Сухоруков А.С. Конспект лекций по Теории Электрической Связи. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
3.Дисперсия ( второй центральный момент )
2
= М
2
=
dxtxWmxmx ),()()(
2
1
2
1
Физический смысл
2
- это средняя мощность переменной составляющей
случайного процесса на единичном сопротивлении.
Числовые характеристики связаны между собой:
2
= m
2
- m
1
2
Стационарность.
1. Нестационарный случайный процесс - ФПВ и ФРВ
зависят от начала отсчета времени.
2. Стационарный в узком смысле - ФПВ и ФРВ не зависят
от начала отсчета времени.
3. Стационарный в широком смысле - одно- и двумерные
ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.
Для стационарного случайного процесса m
1
, m
2
,
2
- не зависят от
времени.
Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя:
x(t)
Рис.11.1.
t
нестационарный Стационарный
После включения усилитель прогревается и шум на его выходе -
нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.
Эргодичность.
Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение
по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций
дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на
практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически
реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому
доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить
нахождение его характеристик.
11.2.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс).
Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная
ФПВ имеет вид:
51
2
2
1
2
)(
2
1
)(
mx
exW
Графики нормальной ФПВ построены на рис. 11.2.:
W(x)
1
1
1
m
1
<0 m
1
=0 m
1
>0 Рис.11.2.
2
>
1
m
1
- среднее значение случайного процесса . x
2
- дисперсия случайного процесса .
Свойства нормального случайного процесса .
1. W(x) 0
2. Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m
1
3. W(x) - max при х = m
1
4. Площадь под кривой W(x) равна 1.
5. При изменении m
1
форма кривой не меняется, но кривая смещается
вдоль оси х.
6. Чем больше дисперсия
2
, тем кривая ниже и шире.
7. С вероятностью близкой к 1 (Р0,997) мгновенные значения
нормального случайного процесса лежат в пределах:
m
1
- 3 < x < m
1
+3
W(x)
Рис.11.3.
3 3 x
Если известна дисперсия и m
1
, то рабочий участок ВАХ должен иметь
протяженность m
1
3.
8. ФРВ для нормального случайного процесса
x
mx mx
y
y
mx
dyedye
dx
dy
mx
y
dxexF
1 1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
2
)(
= F(
x m
1
) - табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)
F (0) = 0.5 F (-x) = 1- F(x)
F (3.9) = 0.99995 F (-) = 0; F() = 1.
ФРВ для нормального процесса имеет вид:
52
F (x)
1
0.5 Рис.11.4.
0 m
1
x
11.3.ФПВ и ФРВ для гармонического колебания со
случайной начальной фазой.
Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со
случайной начальной фазой:
X(t) = Asin ( wt + )
- случайная величина, равномерно распределенная на интервале ,
т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна:
W( )
1
2
; |x|
W()
1/2
Рис.11.5.
- 0
Вычислим среднее значение :
0
2
1
2
1
)(
1
dddxxxWm
Вычислим дисперсию:
3332
1
2
1
)()(
233
22
1
2
ddxxWmx
ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной
фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид:
W x
x A
A X
x A
( )
,
,
0
1
2 2
W(x)
53
Рис.11.6.
-A 0 A x
Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна
единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки)..
ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со
случайной фазой:
X(t) = Asin ( wt + )
F x
х A
x
A
x A
x A
( )
,
arcsin ,
,
0
1
2
1
1
F(x)
1
0.5
Рис.11.7.
-A 0 A x
11.4.ФПВ для суммы нормального случайного процесса и
гармонического колебания со случайной начальной фазой.
Рассмотрим случайный процесс z(t), равный:
Z(t) = x(t) + Asin (wt+ )
где x(t) - нормальный случайный процесс;
Asin (wt+ ) - гармоническое колебание со случайной начальной
фазой.
W(z) в этом случае находится сверткой.
dxe
xA
zW
xz
2
2
2
)(
22
*
2
11
)(
Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:
h
A
2
2
2
2
W(z)
h
2
=0 h
2
=
h
2
= 6
54
Рис.10.8.
0 z
h
2
= 0 - нормальный случайный процесс (чистый шум).
h
2
- одно гармоническое колебание.
11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса.
Случайный процесс y(t) = U
m
(t) cos (
0
t+(t) ) называется узкополосным,
если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота
0
.
U
m
(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на
рис.11.9;
(t) - фаза случайного процесса.
Для нормального случайного процесса фаза (t) распределена
равномерно (см. выше).
u(t) Um(t)
Рис.11.9.
t
Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по
закону Релея:
2
2
2
2
)(
m
U
m
m
e
U
UW
; U
m
0
W(Um)
з-н Релея
з-н Райса Рис.11.10.
0 Um
Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и
гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая
распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):
)(*)(
2
0
2
)(
2
2
22
AU
Ie
U
UW
m
AU
m
m
m
закон Райса.
I
0
(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.
55
11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов.
Дискретные случайные процессы принимают с определенной
вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную
величину. Вероятность таких значений – число не равное 0.
Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.
x(t)
а
T
1
Т
2
t Рис.11.11
b
T
1
+T
2
=T
Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по
множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной
реализации.
x
T
T
x
T
T
xW
x
xxxxP
xW
xx
x
/lim/lim)(
)(
lim)(
2
0
1
0
1
11
0
1
T
1
/T - вероятность того, что случайный процесс принимает
значение а.
T
2
/T - вероятность того, что случайный процесс принимает
значение b.
)(
)()(
1
lim)(
1
lim)(
2
1
0
2
0
1
1
bx
T
T
ax
T
T
bxесли
xT
T
axесли
xT
T
xW
xx
ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным
выражением показана на рис.11.12:
W(x)
Рис.11.12.
56
)(
2
bx
T
T
)(
1
ax
T
T
b 0 a x
ax
ax
ax
,
,0
)(
bx
bx
bx
,
,0
)(
ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и
x=b имеет вид:
x
x
T
T
T
T
axdxax
T
T
T
T
ax
bx
xF
тоbxесли
dxxWxF
1)(
0)(
,
)()(
121
2
ax
axb
T
T
bx
xF
,1
,
,0
)(
2
F(x)
1
T
2
/T
1
Рис.11.13.
t
b a
Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса,
принимающего 2 значения:
x=a c вероятностью T
1
/T, x=b c вероятностью T
2
/T
a
T
T
b
T
T
afdxaxxfdxax
T
T
xdxbx
T
T
xdxxxWm
12
12
1
)()()()()()(
2
121
2
2
22
12
2
1
2
2
22
2
)(
)(
a
T
T
b
T
T
T
T
a
T
T
bmm
T
T
a
T
T
bdxxWxm
11.7.Нелинейные безынерционные преобразования
случайного процесса.
Нелинейное преобразование:
57
y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(t
k
) в момент времени
t
k
зависит только от x(t
k
).
ФПВ для процесса y на выходе:
dx
dy
xW
dy
dx
xWyW
)(
)()(
Пусть характеристика нелинейного элемента может быть
аппроксимирована линейно-ломаными.
y
Рис.11.14
b
-a a x
-b
axbnx
akxkx
axbnx
y
,
,
,
Это нелинейное устройство называется ограничителем.
Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с
нулевым средним m
1x
=0.
2
2
2
2
1
)(
x
exW
ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок).
Рассчитаем ФПВ процесса y:
1. Пусть
ax
у=kx (k>1)
k
xW
dx
dy
xW
yW
)()(
)(
Подставим в W(x) вместо x, y/k, тогда
22
2
2
2
1
)(
k
y
e
k
yW
На интервале
kay
ФПВ для у будет нормальной, со средним значением
m
1y
=0, но дисперсия y, т.е.
)1..(
2222
kктk
y
.
58
W(x)
x
-a a
W(y)
Рис.11.15.
-ka 0 ka y
2. Пусть:
bnxy
kay
ax
n
xW
dx
dy
xW
yW
)()(
)(
Выражаем x через у, т.е.
n
by
x
22
2
2
)(
2
1
)(
n
by
e
n
yW
Это нормальная ФПВ со средним значением b и дисперсией
)1(,
222
nn
59
3.Пусть:
bnxy
kay
ax
22
2
2
)(
2
1)()(
)(
n
by
e
n
n
xW
dx
dy
xW
yW
Это нормальная ФПВ, m
1
= -b и дисперсия
22
n
.
ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).
11.8.ФПВ процесса на выходе идеализированного
ограничителя.
Такой ограничитель имеет горизонтальные участки насыщения.
kay
k
e
yW
kay
kxyax
axka
axka
axkx
y
k
y
,
2
)(
,.1
,
,
,
22
2
)(
;
)(
)(
""
,..
2πnσ
2
σ
2
2n
2
b)(y
e
kab,n
limW(y)
.2
kay
kayax
axP
kay
функциикисжимаютсяуши
дисперсияnпри
)()()(
;.3
kayaxPyW
kayax
W(y)
P(x<-a)(y+ka) P(x>a)(y-ka)
Рис.11.16.
-ka 0 ka y
60