Сухоруков А.С. Конспект лекций по Теории Электрической Связи. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
5. Рассчитайте и постройте спектр сигнала АИМ.
6. Как восстановить непрерывный сигнал из отсчетов?
7. Чем определяются погрешности дискретизации и восстановления
сигналов?
4.Классификация электрических цепей.
Любая электрическая цепь описывается дифференциальным уравнением.
0
2
2
210
n
n
n
dt
Ud
dt
Ud
dt
dU
U
(4.1)
1) Если
k
=const , то это линейная электрическая цепь
(ЛЭЦ). Она состоит из линейных элементов R,L,C.
Рис.4.1
Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции: реакция на
суммарное воздействие равна сумме реакций на каждое из воздействий в
отдельности.
Например:
R
U
i
- характеристика ЛЭЦ ;
21
UUU
вх
R
U
i
R
U
i
2
2
1
1
21
21
ii
R
UU
R
U
i
вх
вх
В линейной цепи невозможно появление новых частот, не
содержащихся во входном воздействии.
2) Если
),( Ui
kk
, то цепь называется нелинейной
электрической цепью (НЭЦ) и состоит из нелинейных R(i), L(i),C(u).
Рис.4.2
Для НЭЦ несправедлив принцип суперпозиции. Пусть НЭЦ
описывается уравнением:
21
2
222
2
121
21
2
2
Uai
Uai
UUU
Uai
вх
21
2
212
)( iiUUai
В НЭЦ возникают новые частоты, не содержащиеся во входном
воздействии.
3) Если
)(t
kk
, то цепь называется параметрической
(ПЭЦ) и состоит из элементов, зависящих от времени :
Рис.4.3
Для ПЭЦ: а) справедлив принцип суперпозиции.
б) возможно появление новых частот.
ПЭЦ конструируется на основе нелинейных элементов, на которые мы
подаём напряжение, зависящее от времени.
Вопросы для самопроверки.
1.Какая электрическая цепь называется линейной?
2.Какая электрическая цепь называется нелинейной?
3.Какая электрическая цепь называется параметрической?
4.Для каких цепей справедлив принцип суперпозиции?
5.В каких цепях появляются новые частоты?
5. Аппроксимация характеристик.
5.1.Общие положения
Аппроксимация – замена истинной сложной характеристики более
простым выражением.
Аппроксимация состоит из 3-х этапов:
1) выбор аппроксимирующей функции.
2) определение коэффициента аппроксимации.
3) оценка точности аппроксимации.
5.2. Аппроксимация полиномом.
22
В этом случае произвольная характеристика ( для определенности будем
рассматривать вольт-амперную характеристику ВАХ )– аппроксимируется
полиномом вида:
3
3
2
210
UaUaUaai
(5.1)
При этом виде аппроксимации обычно требуют совпадения заданной и
аппроксимирующей характеристик в нескольких выбранных точках (см.
рис.5.1)
i
i
з
(u)
i(u)
3
2
Рис.5.1
1 u
)(Ui
з
- заданная ВАХ.
)(Ui
- аппроксимирующая ВАХ.
)(Ui
З
и
)(Ui
должны совпадать в заданных точках (1,2 и 3).
);(3
);(2
);(1
33
22
11
Uim
Uim
Uim
(5.2)
Составим уравнения для определения
k
a
.
2
323103
2
222102
2
121101
UaUaai
UaUaai
UaUaai
(5.3)
Отсюда определяем
210
,, aaa
. Размерность а
k
, если :
ВUмАi ,
, то a
0
[mA], a
1
[mA/B], a
2
[mA/B
2
].
5.3. Линейно-ломаная аппроксимация.
При этом виде аппроксимации заданная характеристика i
з
(u)
аппроксимируется отрезками прямых (рис.5.2) :
0
00
,0
),(
Eu
EuEuS
i
(5.4)
E
0
-напряжение отсечки
i
i
1
i
з
(u)
23
01
1
Eu
i
tgS
Е
0
u
1
u
Рис.5.2
Вопросы для самопроверки.
1.Что такое аппроксимация?
2.Какие виды аппроксимации Вы знаете?
3.Что такое аппроксимация полиномом?
4.Аппроксимируйте произвольную ВАХ полиномом.
5. Аппроксимируйте произвольную ВАХ отрезками прямых.
6. Методы расчёта спектра тока на выходе НЭЦ.
6.1. Метод угла отсечки.
Ток на выходе нелинейного элемента имеет вид импульсов при входном
гармоническом воздействии (рис.6.1).
Углом отсечки
называется половина части периода, выраженная в
градусах, в течение которого протекает выходной ток (рис.6.2).
i i(t)
Imax
E E
0
u t
2
Um
t Рис.6.1
i =180 i =90 i <90
t t
t
i i
>90 = 0
24
t t Рис.6.2.
На рис. 6.1 на входе нелинейного элемента (НЭ) действует гармоническое
напряжение с частотой
0
и амплитудой Um. Напряжение смещения Е
задает рабочую точку на ВАХ . Ток на выходе НЭ имеет вид импульсов с
амплитудой Imax. Периодическую последовательность импульсов i
вых
(t)
представим рядом Фурье:
....4cos3cos2coscos)(
040302010
tItItItIIti
вых
(6.1)
Порядок расчета амплитуд гармоник I
k
методом угла
отсечки следующий:
1) Определяем
)cos1(
max
m
SUI
i
2) Рссчитываем :
m
U
EE
0
cos
(правая ВАХ) u
i
m
U
EE
0
cos
(левая ВАХ) u
3) определяем амплитуду n-ой гармоники.
)(
max
nn
II
)(
n
- коэффициенты Берга (определяем по графикам в учебнике[1]).
Коэффициент гармоник характеризует относительный уровень
нелинейных искажений гармонического сигнала и рассчитывается по
формуле:
1
2
4
2
3
2
2
I
III
K
Г
(6.2)
Спектр входного напряжения.
u
Um
0
0
Рис.6.3
Спектр выходного тока.
i
25
…… Рис.6.4.
0
0
2
0
3
0
4
0
Угол отсечки
опт
- называется оптимальным, если амплитуда n-ой
гармоники будет максимальной.
Если
max
I
= const, то
n
опт
120
(например,
3
I
- максимальна, если
40
опт
)
Если U
m
= const, то
n
опт
180
(например, I
4
- максимальна при
опт
=45
0
)
6.2. Расчёт амплитуд гармоник методом
кратных дуг.
Для определения амплитуд гармоник по этому методу необходимо
аппроксимировать ВАХ нелинейного элемента полиномом и подставить в
полином входное гармоническое напряжение:
3
3
2
210
UaUaUaai
и, в соответствии с методом кратных дуг, представить степени косинусов
и синусов в виде соответствующих функций кратных аргументов:
tUU
mвх 0
cos
t
Ua
t
Ua
tUaUa
Ua
a
t
Ua
t
Ua
t
UaUa
tUaattt
tt
tUatUaai
I
III
0
3
max3
0
2
max2
0
3
max3max1
2
max2
0
0
3
max3
0
3
max3
0
2
max2
2
max2
0max10000
3
00
2
0
22
max20m ax10
3cos
4
2cos
2
cos)
4
3
()
2
(
3cos
4
cos
4
3
2cos
22
cos
)cos()cos (coscos2
3cos
4
1
cos
4
3
cos
2cos5.05.0cos
coscos
3
210
Очевидно, что спектральные диаграммы входного напряжения и
выходного тока будут аналогичны построенным выше на рис.6.3 и 6.4.
Рассмотрим бигармоническое воздействие.
В этом случае входное напряжение равно сумме двух гармонических
колебаний с разными частотами
1
и
2
:
tVtUU
вх 2max1max
coscos
(6.3)
Подставим
вх
U
в полином:
ttVUa
t
VaVa
t
UaUa
tVatUaatVtUa
tVatUaaUaUaai
)cos()cos(
2cos
22
2cos
22
coscos)coscos(
coscos
2121maxmax2
2
2
max2
2
max2
1
2
max2
2
max2
2max11max10
2
2max1max2
2max11max10
2
210
В квадратных скобках стоят колебания комбинационных частот.
Общая формула для вычисления комбинационных частот:
26
21
mn
(6.4)
В соответствии с выражением для входного напряжения построим спектр:
Спектр входного напряжения.
u
Рис.6.5.
0
1
2
В соответствии с полученным выражением для выходного тока
построим его спектр:
Спектр выходного тока.
i
Рис.6.6.
0
1
2
1
2
2
2
2
-
1
2
+
1
6.3. Расчёт амплитуд гармоник методом 3-х и 5-и ординат.
imax
i0
imin Рис.6.7.
E
u
t
Метод 3-х ординат.
Метод 3-х ординат позволяет определить амплитуды постоянной
составляющей, первой и второй гармоник:
27
4
2
2
4
2
0minmax
2
minmax
1
0minmax
0
iii
I
ii
I
iii
I
(6.4)
Метод 5-и ординат аналогичен методу 3-х ординат (смотри в учебнике
[1]).
Вопросы для самопроверки.
1.Что такое угол отсечки?
2.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе нелинейного элемента
(НЭ) методом угла отсечки.
3.Что такое оптимальный угол отсечки?
4.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе НЭ методом кратных
дуг.
5.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе НЭ методом 3-х
ординат.
6.Постройте спектр тока на выходе нелинейного элемента и поясните, как
определить амплитуды гармоник тока различными способами.
7. Что такое комбинационные частоты ?
7.Амплитудная модуляция (АМ).
7.1.Временная и спектральная диаграммы сигнала АМ
При АМ амплитуда несущего ВЧ колебания изменяется в соответствии с
модулирующим НЧ сигналом.
ttUMUtU
нчAmАМ 0
cos))(1()(
(7.1)
Um - средняя амплитуда АМ сигнала.
A
M
- глубина (коэффициент) АМ.
10
A
M
Если модулирующий сигнал гармонический:
ttU
ЧН
cos)(
,.
- модулирующая, низкая частота,
0
- несущая, высокая частота, то АМ сигнал принимает вид:
ttMUtU
AmAM 0
cos)cos1()(
(7.2)
Временная диаграмма НЧ сигнала:
Uнч(t)
28
Рис.7.1
t
Временная диаграмма модулированного сигнала АМ:
u
АМ
(t)
U
Um t
Рис.7.2
В соответствии с временной диаграммой глубина
амплитудной модуляции равна:
М
A
=U/Um. (7.3) .
Определим спектр АМ сигнала, для чего раскроем скобки в
выражении для АМ и представим произведение косинусов в
виде косинуса суммы и разности углов:
t
UM
t
UM
tUttMUtU
AA
AАМ
)cos(
2
)cos(
2
coscos)cos1()(
0
max
0
max
0max0max
(7.4)
Спектр модулирующего сигнала
ttU
НЧ
cos)(
.
U
Рис.7.3
Спектр АМ сигнала.
u U
m
несущая
нижняя M
A
U
m
M
A
U
m
верхняя
боковая 2 2 боковая
0
-
0
0
+
29
Рис.7.4
АМ
П
- ширина спектра сигнала АМ – полоса частот, в пределах
которой заключена основная доля энергии сигнала.
2
АМ
П
(7.5)
Боковые имеют высоту (амплитуду) не более половины несущей.
7.2. Амплитудный модулятор.
Схема базового амплитудного модулятора имеет вид:
C L
Uнч(t) UАМ(t)
Uвч(t) Рис.7.5.
E Ek
На входе 3 напряжения:
1.
НЧ
U
- модулирующее напряжение.
2.
ВЧ
U
- несущее напряжение.
3.
E
- напряжение смещения.
EtUtVЕUUtU
mmВЧНЧвхода
0
coscos)(
(7.6)
Транзистор – нелинейный элемент. Он преобразует спектр входного
процесса, чтобы получить нужные нам частоты (несущую и 2 боковых)
LC-контур (линейная электрическая цепь) выделяет нужные частоты.
Определим спектр тока на выходе транзистора, если ВАХ транзистора
аппроксимируется полиномом второй степени.
tEUat
EVattUVaEatUa
UatVaVaEatUa
tVaaEtUtVaE
tUtVaatUUUaUaai
m
mmmm
mmmm
mmm
mmвх
02
20220
2
2
2
2
2
2
2
2101
10
2
02
010
2
210
cos2cos
2coscos22cos5.0
5.02cos5.05.0cos
cos)coscos()
coscos()(
Построим спектр входного напряжения:
Uвх Um
E Vm Рис.7.6.
0
0
В соответствии с расчетом построим и спектр тока i через транзистор:
i
30