
4.42.
Іп
1 , (х + і)
2
1
+
2х-1
—
Іп—
-—+
-г=-агс!§
т=-
+ С.
6 х
2
-х +
1
-УЗ л/3
1. |*-і| 1
і
2х +
1
_
—
Іп
'—
1
+-=-агс!§—р=—
+
С
3
л/х
2
+х +
1
>/з ^3
х 10
5 10
+
-
(і
+
'^)
ш
Гх
з
10
77
2^
:
+ С.
1 7
4.43.
хагсІ§х--1п (1+х^) + С.
4.44.
Іп
4\+х
-4Ї-Х
4.45.
соз
5
х соз
3
X
+ С . 4.46.
1
л/і +х +
1
+ 2агсІ§
1-х
VI
+ С
+ х
+ С. 4.47.
Зсоз^х созх
4.48.
1і§
4
х-1і2
2
х-1п|созхІ + С.
4.49.
— Іп
4
5
2
5 11
2
18
я"
х
2~
+
2
СОЗ X
-
1
+ С.
-4-С
299
1 2
5і
&~
+ 4
4.50. — [х + 1п|зіпх + созх|] + С . 4.51. — агс!§ 2 + с.
„7 2 4
4.52.
г= • 4.53. —. 4.54. 0,2 (е-1)
5
. 4.55. -. 4.56. 2. 4.57. -
3(л/8-1) 72
4.58.
1—. 4.59.
^-1.
4.60. тг
3
-бтг . 4.61. 7 +
21п2.
4.62. 2--
е 2 2
4.63.
— . 4.64. — . 4.65. е
+
--2. 4.66.
1
+ —і
п
—. 4.67. -
3 3
е
2 2 2
( - --^
е" -е "
У )
4.68. -яаАс. 4.69. яЛ. 4.70. х
2
+ у
2
= ІпСх
2
. 4.71.
г>
= л/с + 3х-3х
2
4.72.
Сх = -^-2 . 4.73. у-2х = Сх
3
(у + х). 4.74. агсіе- = 1пСл/х
2
-гу
2
У \ х
4.75. 1пМ + - = С. 4.76. х
2
+у
2
=С>. 4.77. у = Се~
2х
+ 2х -1
у
4.78. у = е
.2
Л
с+-
. 4.79. у = Сх
2
е* +х
2
.
4.80. у = Се'
х
+-(созх + зіпх). 4.81. у = Сх-\.
4.82.
-
т
= Се
/л
+ х
2
+- 4.83.
_У
= 7;
и
_ , гт.
у
2
2
(1
+ х)[С +
1п|1
+ х|]
4.84. у = —
-5Іпх
+ С,х + С
2
. 4.85. у =
С,х
2
+С
2
.
6
4.86. у = С,е
х
+ С
2
-х-
4.87. ^ = |*
3
+С
1
х
2
+С
:
4.88. у =
С
х
е
х
+
С
2
е~
2х
.
4.89.' у = Сі. соз Зх + С
2
зіп Зх
300