Тарг С.М. (ред.). Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания
Подождите немного. Документ загружается.
ý)
Рис.
Д6.10
поворота
крайнего
блока
(утот
блок
может бъттъ и
невесомым)
,
отсчи-
тывм
9
от
начulьноro
положения. Если в систему ни
один
блок
не
входит
(входят
лишь
тела
4
п 5), за
коордикату
/
принятъ
расстояние
тела
4
от
начальною
положения. Соответствующие примеры
даны
на
рис.Д6.10,
о,
б, в.
при
таком выборе
обобщенных
координат
искомые
частота п пе-
риод
колебаний
моryт быть
найдены
из
уравнения,
определяющег0
зави_
симость
x=f
(t).
Дагrее для
составления
уравнений
надо
вьгIислитъ
кинетическую
энер-
гию Г
системы
(как
в
задаче
Д3)
и
выразитъ
все вошедшие
в Г
скорости
через обобщенные скорости i
п
ф,
если
за обобщенные координаты
при-
няты
х и
9,
или
через i
"
i,
если
этими
координатами
являются
х
ц
у.
Затем
определяются обобщенные силы так, как
это
показано ниже
в при-
мере
Д6,
rде
разъяснен
весь
ход
решения.
таблица
Дб
Рис.
Дб
Пример
Д6.
Механическая
система
(рис.
Д6)
состоит из
барабана
I
радиуса
Л,
к
которому
приложена
пара
сил
с
моментом
М,
Тележки
2
и
катка 3
(барабан
п
каток
однород}Iые
цилиндры)
;
веса
всех
тел
рав-
ны
соответственно
Р|, Р2,
Рr;
весом
.колес
тележки
пренебрегаем.
Тележ,
ка
соединена
с
барабаном
намотанной
на него
нитъю,
а с
катком
-
пружи,
ной
BD;
коэффициент
жесткости
пружины
равен
с.
Система
начинает
двш,
жение
из
состояния
покоя;
пружина
в
этот
момент
не
деформироваНа.
Да
Н о:
R,
с,
Р,
=2Р,
Р2
=
4Р, Р,
=2р,
м=
4PR,e= зOо,
О
п
р
е
д
ел
и
тъ: частоту&ипершодr
колебаний,соверШаемыхТе,
лами
системы
при ее
движении.
Решенше.
1.
,Щля
решения
задачи
восполъзуемся
уравнениями
Лагран-
жа.
Рассматриваемая
система
имеет
две
степени
свободы.
ВыбереМ
В
ка,
честве
обобщенных
координат
удлинение
пружины
х
и
угол
поворота
ба,
рабана
9
(Qt
=
х,
Qz
=
р).
Тогда
уравнения
Лагранжа
будут
иметъ
виД]
d
laT \_ат
d
| аг\
ат
d,
\
а;,
l
а*
=Q"
Й
l,Й/
Й
=Q''
(1)
2.
Определим
кинетическую
энергию
Г системы,
равНуЮ
сумМе
ЭНеР,
гий всех
тел:
Т=Тr*Тr*Тr.
так
как барабан
вращается
вокруг
неподвижной
осп
о, тележка
дви_
жется
поступателъно,
а
каток
*
плоскопараллелъно,
то
(2)
Тr=
+
Io,,t|, Тr=
1Р,
2g
|
Р,
2
т
g
U2'
i
ID-3,
(3)
В
ý
lr.
E9l,
f il
р2
р^
,
р4 р.
э
F
м|
м2
Пружина
0 lр
1 l_
2lш
зl
4 lр
;
|;
,t
lo
;l:
0
2р
0
2р
0
2р
р
0
р
?р
р
зр
р
зр
р
?р
2р
4р
?l
зр
0
р
2р
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*3рR
0
2PR
0
зрR
0
_3PR
0
0
0
0
?PR
0
_zPR
0
4рR
кЕ
Ав
Ав
BD
кЕ
Ав
Ав
кЕ
Ав
BD
60
Тr=
"ъ*
бt
где лrо
=
(Pr
l2g)
R', ID=
Рrl2g)
R3
(R,
-
радиус
катка
J).
все
входящие
сюда скорости
надо
выразить
через
обобщенные
СКОросТИ
* и
Ь.
Очевидllо. что
(rl
=
Й,
v2
=
R.о,
=
RЙ.
Для
определе_
НИЯ
vp
РаССМОТРИМ
ДвиЖеНие
катка
как
сложное.
Учитывая,
что х опре-
деляет
положение точки
D по
отношению
к тележке,
получим
ф
=
бТ
+
+
Б}еп,
гд0 Численно
,r
-
;,
чъ'р
=
u
z
=
ft
i.
Тогпа
принимая
во
внима-
ние,
Что
при возрастании
х
и
9
скорости
$
"
;Ъ'Р
направлены
в
разные
стороны
и что точка Е
мя
катка
-
мгновенный
центр
скоростей,
получим
i
-дй
Подставляя
все найдснные
значения
скоростей
и
значения
/о
ч
Ip
в
равенства
(3)
,
получим следующие
выражения
для
Т
,,
Т
2,
Тэ.
при котором
координата
9
получает
приращение
бр
)
0,
а х
не
изменяет,
ся, т.е.
бх
=
0
(пружина
при
таком перемещении
системы
не
изменяет
своей
дlrины)
.
Тогда
тележка
и
центр
D
катка получат одинаковые
пере-
мещения
бS,
=
6rD
=
Д69 и
элементарная
работа
всех
деЙствующих
сил
будет
равна
бд,
=
Мбр
-
Pzsin
30",
бs,
-
Рэsiп 30",
б
sp
-.I,-'6s,
+
^F'6sд
Заменяя здесь
все
всJIичины
их
значениями,
найдем
в
результате,
что
БДr=(М
-
0,5Р2R
-
0,5РзR)6р=РRбр.
(7)
Коэффициенты
при бх и
69 в
равенствах
(6)
и
(7)
и будут
искомы-
ми обобщенными
силами. следовательно
Qr=Р-сх,
Qz=PR.
(8)
Подставляя
величины
(5)
и
(8)
в
уравнения
(l
),
получим следую-
щие
шфференциiLпьные
уравнення
движения
системы:
Р
..
..
Р
.l
..
8g
4.
Чтобы
определить
k
п
т,
исключим
из
уравнений
(9)
;.
JIля
этого
умножим
обе части
первог0 из
уравнений
на 89,
а второгrэ
-
на 3s:/Д и
сло-
жим
почленно поJIученные
равенства.
В
результате
придем
к
следующему
диффсренциiшьному
уравнению
свободных
колебаний
lsex
=
l1Рg
-
8с8х
и.пи
чD=i-Лй,Фз=*=#=
Rз
Т,,=
У
R,;,
'
)о
-.t
-
Rp)'
Тогда
равенство
(2)
,
если
учесть.
что
Р,
тельно
дает:
,т|_
Р
'
-,.
3
..
I=-
(4Rrp'
-3Д9х+
^
хr).
82
отсюда
находим
=
Р,
=
2Р,
а
Р,
-
4Р,
оконча,
ат
a
ах
ат
,a
09
3.
Теперь
определим
обо,бщенные
силы
Q,
п
Qz.
ИrоЬражаем
дейст-
Вующие
t'a
систсму
активныс
силы:
силы
тяжесr"F,F,
F,.
a"пы
упру-
ГОСТИ
r
n
t",
aдa
численно
F= F'
=
сх,
ппару
с моментом
м.
а)
Для
определения
Q,
сообщим
системе
возможное
перемещсние.
пpикoтopoМкoopдинатахпoлyЧаeтпpиpaшсние6x>
еТСЯ.
Т.е.
б
rp
= 0
(барабан
при таком
перемещении
не
поворачивается
И ТеJIежка
не
перемещается).
Тогда
элементарную
работу
совершат
толь
кО
силЫ
F,
И
F;
учтя
что Р,
=
2Р.
получим
для
этой
работы
значение
бА,
=
Р,
sin 3О"
.
ах
-
F'Ь
х
=
(Р
-
сх)
бх.
Известно,
что
когда
уравнение
приведено
к
виду
(
l0)
,
то
k
в нем
является
круговой частотой, а период 7
=
2T/k.
Следовательно
искомые
величины
имеют значсния:
k=Jйг5р,
T=2nfk_z",.ffi
da
3
Р.
u2.,=
3
Рэ
(i
Iл
"4g
(4)
Р..аТ
=т
(-3R9+3х),
*
=0;
=L
(8R2i-злil,
У
=Q.
g
d9
i+,trx=11
8,
где
kz=gL
15 lsP
(
10)
(5)
(6)
62
б)
Для
определения
Q,
сообщим
сис,тсмс
возможное
перемещение,
r***
СОДЕРЖАНИЕ
3
5
9
l0
10
|2
12
l8
32
учебное uзdанче
Людrиипа
Ивановна Котова, Раиса
Ивановна
Надеева,
Семен
Михайлович Тарг,
Василg{й
Львович
Цыви,тlъский,
Иrша
Мироновна
Шмарова
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХА}IИКА
IvIетодические
указания
и
контрольные
задания
Зав.
редакцией
А.В.
Дубровскltй.
Рсдактор
О.Г. [Iолобсдова.
Художест-
tsенньIt"{
редактор
Л.К.
Грсlмова.
Технртческий
редактор
Е.В.
Фельдман.
KclppBKTtlp
Г.А.
Че.lеткина.
Оператор В.А.
ФетtлсоRа.
н/К
Изд.
Nq
ОТ-695. Сдано
в
набсlр
17.02.ВВ.
Подп.
ts
печать
13.04.f]B.
ФорNlат
84х 10s
l
/32.
Бум.
кн.-ж},рн.
Гарни,гура
Пресс-Роман.
Печатъ
ВысокаЯ.
Объем 3,36
усл.-печ.
л. 3
,41
усл.-кр.
отт.
3,34
уlL-изд.
л.
Тлrраж
110
000 ЭкЗ.
Зак.
N9
1322.
цена
t0
коп.
Издатсльстl}о
"Вьlсцrая
[школа"
10
l
4
30, Москва. гсп-4,
Неглl,tнная
ул..
п.
29
l14.
Набl)ано
на
наборно-пишущих машинах
издатслъства.
Отпечатано
в
Ярос.ltаl}ском
полиграфкоtчtбина,ге
"Союзполиграфlrl)ома"
при
Госупарственном
комитете
СССР
по
делам
излательств.
полиграфии
и
кнюкной
торговли.
t
5 00
1,4,
Ярославпь.
ул.
Свободьt
,
97
.