Сягло И.С. Теоретическая механика
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-
M
>
o
o
0
~
l
~r
~r
0
~
Ω =
˙
θ~e + ˙ϕ
~
K +
˙
ψ
~
k,
~
K
~
k
OZ oz
ϕ ψ ~e
θ
~
K ~e
~e =
~
i cos ψ −
~
j sin ψ,
~
K =
~
k cos θ + sin θ(
~
i sin ψ +
~
j cos ψ).
Ω
x
= ˙ϕ sin θ sin ψ +
˙
θ cos ψ,
Ω
y
= ˙ϕ sin θ cos ψ −
˙
θ sin ψ,
Ω
z
=
˙
ψ + ˙ϕ cos θ.
~
k ~e
~
M =
~
M + µ
~
R ×
~
V ,
T = T +
µV
2
2
.
~
M T
~
V
o
= 0
~
M =
X
a
m
a
[~r
a
×~v
a
] =
X
a
m
a
[~r
a
× [
~
Ω ×~r
a
]].
~
M =
X
a
m
a
(
~
Ωr
2
a
−~r
a
(
~
Ω~r
a
)).
ox
M
x
=
X
a
m
a
(Ω
x
r
2
a
− x
a
(Ω
x
x
a
+ Ω
y
y
a
+ Ω
z
z
a
))
M
x
= I
11
Ω
x
+ I
12
Ω
y
+ I
13
Ω
z
I
11
=
X
a
m
a
(r
2
a
− x
2
a
) =
X
a
m
a
(y
2
a
+ z
2
a
),
I
12
= −
X
a
m
a
x
a
y
a
,
I
13
= −
X
a
m
a
x
a
z
a
.
oy oz
M
i
=
3
X
j=1
I
ij
Ω
j
.
i, j I
ij
I
ij
=
P
a
m
a
(y
2
a
+ z
2
a
) −
P
a
m
a
x
a
y
a
−
P
a
m
a
x
a
z
a
−
P
a
m
a
x
a
y
a
P
a
m
a
(x
2
a
+ z
2
a
) −
P
a
m
a
y
a
z
a
−
P
a
m
a
x
a
z
a
−
P
a
m
a
y
a
z
a
P
a
m
a
(x
2
a
+ y
2
a
)
.
I
11
I
11
=
Z Z Z
ρ(y
2
+ z
2
) dV.
T =
1
2
X
a
m
a
~v
a
~v
a
=
1
2
X
a
m
a
~v
a
[
~
Ω ×~r
a
] =
1
2
X
a
m
a
~
Ω[~r
a
×~v
a
] =
1
2
~
M
~
Ω.
T =
1
2
X
i,j
I
ij
Ω
i
Ω
j
.
I
1
, I
2
, I
3
T =
1
2
(I
1
Ω
2
x
+ I
2
Ω
2
y
+ I
3
Ω
2
z
),
M
x
= I
1
Ω
x
, M
y
= I
2
Ω
y
, M
z
= I
3
Ω
z
.
X, Y, Z
θ, ϕ, ψ
L =
1
2
µ(
˙
X
2
+
˙
Y
2
+
˙
Z
2
) +
1
2
(I
1
Ω
2
x
+ I
2
Ω
2
y
+ I
3
Ω
2
z
) − U(X, Y, Z, θ, ϕ, ψ).
µ
¨
X = −
∂U
∂X
, µ
¨
Y = −
∂U
∂Y
, µ
¨
Z = −
∂U
∂Z
.
˙
ψ ψ
∂L
∂
˙
ψ
= I
3
Ω
z
∂Ω
z
∂
˙
ψ
= I
3
Ω
z
,
∂L
∂ψ
= I
1
Ω
x
∂Ω
x
∂ψ
+ I
2
Ω
y
∂Ω
y
∂ψ
−
∂U
∂ψ
= (I
1
− I
2
)Ω
x
Ω
y
−
∂U
∂ψ
.
∂U
∂ψ
∂U
∂ψ
=
X
a
(
∂U
∂X
a
∂X
a
∂ψ
+
∂U
∂Y
a
∂Y
a
∂ψ
+
∂U
∂Z
a
∂Z
a
∂ψ
) = −
X
a
~
f
a
∂
~
R
a
∂ψ
.
−
∂U
∂ψ
=
X
a
~
f
a
[
~
k ×
~
R
a
] =
~
k
X
a
[
~
R
a
×
~
f
a
] = K
z
,
K
z
oz
ψ
I
3
˙
Ω
z
+ (I
2
− I
1
)Ω
x
Ω
y
= K
z
.
oz
θ ϕ
OZ
ox
oy
I
1
˙
Ω
x
+ (I
3
− I
2
)Ω
y
Ω
z
= K
x
,
I
2
˙
Ω
y
+ (I
1
− I
3
)Ω
x
Ω
z
= K
y
.
I
1
I
2