Сухарев М.Г., Карасевич А.М. Технологический расчёт и обеспечение надёжности газо- и нефтепроводов

Подождите немного. Документ загружается.

172

3.7.4. Приближение гиперэрланговским и обобщенным гиперэрланговским распреде-

лениями. Гиперэрланговским распределением называют смесь распределений (3.7.1) при

одном и том же значении

µ и различных значениях k

∑∑

= =

=≥−

−

.1;0);exp(

)!1(

)(

kkk

cct

ctf

(3.7.6)

∞

−

Рис. 3.18. График функции

)

Если в правой части формулы (3.7.6) п членов ряда отличны от нуля, то плотность

f(t) зависит от (п + 1)-го параметра, из которых п независимых. При п = 2 плотность (3.7.6)

позволяет приблизить эмпирическое распределение так, чтобы сохранить равенство двух

основных моментов: математического ожидания и дисперсии. Однако это возможно лишь в

чае, риации эмпирического распределения не превы-

слу когда выборочный коэффициент ва

шает диницу

= s/m ≤ 1.

Положим c

+ c

= 1,c

= 0 , i

≠

2,3, т.е.

).texp(

c)texp(tc)t(f

µµ

−+−=

(3.7.7)

На рис. 3.18 построена функция

), где V - коэффициент вариации распределения

(3.7.7). Функция

монотонно возрастает от значения V

(0) =0,33 до значения V

(1) =0,5.

Если заданы эмпирические среднее

т и дисперсия s

, то параметры распределения (3.7.7)

можно найти по методу моментов. Для этого следует решить уравнения

()

(

)

(

)

[

]

c13c2c112c6

c13c2

222222

−+−−+

−+

Уравнения имеют решение в области

≥ 0; 1 ≥ c

≥ 0 при условии 1/3

≤

/т

≤

1/2.

173

Рис. 3.19. Граф переходов в случае приближения времени восстановления гиперэрлангов-

ским распределением с плотностью (3.7.7)

Граф переходов, характеризующий работу компрессорного цеха с тремя агрегатами в

случае, когда время восстановления имеет распределение (3.7.7), изображен на рис. 3.19.

Первый индекс при нумерации состояний означает число агрегатов в очереди на ремонт,

второй – фазу ремонта, если есть ремонтируемые

агрегаты.

Обобщенным

гиперэрланговским распределением называется распределение с плот-

ностью

.1c

,0c ;e

c)t(f

1kk

∑∑

∞

−

≥=

)!1k(

1k 1r

∞

−

(3.7.8)

Функции (3.7.4), (3.7.6) являются частными случаями (3.7.8). Подобрав рациональ-

ально распределенная величина. Если отказаться от этого

редположения, приближая обе величины

.1), (3.7.4), (3.7.6)

ли (3. т

ующей системы уравнений для определения вероятностей

. Как показы-

ают ч

1k 1r

ным образом коэффициенты

∑∑

, можно составить граф переходов, комбинируя при этом

описанные приемы.

В рассматриваемом технологическом примере до сих пор предполагалось, что нара-

ботка на отказ

есть экспоненци

распределениями вида (3.7

и 7.8), то диаграмма переходов весьма усложнится. Более трудоемким с анет также ре-

шение соответств

в исловые расчеты, в частности, приведенные в табл. 3.1 – 3.3, решения обладают опре-

деленной стабильностью, мало меняясь при модификации модели. Из-за неточности исход-

ной информации следует избегать громоздких приближений для распределений с.в.

Если в качестве исходных данных принимать эмпирические распределения (гистограммы),

то при подборе теоретической плотности

f(t) достаточно лишь проследить, чтобы функция

f(t) правильно передавала особенности гистограммы, а основные теоретические моменты

174

были равны их эмпирическим аналогам.

Подбирая способ аппроксимации функционирования системы марковским процессом,

следует помнить, что модель заведомо не может передать всех особенностей реального объ-

екта. Например, режимы функционирования и обслуживания трубопроводов меняются со

временем, они зависят от множества факторов,

причем факторов, которые очень трудно, если

и вообще возможно, отразить в

модели. Например, ликвидация последствий наиболее круп-

ных аварий пров онт зависит от

технич

я.

процессы для решения

рикла

остояния, в которые попадает система после этих

омен

одится чрезвычайными методами, вывод оборудования в рем

еского состояния соседних перекачивающих станций, на качество и темпы ремонта

влияют квалификация персонала, укомплектованность ремонтных бригад и т.д. Модели ор-

ганизационно-технологических процессов в больших человеко-машинных системах не могут

не быть приближенными

. Следовательно, для их аппроксимации надо искать простые фор-

мы, а если и вносить уточнения, то лишь для того, чтобы количественно отразить влияние

какого-либо фактора или технологического нововведени

3.7.5. Применение полумарковских и регенерирующих процессов для моделирования

перекачивающих станций. Применение полумарковских и регенерирующих процессов тре-

бует более сложной техники расчетов и

понимания более глубокого математического аппа-

рата.

Для того, чтобы показать, как применять регенерирующие

п дных задач, воспользуемся сначала прежним примером: рассмотрим цех с 2 рабочими

агрегатами и 1 резервным, ремонт которых производится 1 бригадой. Предположим, что на-

работка на отказ

распределена по экспоненциальному закону, а время ремонта

имеет

произвольное распределение. На рис. 3.20 изображена одна из реализаций случайного про-

цесса

(t), где

(t) означает число работоспособных агрегатов в момент t. Процесс характе-

ризуется наличием моментов, обладающих марковским свойством: дальнейшее развитие

процесса не зависит от предыстории. С

м тов, называются марковскими. Марковским свойством обладают моменты восстанов-

ления агрегатов и такие моменты возникновения отказов, когда нет находящихся в ремонте

агрегатов. Момент выхода из строя агрегата не будет

обладать марковским свойством, если

при этом другой агрегат ремонтируется: дальнейшее поведение системы зависит от того,

сколько времени уже длится ремонт.

Рассмотрим задачу об определении вероятности безотказного функционирования

рассматриваемой нами технологической системы. Для ее решения разобьем все марковские

175

состояния на две г

щими обозначениями.

(t) – функция распределения вре-

мени д

- –

енные функции связаны формулой полной вероятности, из

которо

руппы S

и S

, отвечающие ре-

жимам нормального функционирования и отказу системы соответственно.

Будем пользоваться следую

о первого попадания в

S из начального состояния i

∈

S , Q

(t) – вероятность перехода

из

i в j (i, j

∈

S ) за время, меньше чем t, при условии, что система ни разу не перейдет в со-

стояние из

S , Q

(t) – вероятность перейти из i в S за время, меньше чем t, не попадая до это-

го ни в одно состояние из

S . Введ

й вытекает соотношение

.Si),s(Q

€

)s(

€

)s(Q

€

s)s(

€

ijiji

∑

∈

∈+=

ΦΦ

(3.7.9)

(t):

I, II – моменты, соответственно обладающие и не обладающие марковским свойством; III,

ис. 3.20. Реализация случайного процесса

IV - состояния соответственно марковские и немарковские

Здесь “крышкой” обозначено преобразование Лапласа от соответствующей функции.

Обращаясь к примеру, зададимся целью найти функции

(t) – вероятности попадани

в состояние 2 из состояния

i (i=0,1) при произвольной плотности времени восстановлени

(t). Имеем

{

}

;e1tP)t(Q ,0)t(Q

−

−=<==

{}

.du)u(e,tP)t(Q

∫

−

=><=

ϕηξη

0100

С использованием формулы полной вероятности получаем

176

() () () () () () ()

∧∧∧∧∧∧∧

+== ,sQsФsQssФ,sФsQssФ

где

() { } ( )

[]

.duu1e2,tPtQ

∫

Φ−=><=

−

λξηξ

Решение получившейся системы для изображений по Лапласу имеет вид

()

() ()

.sФ

sФ ;

sФ

101

∧∧

∧

⎥

⎦

⎢

⎣

2s12

∧

⎤⎡

+−

λϕλ

2s22ss

∧

⎥

⎤

⎢

⎡

+−+

λϕλλ

⎦⎣

ения методов численного анализа. Аналогичные

пробле

ситуациях удается четко определить понятие отказа и раз-

делить состояния системы на множества

и S

мул

(t), Q

(t) требуется безошибочно

провест

изображениям

работающих в прикладных

областях, состоит в том, чтобы на примерах познако-

миться

Для того, чтобы найти функцию

(t) необходимо перейти от изображений к ориги-

налам, что в общем случае требует примен

мы возникают практически в любых задачах подобного типа. Заметим также, что да-

леко не во всех технологических

3.7.6. Надежность станции с резервным источником питания. Метод предыдущего

пункта может быть приложен ко многим техническим задачам. Однако, чтобы получить пра-

вильное решение и довести его до окончательного результата, необходимо выполнить 2 не-

стандартные процедуры. Во-первых, для вывода фор

и вероятностный анализ ситуации. Во вторых, определение оригиналов

(t) по их

∧

может потребовать либо углубленного знакомства с аналитическими

методами, либо численных расчетов с помощью пакетов прикладных программ.

В настоящее время для полумарковских и регенерирующих процессов не существует

регулярных алгоритмов и стандартного программного обеспечения, которое позволило бы

свести решение задач к чисто техническим процедурам. Единственная возможность для спе-

циалистов,

()

sФ

с полезными приемами и овладеть математическим аппаратом решения.

Рис.3.21. Граф переходов ПМП функционирования станции:

0 - работоспособное состояние; 1 - состояние отказа

Рассмотрим еще одну задачу, решение которой может быть получено с помощью

системы (3.7.9). Однако используем несколько измененный способ решения, но вероятност-

177

ный анализ и асимптотическое исследования изложим более обстоятельно.

реходов, изображенной

на

ояние j, и переход осуществляется к моменту времени t. В рассматривае-

мом сл

Поставим целью, найти показатели надежности перекачивающей станции, которая

снабжается энергией от электросети и имеет резервный источник питания. Отказы электро-

сети происходят через случайные промежутки времени

, распределенные по экспоненци-

альному закону, с параметром

. Резервный источник вступает в действие сразу же после

отказа электросети и может обеспечить работоспособность станции в течение промежутка

Т.

Время восстановления электроснабжения

является случайной величиной с функцией рас-

пределения

G(t).

Охарактеризуем функционирование системы диаграммой пе

рис. 3.21. Моменты выхода системы из состояния 0 являются марковскими моментами, а

процесс функционирования полумарковским (ПМП). ПМП характеризуется функциями

(t), которые представляют собой вероятность следующего события: система переходит из

состояния

i в сост

учае

{

}

{

}

.T,tP)t(P ,T,tP)t(P

0100

≥

<+=

Совместная плотность распределения с.в.

и выражается

ξ η

формулой

),v(ge)v,u(f

−

Рис. 3.22. Области интегрирования

∆

u - момент отказа электросети; u + v - момент восстановления

где

g(v) – плотность распределения

)

(

)

(

′

Функции P

(t), P

(t) могут быть

получены путем интегрирования

f(u,v)

.)1,0i( dudv)v,u(f)t(P

∫∫

∆

178

Области интегрирования

∆

изображены на рис. 3.22. Переходя от двойного интеграла к

повторному, получим окончательно следующие выражения:

.Ttпри

,Ttпри dv)v(ge1

)vt(

⎪

⎧

≤−

∫

−

−−

ики процесса.

Вероятности

[]

;Ttпри dv)v(ge1

)t(P

)vt(

⎪

⎨

>−

∫

−

[]

,Ttпри

dv)v(ge1

)t(P

)vt(

≤

⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎩

∫

−−

(3.7.10)

Пользуясь формулами (3.7.10), несложно вывести другие характерист

перехода вложенной цепи ПМП

).T(G1)t(Plimp),T(G)t(Plimp

0100

−

∞→∞→

Функции распределения времени пребывания в состоянии 0 при условии перехода в

состояние

i суть

).1,0i(p)t(P)t(T

i0i0i0

Среднее время однократного пребывания состоянии 0

)T(G1

)v(vg

;dv)

)

−

⎠

⎜

⎝

⎛

∫

∫∫

∞

Среднее д а и р полной в о р я

де

v(g

⎟

⎞

T(G

(tdT

время о отказ станци по фо мулам ероятн сти вы ажаетс в ви-

⎟

000

⎞

∑

∞

Для реаль си тк л с е е с я л

что среднее время между отказами электросети

много больше среднего времени ремонта

и резерва времени

=>>

−

Тогда, если величины

G(T) и 1 – G(T) не очень малы, m и m

имеют порядок

, среднее

время до отказа станции можно оценить по формуле

−

⎜

⎛

−

km(

0000

⎝ ⎠

ных стем о азы яв яются равнит льно р дкими обыти ми. По ожим,

,dt)t(tg

∫

рем

−

∞

00 1

179

)

T(G1

−

≈

−

(3.7.11)

Поскольк аз ц д б в о о й ы

ции выражается о

у отк ы стан ии – ре кие со ытия, ероятн сть без тказно работ стан-

приближенной формул й

[

]

t)T(G

.)t(P

−

≈

3 од а с г трубопровода

3.8.1. Модели перекачивающих станций позволяют получить исходную и

для более сложных моделей, в первую очередь линейного газопровода, т.е. следующих

дру

вательное соединен ч звеньев – это осо-

бенность магистральных трубопроводов, котора и определяет специфику их

моделей.

Из-за разнообразия отраслевых пробл должны быть специ-

ф те узкому кр дач каждая. Степень агрегирован модели

за штаб в системы и от периода уп на какой срок прогно-

зирования рассчитана модель. Ра три дели зной али и с что каждой

конкретной

ситу по в н р

Модель надежности информации как

устраняются отказы, б) как следует вычислять пропускную способность трубопровода в ус-

ловиях нормального фу . -

рить о вероятностной и -

держит о ле е н ле ) е р

их взаимосвязи, е о а элемента н н

ходит их одного я р л бопровода н т

гаты (насосы) н ек щ н т т е в

движками, котор как г е че

с р

в нт. Возмо и подходы вк э н ь,

по существующ фо и й ой н т ы

ветствующих ра ел ь . ат с

ментов запорную ат р и п

зк ц

параты охлажден эн ок т за т н ь

сделать не труд ря ел а ь д о

−

e−1

= 1

.8. М ели н дежно ти ма истрального

нформацию

для

г за другом по цепочке трубопроводных участков и перекачивающих станций. Последо-

ие большого исла одинаковых или почти одинаковых

ем математические модели

ицированы по

висит от мас

сравни льно угу за ности

о реждения, т.е. от того,

ссмо м мо ра дет заци тем, бы в

ации лучить озмож ость для выбо а.

должна базироваться на о том, а) возникают и

нкционирования и при отказах В соответствии с этим будем гово

гидравлической составляющих модели. Вероятностная составляю

ая

со преде ние эл ментар ых единиц (э ментов расчетной сх мы, ст уктуру

переч нь сост яний к ждого и зако ы, по которым элеме т пере-

состо ния в д угое. Э ементами тру целесообраз о счита ь агре-

а пер ачиваю ей ста ции и однони очный рубопровод м жду д умя за-

ый, и агре ат, мож т быть отклю н от

си темы при ава ии или выводе

ремо жны другие с иной разби ой на лементы. Важ о лиш чтобы

ей ин рмаци (прямо или косвенн ) мож о было выбра ь закон соот-

спред ений и оценит их параметры Мы не будем включ ь в чи ло эле-

арм уру, пе емычки между ниткам , трубо роводы

обвя и стан ий, ап-

ия, ергобл и, сис емы автомати ции и .д., хотя при ципиал но это

но. В д ли ц есообр зно учитыват детали «второго поря ка мал сти» в

180

моделях крупно аб с л и е о

причинам начне в в й ел а

Каждый н т в то н ер

способном. Агрегаты (насосы), состоянии в

или в

сстановления каждого элемента. В

задачах

перспективного подключаются методы

экспертного и др.

Число элементов

магистрального трубопровода обычно очень велико. Идеи декомпо-

зиции задачи объекту приводят к его разбиению на части,

которые

масшт ных си тем. Ес и какой-либо з неучт нных факторов по нек торым

т проя ляться больше степени, мод и надо модифициров ть.

элемент может аходи ься в д ух сос яниях: работоспособ ом и н абото-

будучи в работоспособном , находятся работе

резерве, трубопроводный участок в работоспособном состоянии не отключается.

Не-

исправный элемент ремонтируется или ожидает очереди на ремонт.

Информационное обеспечение вероятностной составляющей модели исчерпывается

законами распределения времени безотказной работы и во

эксплуатационного уровня эти законы аппроксимируются по статистической ин-

формации, в задачах и долгосрочного планирования

анализа, экстраполяции

в приложении к рассматриваемому

будем называть звеньями. Далее чаще всего звеном будем считать линейный уча-

сток с последующей (или предшествующей) станцией.

Состояние звена определяется комбинацией состояний его элементов. Перенумеруем

состояния каждого звена. Трубопровод

с N звеньями описывается вектором k

),k,...,k(

где

– номер состояния j-го звена. Процесс функционирования характеризуется многомер-

ной случайной функцией

k(t). Чтобы избежать влияния начальных условий k(0) обычно рас-

сматривают установившийся случайный процесс, т.е. поведение системы при больших зна-

чениях времени. Тогда пропускная способность становится функцией случайного вектора

q = q(k)

Выявление закона распределения случайной величины q является одной из основ-

ных, а то и единственной целью исследования. Более , иногда достаточно найти число-

вые характеристики

некоторые

лать показатели надежности, естест-

венные

таких

вектора

q можно проводить разными способами,

но мы е

Заменяя значе-

нию суммарную вероятность составляющих, получим аппроксимирующую величину

того

этой величины

Mq, Dq или ее квантили для того, чтобы сде-

вполне определенные технологические выводы. Многие

для других объектов, для трубопровода не имеют простой интерпретации. К числу

показателей относится коэффициент готовности.

Случайная величина

q(k) является дискретной, так как число возможных значений

k конечно. Аппроксимацию распределения

воспользу мся группировкой недалеко отстоящих друг от друга значений величины

несколько таких значений их средним и приписывая этому объединенному

мо-

менты которой будут близки к моментам исходной (в частности

q =

). В то же время

181

ее ряд распределения будет содержать меньше значений и, следовательно, представляемая

им информация оказывается сравнительно легко обозримой. Такой способ аппроксимации

подсказан спецификой величины

q. Дело в том, что многочисленные комбинации отказав-

ших элементов приводят примерно к одинаковым потерям производительности вследствие

того, что звенья сбалансированы и незначительно отличаются друг от друга по пропускной

способности.

Покажем, как метод группировки позволяет вычислить математическое ожидание

Можно предложить 2 различных формулы

()()

.qMq,qMq

∑∑

Ππ

(3.8.1)

В первой из них

(k) вероятность состояния k и суммирование проводится по возмож-

ным состояниям. Во второй

– вероятность пропускной способности q

, а m – общее число

различных значений пропускной способности. Поскольку обычно к одному и тому же значе-

нию

приводит большое число различных состояний, вторая формула будет значительно

экономичней по объему вычислений.

Возможность группировки состояний возникает на двух этапах вычислительного

процесса: как в локальной задаче при расчете звена, так и при окончательном расчете цепоч-

ки. На первом этапе эта возможность обусловлена однотипностью агрегатов. Если в модели

не делается различия

между агрегатами, то состояние звена зависит лишь от схемы работы

станции, которая может быть обеспечена работоспособными агрегатами. ли же, если сек-

ции

приводит к одной и той же потере пропус ности.

локализо-

вать

, если об х станциях. Ре-

жимы максим являются наиболее экономичными для маги-

страль

Примем в первом приближении предложение об однотипности звеньев. Тогда не-

сложно перечислить возможные значения пропускной способности газопровода. Упорядо-

многониточного трубопровода имеют одинаковую длину, то отключение любой из них

кной способ

3.8.2. Переходя к расчету цепочки звеньев, будем рассматривать не

любые трубопро-

воды для транспорта жидкостей и газов, а только газопроводы, анализ которых является бо-

лее сложным делом. Сложность состоит в том, что потери при течении газа пропорциональ-

ны перепаду квадрата давления, а не перепаду давления, как в случае течения капельной

жидкости. Функционирование звена газопровода можно в определенном смысле

еспечить максимальное давление нагнетания на компрессорны

с альным давлением нагнетания

ных газопроводов.