Свинолобов Н.П., Бровкин В.Л. Теоретические основы металлургической теплотехники

Подождите немного. Документ загружается.

131

Уточненное пред-

ставление о температур-

ном поле в конце τ' при-

водит к новому резуль-

тату относительно ско-

рости нагрева для сере-

дины тела: она непре-

рывно возрастает в те-

чение переходного пе-

риода нагрева. Уточнен-

ные температурные и

скоростная диаграммы

для важнейших режимов

нагрева, практически

отвечающие решениям

ДУТ, представлены

на

рис. 7.13.

7.3. Решения ДУТ для

важнейших режимов

нагрева

В печах камерного

типа с периодической

загрузкой и выгрузкой

(нагревательные колод-

цы) в начале процесса

нагрев происходит при постоянной тепловой мощности М

0τ

= const ("теп-

ловая мощность – количество теплоты, выделяющееся в печи при сжигании

топлива в единицу времени"). Учитывая небольшое изменение теплового

потока на поверхности тела с известным приближением [23] можно счи-

тать, что нагрев при М

0τ

= const проходит при постоянном тепловом пото-

ке. Как показано в предыдущем разделе 7.2, режим нагрева при q

пτ

= const

имеет большое значение и для теории, так как познание закономерностей

процесса нагрева с изменяющимся тепловым потоком на поверхности тела

связано лишь с познанием отклонений от закономерностей нагрева при по-

стоянном тепловом потоке.

Решение ДУТ для симметричного нагрева тел простой геометрической

формы при начальном условии t

= const =

0м

t имеет вид

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅+−+⋅⋅⋅

λ⋅

⋅

∑

∞

⋅δ−

nxn

0мx

eКА

XFoK2

tt , (7.81)

Рис. 7.13. Уточненные температурная,

тепловая и скоростная диаграммы при

различных условиях нагрева:

τ' - отвечает распределению температур по кубической

параболе; τ" - время наступления РРН

132

где

–

для пластины: К

1пл

= 1;

пл3

K = 3;

пл

К = сos(δ

⋅X); X =

;

пл

(

)

−⋅

; δ

= n⋅π, при n = 1, 2, 3,…∞;

τ⋅

– критерий Фу-

рье (безразмерное время процесса); R – половина толщины пластины;

–

для сплошного бесконечного цилиндра: К

1сц

= 2,

сц3

K = 2,

сц

К =

(δ

⋅Х); I

(δ

) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, δ

–

корни характеристического уравнения I

(δ

) = 0; I

(δ

) – функция Бес-

селя первого рода первого порядка, R – радиус цилиндра.

Нагрев при постоянной температуре печи t

печτ

= const также является

важнейшим режимом как для практики, так и для теории. Математическое

описание процесса нагрева приведено во всех учебниках. Этот режим име-

ет место буквально во всех печах – по крайней мере в конце комбиниро-

ванного режима нагрева, когда температуры во всех точках тела прибли-

жаются к заданной температуре на поверхности

тела t

пк

или к среднемассо-

вой температуре

мк

t .

Решения ДУТ для симметричного нагрева тел простой геометрической

формы при t

= const = t

для этого важнейшего режима имеют вид

()

∑

∞

⋅δ−

⋅⋅⋅−−=

nxn0печпечx

eKAtttt , (7.82)

где

–

для пластины: A

nnn

cossin

sin2

δ⋅δ+δ

δ⋅

; δ

– корни характеристического

уравнения сtg δ

= δ

/Bi; Bi = α⋅R/λ – критерий Био; R – половины тол-

щины;

–

для сплошного цилиндра: δ

– корни характеристического уравнения

()

; A

(

)

() ()

δ+δ

δ⋅

;

сц

K = I

(δ

⋅Х); R – радиус цилинд-

ра.

Решения ДУТ (7.81) и (7.82) представлены в научной литературе и в

учебниках в виде графиков и таблиц, что облегчает проведение расчетов.

Следует отметить схожесть решений ДУТ для пластины и цилиндра. Реше-

ния (7.81) и (7.82) справедливы и для процесса охлаждения.

Решения ДУТ для нагрева в противотоке получены из условия α

const. Однако, для реального нагрева излучением в методической зоне ме-

133

тодических печей решения описывают процесс нагрева с большой погреш-

ностью.

Учет изменения "λ" и "с" по ходу процесса нагрева (охлаждения) ус-

ложняет дифференциальные уравнения теплопроводности. Эти уравнения в

наше время решаются методом конечных разностей с использованием

ЭВМ.

Важно отметить: симметричный нагрев имеет место, когда начальное

распределение температур симметрично относительно середины

тела.

134

Глава 8. Конвективный теплообмен

8.1. Закон Ньютона

Различают свободное (или естественное) и вынужденное (или прину-

дительное) движение газов. Свободное движение наблюдается, например, у

разогретой огнеупорной кладки печей, хотя воздух в цехе считается непод-

вижной средой. Свободное движение возникает при наличии разности

плотностей в газовой среде. Оно обязано превышению архимедовой вытал-

кивающей силы над силой тяжести. Толщина движущегося слоя

весьма ма-

ла. Вынужденное движение вызывается внешними силами: давлением вен-

тиляторов, газодувок, разрежением дымовой трубы или дымососа.

Под конвекцией понимается перемещение массы газа турбулентными

вихрями поперек потока или перемещение макрообъемов в неподвижной

среде. Но вместе с конвекцией массы происходит и конвекция теплоты, по-

скольку вихри, перемещаясь из области с одной

температурой в область с

другой температурой, переносят с собой и теплоту. Конвекция массы и те-

плоты способствует выравниванию скоростей и температур по сечению

турбулентного потока. Конвективный перенос теплоты сопровождается те-

плопроводностью.

Для практических задач основной интерес представляет не сколь сам

процесс переноса теплоты конвекцией, сколь процесс теплообмена между

движущимся потоком газа

(жидкостью) и поверхностью твердого тела, в

результате которого поток охлаждается (или нагревается).

Процесс теплообмена между потоком газа и твердой поверхностью

называют конвективной теплоотдачей.

Плотность теплового потока от газа к твердой поверхности (или на-

оборот, от твердой поверхности к потоку газа) определяется по закону

Ньютона

(

)

птгкк

ttq ±⋅α= m [Вт/м

], (8.1)

где α

[Вт/(м

⋅K)] – коэффициент теплоотдачи конвекцией;

t – средняя

температура в сечении потока; t

пт

– температура твердой поверхности.

Коэффициент теплоотдачи конвекцией α

представляет энергию, ко-

торую газ отдает (или забирает) единице твердой поверхности в единицу

времени при разности температур (t

- t

пт

) в один градус.

Как уже отмечалось, знание конвективного теплообмена внутри само-

го потока газа (или жидкости) может представлять лишь косвенный инте-

рес, хотя характер переноса теплоты внутри потока отражается на конвек-

тивной теплоотдаче и на коэффициенте теплоотдачи конвекцией α

135

Вся сложность механизма переноса теплоты от потока газа к поверх-

ности твердого тела скрыта в коэффициенте теплоотдачи α

, который, как

правило, определяется экспериментальным путем. Величина α

зависит от

большого количества факторов: от формы и размеров обтекаемой поверх-

ности, режима движения, температуры потока, физических параметров по-

тока, от природы возникновения движения. Но самое сильное влияние на

оказывает скорость потока.

В теории конвективной теплоотдачи широко используются представ-

ления об образовании гидродинамического ламинарного пограничного

слоя с толщиной δ

при омывании потоком плоской поверхности, и о нали-

чии ламинарного пограничного подслоя с толщиной

δ в турбулентном

пограничном слое.

Наряду с гидродинамическим пограничным слоем образуется и тепло-

вой пограничный слой Кружилина с толщиной К

, в котором температура

изменяется от t

= t

на границе теплового слоя до температуры стенки

ст

t =

ст

(второе условие прилипания). Для газов имеет место: К

= δ

K δ= ,

где δ

δ – толщина ламинарного слоя и ламинарного подслоя в турбу-

лентном гидродинамическом пограничном слое. Следовательно, теплота в

ламинарных пограничных слоях передается от потока к стенке путем теп-

лопроводности, а в турбулентном пограничном слое переносится турбу-

лентными вихрями.

8.2. Система дифференциальных уравнений для описания

конвективного теплообмена

Согласно закону Фурье при теплопередаче теплопроводностью в ла-

минарном слое и в ламинарном подслое турбулентного гидродинамическо-

го пограничного слоя в потоке с бесконечной толщиной, для которого

∂t/∂z = 0, имеем

гтп

∂

⋅λ±=

, (8.2)

где индекс "х" говорит о расстоянии от входа потока на плоскость (ось х);

индекс "тп" – о твердой поверхности.

Для пограничных слоев начало координат по оси "у" рационально

разместить на стенке (у = 0).

Закон Ньютона при теплопередаче конвекцией в ламинарном и в тур-

булентном пограничном слое выражается в виде

= α

кх

⋅(±t

г0

m t

cтх

), (8.3)

136

где t

г0

– температура газа при входе на плоскость и на внешней границе по-

граничного слоя.

При теплопередаче в круглом канале температура потока и температу-

ра стенки изменяются по длине канала. Для симметричного температурно-

го поля начало координат выбирается на оси потока. Тогда величина мест-

ного коэффициента теплоотдачи α

не зависит от положения точки на по-

верхности канала. Следовательно, для модуля теплового потока имеем:

гтп

∂

⋅λ±=

, (8.4)

(

)

Rхгхкхx

ttq ±⋅α= m , (8.5)

где

гх

t – средняя температура потока на расстоянии "х" от входа потока в

канал; t

Rх

– температура на поверхности канала; t

= f(r); r – текущий радиус

канала.

Из (8.2) и (8.3), приравнивая тепловые потоки, получим уравнение те-

плоотдачи для пограничного слоя

()

стх0г

кх

∂

⋅

−

=α

, (8.6)

а из (8.4) и (8.5) – уравнение теплоотдачи при симметричном движении и

теплообмене в круглом канале

()

Rхгх

кх

∂

−

−=α

. (8.7)

В общем случае при трехмерном движении для расчета α

нужно зна-

ние температурного градиента

∂

, где n – нормаль к поверхности стен-

ки. Этот температурный градиент может быть определен из решения для

температурного поля через проекции

∂

В свою очередь, температурное поле для несжимаемого газа определя-

ется из уравнения Фурье-Кирхгофа (уравнения энергии)

tа

2г

Δ⋅=

, (8.8)

где

137

zyx

∂

⋅+

∂

⋅+

∂

⋅+

τ∂

∂

, (8.9)

∂

=Δ

. (8.10)

В уравнении Фурье-Кирхгофа содержатся 4 неизвестные величины:

температура t = f(x, у, z) и три проекции абсолютной скорости W

, W

и W

которые также являются функцией координат.

Скоростное поле в потоке для несжимаемой жидкости определяется из

уравнений Навье-Стокса (уравнений движения) (см. раздел 2.5.3):

лx

Δ⋅η+

∂

−⋅ρ=

⋅ρ , (8.11)

лy

Δ⋅η+

∂

−⋅ρ=

⋅ρ , (8.12)

лz

Δ⋅η+

∂

−⋅ρ=

⋅ρ . (8.13)

В четырех уравнениях содержится 5 неизвестных (добавилось неиз-

вестное поле давлений Р = f(x, у, z) в потоке). Для замыкаемости системы

уравнений используется уравнение неразрывности, которое для несжимае-

мого газа имеет вид

∂

. (8.14)

8.3. Уравнения конвективного теплообмена в безразмерном

виде. Критериальные уравнения для расчета

Решить систему дифференциальных уравнений (8.8), (8.11) - (8.14) в

частных производных, т. е. найти конкретные выражения для температуры,

скорости, давления без каких-либо допущений практически невозможно

(особенно для турбулентного течения).

Лишь для ламинарного пограничного слоя у горизонтальной поверх-

ности система уравнений конвективного теплообмена значительно упро-

щается путем отбрасывания слагаемых, не играющих большой роли в

про-

цессе движения и теплообмена.

138

Но решение даже упрощенной системы уравнений в частных произ-

водных сама по себе сложнейшая математическая операция (см. раздел по

теории нагрева, в котором решается лишь одно более простое уравнение

Фурье).

Основной целью приведения в ознакомительном курсе по теплотехни-

ке системы дифференциальных уравнений для описания конвективного те-

плообмена должно быть приведение

этих уравнений к безразмерному виду

с целью получения критериев (чисел) подобия.

Однако операция приведения уравнений конвективного теплообмена к

безразмерному (критериальному) виду не такая уж простая операция (как

может показаться на первый взгляд) и требует больших затрат времени.

Для вынужденной конвекции из уравнения Фурье-Кирхгофа в безраз-

мерном виде

р/б

ZYX

WPrRe

∂

θ∂

∂

θ∂

∂

θ∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

θ∂

⋅+

∂

θ∂

⋅+

∂

θ∂

⋅⋅⋅ (8.15)

весьма просто вытекают выражения для критерия Рейнольдса

⋅

(8.16)

и критерия Прандтля

. (8.17)

Здесь приняты следующие обозначения:

X = x / L

; Y = y / L

; Z = z / L

(8.18)

– безразмерные координаты; L

– характерный размер тела (для погранич-

ного слоя – расстояние от начала плоскости вдоль потока, а для цилиндри-

ческого потока – диаметр);

р/б

W =

;

р/б

W =

;

р/б

W =

(8.19)

– безразмерные (относительные) скорости; W

– характерная скорость в

потоке (для пограничного слоя – скорость при входе на плоскость, а для

цилиндрического потока – среднерасходная скорость по сечению);

0ст0г

0гг

−

=θ

(8.20)

139

– безразмерная температура; t

г0

, t

ст0

– температуры газа и стенки (для по-

граничного слоя – температуры газа и стенки при входе потока на плос-

кость, а для цилиндрического потока – средние температуры газа и стенки

по сечению потока).

Для свободной конвекции у вертикальной пластины (∂θ/∂z = 0)

р/б

WPr

∂

θ∂

∂

θ∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

θ∂

⋅+

∂

θ∂

⋅⋅

. (8.21)

Безразмерные скорости для свободной конвекции, которые можно

трактовать и как критерии Рейнольдса

р/б

W =

⋅

= ;

р/б

⋅

. (8.22)

Для вынужденной конвекции критерий Рейнольдса является опреде-

ляющим критерием, поскольку характерная скорость W

известна. Для сво-

бодной конвекции Re

и Re

являются определяемыми критериями, по-

скольку скорости W

и W

неизвестны и подлежат определению.

Критерий Грасгофа без затруднений (на что мы обращаем особое вни-

мание) выводится при приведении уравнения Навье-Стокса к безразмерно-

му виду лишь для свободной конвекции в неограниченном объеме, когда на

любой объем газа с различной температурой t

действует одна и та же ар-

химедова выталкивающая сила. В канале же на каждый элементарный объ-

ем действует разная выталкивающая сила, что обычно не учитывается в

расчетах свободной конвекции в каналах.

Одно из безразмерных уравнений Навье-Стокса для свободной кон-

векции у вертикальной пластины, имеет вид

р/б

2р/б

р/б

∂

+θ⋅=

∂

⋅+

∂

⋅

, (8.23)

где

0гст

0гг

−

=θ

; (8.24)

– безразмерная температура; t

г0

– температура газа вдали от стенки;

0ст

Lgt

⋅β⋅⋅Δ

(8.25)

– критерий Грасгофа; β – коэффициент объемного расширения; g – ускоре-

ние свободного падения; Δt

ст

= t

г0

- t

ст

140

По температуре t

г0

определяется плотность газа вдали от стенки ρ

г0

которая определяет выталкивающую архимедову силу G

арх

= V⋅ρ

г0

⋅g. Тем-

пературу t

г0

можно назвать архимедовой температурой, а ρ

г0

– архимедовой

плотностью.

Коэффициент теплоотдачи конвекцией, как правило, определяется

экспериментальным путем. Чтобы распространить результаты эксперимен-

та на все случаи в практике (на другие жидкости, газы и т.д.), их для интен-

сивного турбулентного течения, когда влиянием свободной конвекции на

теплообмен можно пренебречь, оформляют в виде

Nu = С⋅Re

⋅Pr

, (8.26)

где

0к

⋅α

(8.27)

– критерий Нуссельта; С, n, m – коэффициенты, определяемые из экспери-

мента.

Для свободной конвекции результаты эксперимента оформляются в

виде

PrGrСNu ⋅⋅= , (8.28)

где С, n, m – коэффициенты, определяемые из эксперимента.

Для смешанной конвекции критериальное уравнение имеет вид

Nu = C⋅Re

⋅Gr

⋅Pr

, (8.29)

где С, n, m, p – коэффициенты, определяемые из эксперимента.

8.4. Уравнения конвективного теплообмена для ламинарного

пограничного слоя

Для ламинарного пограничного слоя с W

= 0 в уравнении энергии

можно пренебречь величиной

∂

, а в уравнении движения величиной

∂

, поскольку конвективный перенос теплоты и количества движения в

направлении оси х намного меньше турбулентного переноса в направлении

оси у.